Pho.rs: Плазмонный резонанс и SERS

A1 ^1.10 Электрическое поле приводит к согласованному смещению $\vec{r}(t)$ электронов в направлении поля. Определите зависимость $\vec r(t)$ и вектор поляризации среды $\vec P(t)$ в установившемся режиме.

A1. 1 $$\vec{r}(t)=\cfrac{e\vec{E}_0}{m\omega^2}\sin\omega t $$	0.60
A1. 2 $$\vec{P}(t)=-\cfrac{ne^2\vec{E}_0}{m\omega^2}\sin\omega t $$	0.50

A2 ^0.30 Вычислите диэлектрическую проницаемость металла $\varepsilon(\omega)$ и постройте график этой зависимости.

A2. 1 $$\varepsilon(\omega)=1-\cfrac{ne^2}{\varepsilon_0m\omega^2} $$	0.20
A2. 2	0.10

B1 ^2.60 Определите поле $\vec{E}_{in}$ внутри шара и его дипольный момент $\vec{d}_0$ .

B1. 1 Принцип суперпозиции	0.40
B1. 2 Поле вне шара	0.40
B1. 3 Поле внутри шара	0.40
B1. 4 Граничные условия	0.40
B1. 5 $$\vec{E}_{in}=\cfrac{3}{\varepsilon+2}\vec{E}_0 $$	0.50
B1. 6 $$\vec{d_0}=\cfrac{4\pi R^3\vec{P}}{3}=4\pi R^3\cfrac{\varepsilon_0(\varepsilon-1)}{\varepsilon+2}\vec{E}_0 $$	0.50

B2 ^0.70 Нарисуйте картину силовых линий электрического поля в системе (внутри, вблизи и вдали от шара), считая $\varepsilon(\omega)=-3$.

B2. 1	None
B2. 2 Поле однородно внутри шара.	0.20
B2. 3 Поле однородно вдали от шара.	0.20
B2. 4 Напряжённости поля внутри шара и вдали от шара направлены противоположно.	0.20
B2. 5 Поле вблизи шара	0.10

B3 ^0.20 При некотором значении $\varepsilon(\omega_{res})=\varepsilon_{res}$ амплитуда электрического поля внутри шара $\left|\vec{E}_{in}\right|$ начинает неограниченно возрастать. Определите значение $\varepsilon_{res}$.

B3. 1 $$\varepsilon_{res}=-2
$$

0.20

B4 ^0.60 Осциллирующий диполь излучает энергию. Оцените мощность $I$ этих потерь, используя анализ размерностей и тот факт, что интенсивность дипольного излучения зависит только от амплитуды дипольного момента $\left|\vec{d}_0\right|$, частоты его колебаний $\omega_{res}$, скорости распространения волн c и электрической постоянной $\varepsilon_0$.

B4. 1 $$I=\cfrac{\left|\vec{d_0}\right|^2\omega^4_{res}}{\varepsilon_0c^3}
$$

0.60

B5 ^3.80 Оцените среднюю энергию, вкачиваемую в систему за счет внешнего поля в условиях плазмонного резонанса при $\omega=\omega_{res}$. Из условия баланса энергии оцените амплитуду поля внутри шара в резонансе.

B5. 1 $$W=E_0d_0\omega $$	1.00
B5. 2 Из ЗСЭ: $$d_0=\cfrac{E_0c^3\varepsilon_0}{\omega^3} $$	0.90
B5. 3 $$d_0=\varepsilon_0E_{in}R^3 $$	0.90
B5. 4 Получена оценка: $$E_{in}=E_0\left(\cfrac{c}{\omega_{res}R}\right)^3 $$	1.00

C1 ^0.70 Рассмотрим два грузика с массами $m_1$ и $m_2$, соединенные между собой пружиной с жесткостью $k$. Определите частоту $\omega_0$ малых колебаний в системе.

C1. 1 $$\omega_0=\sqrt{\cfrac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}}
$$

0.70

C2 ^0.20 Считая малой амплитуду механических колебаний около положения равновесия, напишите явное выражение для $\alpha(x)$ в линейном приближении, если $\alpha(0)=\alpha_0$ и $\frac{d\alpha}{dx}\bigg|_{x=0}=\beta_0$.

C2. 1 $$\alpha(x)=\alpha_0+\beta_0x
$$

0.20

C3 ^0.20 Вычислите дипольный момент двухатомной молекулы во внешнем поле $\vec{E}_0\cos\omega t$. Ответ представьте в виде:
$$\vec{d}=\sum_i\vec{d}_i\cos\omega_it
$$

C3. 1 $$\vec{d}=\varepsilon_0\left(\alpha_0+\beta_0x\right)\vec{E}_0\cos\omega t $$	0.10
C3. 2 $$\vec{d}=\varepsilon_0\vec{E}_0\left(\alpha_0\cos\omega t+\cfrac{\beta_0x_0\cos(\omega-\omega_0)t}{2}+\cfrac{\beta_0x_0\cos(\omega+\omega_0)t}{2}\right) $$	0.10

C4 ^0.20 Детектор регистрирует дипольное излучение молекулы. Выражению из предыдущего пункта будут соответствовать несколько пиков на частотах $\omega_i$. Высота каждого пика равна интенсивности излучения отдельного диполя $\vec{d}_i$ . Для каждого пика определите его частоту и высоту. Выразите ответ через $\varepsilon_0$, $\alpha_0$, $\beta_0$, $x_0$, $\omega$, $\omega_0$ и $\vec{E}_0$.

C4. 1 Для каждой из амплитуд соответствующий частот получено:
$$A_\omega=\cfrac{\varepsilon_0(\alpha_0E_0)^2\omega^4}{c^3}\quad A_{\omega-\omega_0}=\cfrac{\varepsilon_0(\beta_0x_0E_0)^2(\omega-\omega_0)^4}{4c^3}\quad A_{\omega+\omega_0}=\cfrac{\varepsilon_0(\beta_0x_0E_0)^2(\omega+\omega_0)^4}{4c^3}
$$

None

D1 ^1.20 В какую точку пространства нужно поместить молекулу исследуемого вещества, чтобы она находилась в электрическом поле максимальной напряженности?

D1. 1 Найдены точки, в котором электрическое поле максимально.	1.20
D1. 2 Найдена только одна точка.	1.00

D2 ^0.30 Вычислите фактор усиления $g(\omega)$ электрического поля в этой точке, $g(\omega)=\underset{\vec{r}}{\max}\frac{\left|\vec{E}(\vec{r})\right|}{\left|\vec{E}_0\right|}$. Ответ выразите через диэлектрическую проницаемость металла $\varepsilon(\omega)$.

D2. 1 $$\cfrac{E_{out}}{E_{in}}=\cfrac{3\varepsilon(\omega)}{2+\varepsilon(\omega)}
$$

0.30

D3 ^1.40 Из экспериментальных данных, приведенных на рисунке выше, оцените фактор усиления $g$ электрического поля вследствие плазмонного резонанса (рассмотрите пик при рамановском сдвиге $\omega_0/c=1000~\text{см}^{-1}$). Считайте, что условие $\omega_0\ll{\omega}$ выполнено.

D3. 1 Использовано отношение интенсивностей.	0.10
D3. 2 $$\varepsilon=\sqrt[4]{\cfrac{I_{SERS}}{N_{SERS}}/\cfrac{I_{RAM}}{N_{RAM}}} $$	0.70
D3. 3 $$\varepsilon\approx{90} $$	0.60

D4 ^0.50 Пользуясь результатами второй части задачи, оцените размер $R$ металлических частиц, использовавшихся в эксперименте, если длина волны падающего излучения $\lambda=785~\text{нм}$.

D4. 1 $$R=\cfrac{\lambda}{2\pi g^{1/3}} $$	0.30
D4. 2 $$R=35~\text{нм} $$	0.20

Плазмонный резонанс и SERS

Разбалловка