| 1 Записано выражение для центростремительного ускорения | 0.20 |
|
| 2 Записано выражение для гравитационного ускорения | 0.20 |
|
|
3
$\omega=\sqrt{\cfrac{G(M+m)}{L^3}}
$ |
0.30 |
|
|
1
$L^2_m=L^2+r^2(\theta)-2Lr(\theta)\cos\theta
$ |
0.10 |
|
|
2
$\Delta \varphi_{\text{гр}}=Gm\left(\cfrac{1}{L}-\cfrac{1}{\sqrt{L^2+r^2-2rL\cos\theta}}\right)
$ |
0.10 |
|
|
1
Учтен потенциал центробежной силы $\Delta\varphi_{\text{ин}}=-\cfrac{G(M+m)r^2}{2L^3}
$ |
0.25 |
|
| 2 Неправильный знак или не подставлено выражения для $\omega$ | -0.05 |
|
|
3
Учтен потенциал за счет ускорения центра $O$ $\Delta\varphi_{\text{ин}}=\cfrac{Gmr\cos\theta}{L^2}
$ |
0.25 |
|
| 4 Неправильный знак или не подставлено выражения для $\omega$ | -0.05 |
|
Примечание: воспользуйтесь следующим приближением: $$\cfrac{1}{\sqrt{1+a^2-2a\cos\theta}}\approx{1+a\cos\theta+\cfrac{a^2(3\cos^2\theta-1)}{2}} $$
| 1 Потенциал большого тела $\varphi_M=-\cfrac{GM}{r(\theta)}$ | 0.10 |
|
| 2 Использована эквипотенциальность поверхности | 0.30 |
|
| 3 Гравитационный потенциал малого тела разложен в ряд | 0.20 |
|
| 4 Гравитационный потенциал большого тела разложен по $h$ | 0.10 |
|
|
5
$h(\theta) \sim \cfrac{mR^4\cos^2\theta}{ML^3}
$ |
0.10 |
|
|
6
Правильный коэффициент $h(\theta) =\cfrac{3mR^4\cos^2\theta}{2ML^3}
$ |
0.30 |
|
| 7 Форма поверхности: два максимума и два минимума, указано направление на малое тело. | 0.20 |
|
Примечание: воспользуйтесь результатами, полученными при решении пункта $\mathrm{A4}$.
| 1 Сила выражена как производная потенциала | 0.20 |
|
|
2
$\theta=\theta_0-(\omega-\Omega)t
$ |
0.10 |
|
| 3 $\alpha \sim \cfrac{GmR}{L^3}$ | 0.10 |
|
| 4 $\alpha = \cfrac{3GmR}{2L^3}$ (для своего ответа, полученного в пункте A4) | 0.10 |
|
| 1 Записано уравнение колебаний | 0.20 |
|
| 2 Решение указанного в условии вида подставлено в уравнение (в комплексной или вещественной форме) | 0.20 |
|
| 3 $|A|=\cfrac{3Gm}{2L^3\sqrt{(\omega^2_0-4\omega_1^2)^2+16\gamma^2 \omega_1^2}}$ (для своего значения $\alpha$, полученного в B1) | 0.20 |
|
| 4 $\varphi_0=\arctan\cfrac{4\omega_1\gamma}{\omega^2_0-4\omega_1^2}$ | 0.20 |
|
| 1 Выражение для скорости втекания или вытекания жидкости через грань через $\dot{\theta}$ | 0.20 |
|
| 2 $\dot{h'} = - h_0 \frac{\partial \dot{\theta}}{\partial \theta _0}$ | 0.15 |
|
| 3 Правильный знак | 0.05 |
|
|
1
$\dot{h'}=-4h_0\omega_1A\sin(2\omega_1t-\varphi_1)
$ |
0.10 |
|
|
2
$h(t)=h_0(1+2A\cos(2\omega_1t-\varphi_1))
$ |
0.20 |
|
|
1
$\theta_{1{,}2}=\omega_1t-\cfrac{\varphi_0}{2}{;}\pi+\omega_1t-\cfrac{\varphi_0}{2}
$ |
2 × 0.20 |
|
|
1
Связь момента и силы, действующих на бесконечно малый объем $dM_z=R\sin\beta dF_\tau(t,\, \theta, \,\beta)
$ |
0.20 |
|
| 2 Выражение для массы этого объема $\Delta m = \rho h R^2 \sin \beta d \beta d \theta$. | 0.20 |
|
| 3 В выражении для силы произведена замена $R \to R\sin \beta$ | 0.10 |
|
|
4
$dF_\tau=\cfrac{3GmR\sin\beta}{2L^3}\sin(2\omega_1t-2\theta)\cdot{\rho h(t{,}\theta{,}\beta)}\cdot R\sin\beta d\theta\cdot R d\beta
$ |
0.20 |
|
| 5 $M_z$ выражено как интеграл | 0.10 |
|
| 6 Из интеграла выделено не зависящее от угла слагаемое (с помощью формулы произведений синусов или синуса суммы) | 0.10 |
|
|
7
$M_z \sim \cfrac{ Gm\rho R^4h_0A\sin\varphi_0}{L^3}
$ |
0.10 |
|
|
8
$M_z=\cfrac{4\pi Gm\rho R^4h_0A\sin\varphi_0}{L^3}
$ |
0.40 |
|
Примечание: при синхронном вращении моментом импульса Земли, связанным с вращением вокруг ее оси, можно пренебречь.
| 1 Закон сохранения момента импульса | 0.20 |
|
| 2 Момент инерции Земли | 0.10 |
|
| 3 Момент импульса Луны при орбитальном движении | 0.10 |
|
| 4 Расчетная формула $\omega_{\text{синх}}= \cfrac{G^2m^3M^3}{(M+m)\left(\cfrac{2MR^2\Omega_0}{5}+\cfrac{mM}{m+M}\sqrt{G(M+m)L_0}\right)^3}$ (если есть формула для расстояния $L_{\text{синх}}$, можно выразить частоту через это расстояние). | 0.10 |
|
| 5 $\omega_\text{синх}\approx{1{,}376\cdot{10^{-6}}~\text{с}^{-1}} $ | 0.10 |
|
| 6 Расчетная формула $L_{\text{синх}} = \cfrac{(m+M)\left(\cfrac{2MR^2\Omega_0}{5}+\cfrac{mM}{m+M}\sqrt{G(M+m)L_0}\right)^2}{Gm^2M^2}$ | 0.10 |
|
| 7 $L_\text{синх} \approx 5{,}971\cdot{10^8}~\text{м}$ | 0.10 |
|
|
1
Выражение для момента импульса $K=I\Omega+\cfrac{mML^2}{m+M}\sqrt{\cfrac{G(m+M)}{L^3}}
$ |
0.10 |
|
| 2 Момент импульса корректно продифференцирован | 0.20 |
|
|
3
$\dot{\Omega}_0=-\cfrac{5m\dot{L}_0}{4(m+M)R^2}\sqrt{\cfrac{G(m+M)}{L_0}}\approx-1{,}22\cdot{10^{-22}}~\text{с}^{-1}
$ |
0.30 |
|
| 4 Численное значение $\dot{\Omega}_0\approx-1{,}22\cdot{10^{-22}}~\text{с}^{-2} = 3{,}84 \cdot 10^{-15} ~\text{c}^{-1} \cdot \text{год}^{-1}$ | 0.10 |
|
| 1 Разница высот при приливе и отливе $\Delta{h}=h_\text{пр}-h_\text{от}=4Ah_0$ | 0.20 |
|
| 2 Записана система уравнений для определения $\omega_0$, $\gamma$ | 2 × 0.10 |
|
| 3 $\omega_0 \approx 1{,}664\cdot{10^{-4}} ~\text{с}^{-1}$ | 0.20 |
|
| 4 $\gamma \approx 3{,}025\cdot{10^{-6}}~\text{с}^{-1}$ | 0.20 |
|
|
1
Уравнение моментов $I\dot{\Omega}=M_z=\cfrac{4\pi Gm\rho R^4h_0A\sin\varphi_0}{L^3}
$ |
0.20 |
|
|
2
$\dot{\Omega}_{0\text{(мод)}}=-1{,}16\cdot{10^{-22}}~\text{с}^{-1}
$ |
0.20 |
|
| 3 Обоснованный вывод о применимости модели | 0.10 |
|
|
1
$I\dot{\Omega}\approx\cfrac{4\pi Gm\rho{R}^4h_0}{L^3_\text{синх}}\cdot{\cfrac{3Gm}{2L^3_\text{синх}\omega^2_0}}\cdot\cfrac{4(\omega_\text{синх}-\Omega)\gamma}{\omega^2_0}
$ |
0.20 |
|
|
2
$d\tau_2=-\cfrac{d\Omega}{\Omega-\omega_\text{синх}}\cdot{\cfrac{ML^6_\text{синх}\omega^4_0}{120\pi G^2m^2\rho{R}^2h_0\gamma}}
$ |
0.20 |
|
|
3
$\tau_2\approx\cfrac{ML^6_\text{синх}\omega^4_0}{120\pi G^2m^2\rho{R}^2h_0\gamma}
$ |
0.20 |
|
|
4
Численное значение $\tau_2\approx 3{,}14\cdot{10^{12}}~\text{лет}
$ |
0.10 |
|