Нам дана вероятность перехода в единицу времени т.е. вероятность $dp$ с которой за время $dt$ случится переход $dp = \frac{dt}{\tau_{AB}}$. Пусть в какой-то момент времени количество белков в состоянии $A$ равно $N_A(t)$. За время $dt$ каждый из этих белков с вероятностью $dp$ перейдет в состояние $B$ значит в среднем произойдет $N_A(t) dp$ переходов. Запишем дифференциальное уравнение на $N_A(t)$: \[d N_A = - N_A dp = - N_A \frac{dt}{\tau_{AB}}.\] Уравнение легко интегрируется: \[ \ln \frac{N_A(t)}{N} = - \frac{t}{\tau_{AB}}, \quad \Rightarrow \quad N_A(t) = N \cdot e^{-t/\tau_{AB}}.\] При этом $dN_B = - dN_A$ значит $N_B(t) = N - N_A(t) = N ( 1 - e^{-t/\tau_{AB}})$
На графиках $C$ заметен различимый в масштабе $10~\text{мс}$ сдвиг во времени первого пика тока, следовательно $\tau_{CO} \approx 10~\text{мс}$ и графикам $C$ соответствует 1-ый тип каналов. График $B$ отличается от $A$ тем, что на масштабе $100~\text{мс}$ система не возвращается в состояние $C$ так как нет вторых пиков тока т.е. $\tau_{IC} \gg 100~\text{мс}$. Значит графику $A$ соответствует 2-ой тип каналов а графику $B$ 3-ий тип каналов.
График $A$ График $B$ График $C$ Каналы 2-го типа Каналы 3-го типа Каналы 1-го типа
Запишем динамические уравнения на количество клеток в каждом из состояний: \[ \begin{cases} \dot{N}_C = -\frac{N_C}{\tau_{CO}}+ \frac{N_I}{\tau_{IC}}\\ \dot{N}_O = -\frac{N_O}{\tau_{OI}} + \frac{N_C}{\tau_{CO}} \\ \dot{N}_I = -\frac{N_I}{\tau_{IC}} + \frac{N_O}{\tau_{OI}} \end{cases}. \] Сначала найдем равновесное количество $N_O$. Для этого приравняем к нулю производные и выразим $N_C$ и $N_I$ через $N_O$: \[N_C = N_O \frac{\tau_{CO}}{\tau_{OI}}, \quad N_I = N_O \frac{\tau_{IC}}{\tau_{OI}}.\] Общее количество клеток $N = N_C + N_O + N_I$, поэтому \[ N_O = N \frac{\tau_{OI}}{\tau_{CO}+\tau_{OI}+\tau_{IC}}\] Если обозначит $v=\begin{pmatrix} N_C \\ N_O \\ N_I \end{pmatrix}$ то динамические уравнение можно записать в матричном виде: \[ \dot{v} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\tau_{CO}} & 0 & \frac{1}{\tau_{IC}}\\ \frac{1}{\tau_{CO}} & -\frac{1}{\tau_{OI}} & 0\\ 0 & \frac{1}{\tau_{OI}} & -\frac{1}{\tau_{IC}} \end{pmatrix} v = Av\] Найдем собственные значения $\lambda$ и соответствующие им собственные вектора $v_\lambda$: $A v_\lambda = \lambda v_\lambda$. Перепишем это уравнение в виде $(A - \lambda E) v_\lambda = 0$ и найдем $\lambda$ приравняв $\det(A - \lambda E) = 0$. \[ \det (A - \lambda E) = -\left( \frac{1}{\tau_{CO}} + \lambda \right) \left( \frac{1}{\tau_{OI}} + \lambda \right) \left( \frac{1}{\tau_{IC}} + \lambda \right) + \frac{1}{\tau_{IC}} \frac{1}{\tau_{CO}} \frac{1}{\tau_{OI}} = 0 \] Получаем корень $\lambda=0$ соответствующий положению равновесия и два других корня, являющиеся решениями квадратного уравнения: \[ \lambda \left[ \left( \frac{1}{\tau_{OI}} \frac{1}{\tau_{IC}}+ \frac{1}{\tau_{IC}} \frac{1}{\tau_{CO}} + \frac{1}{\tau_{CO}}\frac{1}{\tau_{OI}} \right) + \lambda \left( \frac{1}{\tau_{CO}} + \frac{1}{\tau_{OI}} + \frac{1}{\tau_{IC}} \right) + \lambda^2 \right] = 0 \] Получим два характерных времени процесса установления равновесия: \[\lambda_{1,2} = \frac{-\left( \frac{1}{\tau_{CO}} + \frac{1}{\tau_{OI}} + \frac{1}{\tau_{IC}} \right) \pm \sqrt{\left( \frac{1}{\tau_{CO}} + \frac{1}{\tau_{OI}} + \frac{1}{\tau_{IC}} \right)^2 - 4 \left( \frac{1}{\tau_{OI}} \frac{1}{\tau_{IC}}+ \frac{1}{\tau_{IC}} \frac{1}{\tau_{CO}} + \frac{1}{\tau_{CO}}\frac{1}{\tau_{OI}} \right)}}{2}\] Для клеток первого типа $\lambda_1 = -\frac{1}{0.10~\text{мс}}$, $\lambda_2 = -\frac{1}{4.97~\text{мс}}$. $I_\infty=1.4~\text{пА} \cdot N_O\approx 0.70~\text{нА}$.
Для клеток второго типа $\lambda_1 = -\frac{1}{7.29~\text{мс}}$, $\lambda_2 = -\frac{1}{1.00~\text{мс}}$. $I_\infty=1.4~\text{пА} \cdot N_O\approx 0.34~\text{нА}$.
Для клеток третьего типа $\lambda_1 = -\frac{1}{9.89~\text{мс}}$, $\lambda_2 = -\frac{1}{1.00~\text{мс}}$. $I_\infty=1.4~\text{пА} \cdot N_O\approx 0.014~\text{нА}$.
Первый тип | Второй тип | Третий тип |
---|---|---|
$I_\infty \approx 0.70~\text{нА}$ | $I_\infty \approx 0.34~\text{нА}$ | $I_\infty \approx 0.014~\text{нА}$ |
Примечание: подвижностью называется коэффициент пропорциональности между скоростью дрейфового движения частиц и силой, действующей на них: $\mu F=v$.
В поток ионов вносят вклад два эффекта: диффузия $J_1 = - D \frac{dc}{dx}$ и дрейфовое движение $J_2 = vc = \mu E e c$.
Примечание: Мембранный потенциал считается положительным, если плюс находится на внутренней поверхности мембраны клетки.
Нулевому току соответствует нулевой поток ионов $J=0$. Направим ось $x$ внутрь мембраны: \[ -\mu k T \frac{dc}{dx} + \mu \frac{dU}{dx} e c = 0.\] Получим дифференциальное уравнение: \[ dU = \frac{kT}{e} \frac{dc}{c} \quad \Rightarrow \quad U = \frac{kT}{e} \ln \frac{c_\text{out}}{c_\text{in}}\]
После установления тока и до включения света зависимость тока через мембрану от напряжения:
$U,~\text{мВ}$ $I,~\text{пА}$ -120 -48 -80 -32 -40 -16 40 16 80 32 120 48
Коэффициент наклона этой зависимости исходя из данных равен $2.5~\text{ГОм}$, а исходя из эквивалентной схемы равен $R_M + R_S$. В начальный момент времени зависимость тока от времени и напряжения:
$U,~\text{мВ}$ $I,~\text{нА}$ $10.0~\text{мс}$ $10.1~\text{мс}$ $10.2~\text{мс}$ $10.3~\text{мс}$ $10.4~\text{мс}$ -120 -24 -16 -11 -7 -5 -80 -16 -11 -7 -5 -3 -40 -8 -5 -3.5 -2.5 -1.5 40 9 5 3.5 2 1.5 80 16 10 7 5 3 120 23 16 10 7 5
Исходя из данных средний коэффициент наклона зависимостей $\ln\left(\frac{I(t)}{I(10.0~\text{мс})}\right)$ от $t$ равен $-4.0~\text{мс}^{-1}$, а исходя из эквивалентной схемы он равен $-\frac{1}{R_MC_M}$. Площадь под графиком зависимостей $I(t)$ равна заряду, который должен протечь через мембрану, чтобы зарядить конденсатор до напряжения $U$. Из данных получим:
$U, мВ$ $q,~\text{пКл}$ -120 -6,03 -80 -3,94 -40 -1,94 40 1,87 80 3,89 120 5,89
Коэффициент наклона этой зависимости равен $49~\text{нФ}$ и также равен $C_M$. Тогда $R_M = \frac{1}{4.0~\text{мс}^{-1} \cdot C_M} =5.0~\text{МОм}$ и $R_S = 2.5~\text{ГОм}$.
$R_S$ | $R_M$ | $C_M$ |
$2.5~\text{ГОм}$ | $5.0~\text{МОм}$ | $49~\text{нФ}$ |
Из графиков видно, что при $U\approx 40~\text{мВ}$ ток при включенном свете остается практически нулевым. Рассчитаем $U_\text{rev}$ для предложенных ионов:
Ион $U_\text{rev},~\text{мВ}$ $\rm K^+$ -84,1 $\rm Na^+$ 40,6 $\rm Cl^-$ -40,6 $\rm Mg^{2+}$ 8,8