Pho.rs: Плазмонный резонанс и SERS

A1 ^1.10 Электрическое поле приводит к согласованному смещению $\vec{r}(t)$ электронов в направлении поля. Определите зависимость $\vec r(t)$ и вектор поляризации среды $\vec P(t)$ в установившемся режиме.

A2 ^0.30 Вычислите диэлектрическую проницаемость металла $\varepsilon(\omega)$ и постройте график этой зависимости.

B1 ^2.60 Определите поле $\vec{E}_{in}$ внутри шара и его дипольный момент $\vec{d}_0$ .

H1

Вычислите, как связано поле $\vec E_{in}$ со внешним полем и относительным смещением шаров $\vec \delta$. Затем запишите граничные условия, например, в самой правой точке шара. Картинка может помочь.

B2 ^0.70 Нарисуйте картину силовых линий электрического поля в системе (внутри, вблизи и вдали от шара), считая $\varepsilon(\omega)=-3$.

B3 ^0.20 При некотором значении $\varepsilon(\omega_{res})=\varepsilon_{res}$ амплитуда электрического поля внутри шара $\left|\vec{E}_{in}\right|$ начинает неограниченно возрастать. Определите значение $\varepsilon_{res}$.

B4 ^0.60 Осциллирующий диполь излучает энергию. Оцените мощность $I$ этих потерь, используя анализ размерностей и тот факт, что интенсивность дипольного излучения зависит только от амплитуды дипольного момента $\left|\vec{d}_0\right|$, частоты его колебаний $\omega_{res}$, скорости распространения волн c и электрической постоянной $\varepsilon_0$.

B5 ^3.80 Оцените среднюю энергию, вкачиваемую в систему за счет внешнего поля в условиях плазмонного резонанса при $\omega=\omega_{res}$. Из условия баланса энергии оцените амплитуду поля внутри шара в резонансе.

H1 Вкачиваемую энергию оцените как среднюю потенциальную энергию, которую имеет диполь во внешнем поле, за период. Оцените мощность, поделив найденную величину на период.

C1 ^0.70 Рассмотрим два грузика с массами $m_1$ и $m_2$, соединенные между собой пружиной с жесткостью $k$. Определите частоту $\omega_0$ малых колебаний в системе.

C2 ^0.20 Считая малой амплитуду механических колебаний около положения равновесия, напишите явное выражение для $\alpha(x)$ в линейном приближении, если $\alpha(0)=\alpha_0$ и $\frac{d\alpha}{dx}\bigg|_{x=0}=\beta_0$.

C3 ^0.20 Вычислите дипольный момент двухатомной молекулы во внешнем поле $\vec{E}_0\cos\omega t$. Ответ представьте в виде:
$$\vec{d}=\sum_i\vec{d}_i\cos\omega_it
$$

C4 ^0.20 Детектор регистрирует дипольное излучение молекулы. Выражению из предыдущего пункта будут соответствовать несколько пиков на частотах $\omega_i$. Высота каждого пика равна интенсивности излучения отдельного диполя $\vec{d}_i$ . Для каждого пика определите его частоту и высоту. Выразите ответ через $\varepsilon_0$, $\alpha_0$, $\beta_0$, $x_0$, $\omega$, $\omega_0$ и $\vec{E}_0$.

D1 ^1.20 В какую точку пространства нужно поместить молекулу исследуемого вещества, чтобы она находилась в электрическом поле максимальной напряженности?

D2 ^0.30 Вычислите фактор усиления $g(\omega)$ электрического поля в этой точке, $g(\omega)=\underset{\vec{r}}{\max}\frac{\left|\vec{E}(\vec{r})\right|}{\left|\vec{E}_0\right|}$. Ответ выразите через диэлектрическую проницаемость металла $\varepsilon(\omega)$.

D3 ^1.40 Из экспериментальных данных, приведенных на рисунке выше, оцените фактор усиления $g$ электрического поля вследствие плазмонного резонанса (рассмотрите пик при рамановском сдвиге $\omega_0/c=1000~\text{см}^{-1}$). Считайте, что условие $\omega_0\ll{\omega}$ выполнено.

D4 ^0.50 Пользуясь результатами второй части задачи, оцените размер $R$ металлических частиц, использовавшихся в эксперименте, если длина волны падающего излучения $\lambda=785~\text{нм}$.

H1 $\lambda$ задает частоту, на которой работает SERS.

Плазмонный резонанс и SERS

Подсказки