Вероятность перехода между двумя состояниями $A$ и $B$ описывается величиной $\tau$ – характерное время перехода из $A$ в $B$. Это время определяется, как обратная производная вероятности перехода по времени: $\tau_{AB}=\left(\frac{dp}{dt}\right)^{-1}$ (то есть вероятность перехода за время $dt$ равна $dp$).
A1
0.50
Рассмотрим белок, у которого возможны только два состояния $A$ и $B$. Пусть возможен прямой переход из состояния $A$ в состояние $B$ с известным характерным временем $\tau_{AB}$, а обратный переход не происходит (фактически это означает, что $\tau_{BA}\to{\infty}$).
Рассмотрим образец, в котором находится $N$ таких белков. Пусть в начальный момент все они находятся в состоянии $A$. Найдите зависимость количества белков в каждом из состояний в зависимости от времени $N_A(t)$ и $N_B(t)$. Ответы выразите через $\tau_{AB}$ и $N$.
Благодаря свободному пропусканию заряженных частиц (ионов) каналы в открытом состоянии эффективно увеличивают электрическую проводимость клеточной мембраны. Для изучения электрических свойств мембраны и изучения свойств ионных каналов существует метод локальной фиксации потенциала (Patch-clamp). Метод заключается в том, что стеклянная пипетка образует с клеточной мембраной контакт с сопротивлением в несколько гигаом – это так называемый гигаомный контакт. В пипетку, заполненную электролитом, помещается электрод, второй электрод помещается внеклеточно, в омывающей жидкости
Для измерения проводимостей одиночных каналов пипетку вместе с фрагментом клеточной мембраны, который находится внутри неё, открепляют от остальной клетки. В узком кончике пипетки остаётся настолько маленькая часть мембраны, что в ней может быть встроено не более одного канала. В случае со светочувствительными белками измеряется сила тока, протекающего через фрагмент мембраны: скачки силы тока при включении света говорят об открытии светочувствительного канала. Этот метод называется Single Channel Patch Clamp. (см.рис 5. получение фрагмента мембраны, правая картинка – выделенный фрагмент с одним каналом).
Рассмотрим измерения методом Single Channel Patch Clamp для трёх каналов. Все три канала имеют фотоциклы, состоящие из трёх состояний: $C$ (closed – закрытое), $O$ (opened – открытое) и $I$ (intermediate – промежуточное). Каналы имеют следующие характерные времена переходов:
На графиках показано по $10$ снятых зависимостей тока от времени для каждого из каналов (зелёная линия показывает время, когда свет включен).
A3
1.00
Рассмотрим 3 клетки, в мембраны которых встроены каналы, описанные в предыдущем пункте.
В мембране каждой клетки находится много ($\gg{1}$) каналов и все одного типа. Производятся измерения методом Whole Cell Patch Clamp. Включается свет и во всех трёх случаях дожидаются установления показаний силы тока, после чего свет выключается.
Изобразите качественно зависимости силы тока от времени для всех трёх клеток. Чему равна установившаяся сила тока для каждой из клеток, если напряжение поданное между электродами и растворы в пипетке и в омывающей жидкости оставили без изменений после эксперимента в пункте A2. Ответы выразите через количество каналов в клетке $N=1000$, $\tau_{CO}$, $\tau_{OI}$ и $\tau_{IC}$.
При открытии канала ионы могут проходить через него как под действием внешнего электрического поля, так и в результате тепловой диффузии.
B1 2.00 Найдите полный поток ионов калия $J$, через селективный калиевый канал. Ответ выразите, через коэффициент диффузии $D$, молярную концентрацию калия снаружи клетки $c$ и её производную вдоль канала $\frac{dc}{dx}$, подвижность ионов калия $\mu$, элементарный заряд $e$ и напряжённость электрического поля $E$.
Примечание: подвижностью называется коэффициент пропорциональности между скоростью дрейфового движения частиц и силой, действующей на них: $\mu F=v$.
Связь между коэффициентом диффузии $D$, подвижностью $\mu$ и температурой $T$ была открыта при изучении броуновского движения частиц независимо Эйнштейном и Смолуховским. Соотношение Эйнштена-Смолуховского:
$$D=\mu kT,
$$
где $k$ – постоянная Больцмана.
B2 2.00 Найдите, при каком напряжении $U_\text{rev}$ на клеточной мембране (мембранный потенциал) поток через открытый калиевый канал становится равным нулю при температуре $T=20^{\circ}\text{C}$. Ответ выразите через $T$, $c_\text{out}=4~\text{ммоль}/\text{л}$ и $c_\text{in}=155~\text{ммоль}/\text{л}$ – концентрации калия снаружи клетки и внутри неё, и фундаментальные физические константы.
Примечание: Мембранный потенциал считается положительным, если плюс находится на внутренней поверхности мембраны клетки.
Другие электрические характеристики клетки ($R_M$ – электрическое сопротивление клеточной мембраны (когда все каналы закрыты), $R_S$ – так называемое сопротивление «доступа» к клетке) также влияют на сигнал, который снимается при whole-cell patch clamp измерениях. Эквивалентная схема клетки показана на рисунке 7.
C1
3.00
По данным, изображенным на графиках, определите электрические характеристики мембраны клетки: $R_M$, $R_S$, $C_M$. Все три графика отражают зависимость тока через клеточную мембрану от времени для одной и той же точки (это всё один эксперимент, показаны разные участки по времени). Разные линии снизу вверх соответствуют напряжениям, поданным на мембрану: $\text{−120 мВ}$, $\text{−80 мВ}$, $\text{ −40 мВ}$, $\text{0 мВ}$, $\text{40 мВ}$, $\text{80 мВ}$, $\text{120 мВ}$. Зелёная линия сверху указывает на время, когда включен свет.
