Если изолированная планета шарообразной формы покрыта тонким слоем жидкости, форма поверхности жидкости будет стремиться к сферической в силу принципа минимума потенциальной энергии. Если же рядом с планетой есть другие тела, они будут искажать форму поверхности жидкости. Это связано с приливными силами, которые возникают за счет того, что разные участки жидкости притягиваются этому телу с различными силами. Такие силы являются причиной приливов и отливов на поверхностях планет, почему и получили свое название. В задаче рассматривается следующая система. Два однородных шарообразных тела (планеты) массами $m$ (малое тело) и $M$ (большое тело, $M>m$) движутся по круговым орбитам вокруг общего центра масс. Расстояние между центрами тел равно $L$, радиус большого тела равен $R$ ($L\gg{R}$), а малое тело можно считать точечным. Поверхность большого тела покрыта тонким слоем жидкости плотность $\rho$, форма поверхности которой является объектом изучения. Вам предстоит определить форму поверхности большого тела при синхронном вращении, когда угловая скорость орбитального вращения тел совпадает с угловой скоростью вращения большого тела вокруг собственной оси. Далее вам нужно описать динамику приливного захвата, то есть процесса перехода к синхронному вращению.

Часть A. Синхронное вращение (2.7 балла).

В этой части задачи рассматривается синхронное вращение. Большое тело вращается вокруг своей оси с угловой скоростью, равной угловой скорости орбитального вращения тел $\omega$.

A1  ^0.70 Получите точное выражение для угловой скорости орбитального вращения $\omega$. Ответ выразите через $G, m, M$ и $L$.

Перейдём в неинерциальную систему отсчёта, связанную с центром большого тела и вращающуюся так, что центр малого тела в ней неподвижен. Напомним выражение для ускорения в неинерциальной системе отсчёта с началом в точке $O$, движущимся с ускорением $\vec{a}_0$, координатные оси которой вращаются с угловой скоростью $\vec{\omega}$ и угловым ускорением $\vec{\varepsilon}$: $$\vec{a}_\text{отн}=\vec{a}-\vec{a}_0+\omega^2\vec{r}_\perp-\big[\vec{\varepsilon}\times\vec{r}\big]-2\big[\vec{\omega}\times\vec{v}_\text{отн}\big]. $$ Здесь $\vec{a}$ – ускорение в инерциальной системе отсчёта, $\vec{r}_\perp$ – компонента радиус-вектора частицы, перпендикулярная оси вращения, а $\vec{v}_\text{отн}$ – скорость частицы относительно неинерциальной системы отсчёта. Во всех пунктах задачи ограничивайтесь только первыми тремя слагаемыми: $$\vec{a}_\text{отн}\approx{\vec{a}-\vec{a}_0+\omega^2\vec{r}_\perp}. $$ Задача является плоской, поэтому считайте, что $\vec{r}_\perp=\vec{r}$, если обратное не оговорено.

A2  ^0.20 Получите точное выражение для разности потенциалов гравитационного поля малого тела $\Delta{\varphi}_\text{гр}=\varphi_{\text{гр}P}-\varphi_{\text{гр}O}$ в точках $P$ и $O$. Ответ выразите через $G$, $m$, $L$, $\theta$ и $r(\theta)$.

A3  ^0.50 Получите точное выражение для разности потенциалов сил инерции $\Delta{\varphi}_\text{ин}=\varphi_{\text{ин}P}-\varphi_{\text{ин}O}$ в точках $P$ и $O$. Ответ выразите через $G$, $m$, $M$, $L$, $\theta$ и $r(\theta)$.

Представим форму поверхности в виде $r(\theta)=R+h(\theta)$, где $h(\theta)\ll{R}$, а $h(\pi/2)=0$.

A4  ^1.30 Получите зависимость $h(\theta)$. Ответ выразите через $m$, $M$, $R$, $L$ и $\theta$. Максимально упростите ваш ответ. Качественно изобразите форму поверхности в рассматриваемом сечении. На этом же рисунке изобразите невозмущённую форму поверхности. 

Примечание: воспользуйтесь следующим приближением: $$\cfrac{1}{\sqrt{1+a^2-2a\cos\theta}}\approx{1+a\cos\theta+\cfrac{a^2(3\cos^2\theta-1)}{2}} $$

Часть B. Осциллирующая поверхность (3.8 балла).

Мы рассмотрели поведение системы в установившемся режиме. Далее будем изучать переходные процессы, которые приводят к выравниваю угловых скоростей орбитального движения и вращения большого тела вокруг своей оси.

B1  ^0.50 Покажите, что касательную компоненту силы $F_\tau(t,\, \theta)$, действующую на частицу массой $\Delta{m}$, находящуюся на поверхности большего тела под углом $\theta$, можно представить в виде: $$F_\tau(t,\,\theta)=\Delta{m}\alpha\sin(2\omega_1t-2\theta) $$ Найдите $\alpha$. Ответ выразите через $G$, $m$, $L$ и $r(\theta)$.

Примечание: воспользуйтесь результатами, полученными при решении пункта $\mathrm{A4}$.

Из закона изменения момента импульса для элемента поверхности жидкости можно получить, что его уравнение движения эквивалентно уравнению вынужденных колебаний: $$\Delta{m} R^2 \left(\ddot{\theta}+2\gamma\dot{\theta}+\omega^2_0(\theta-\theta_0)\right)=F_\tau(t{,}\,\theta)R, $$ где $\gamma$ и $\omega_0$ – постоянные величины, $\theta_0$ – положение элемента жидкости в равновесии. Считайте, что $\omega_0\gg{\sqrt{Gm/L^3}}$. Во всех пунктах считайте, что $\theta - \theta_0 \ll 1$, поэтому справедливо приближение $F(t,\,\theta) \approx F(t,\, \theta_0)$.

B2  ^0.80 Покажите, что зависимость $\theta(t{,}\theta_0)$ имеет следующий вид: $$\theta(t)=\theta_0+A\sin(2\omega_1t-2\theta_0-\varphi_0) $$ Найдите $A$ и $\varphi_0$. Ответы выразите через $G$, $m$, $L$, $\gamma$, $\omega_0$, $\omega$, $\Omega$ и $\theta_0$.

Далее для удобства будем использовать угол $\varphi_1 = 2 \theta_0 + \varphi_0$ и записывать выражение для $\theta(t)$ в следующем виде: $$\theta(t{,}\theta_0)=\theta_0+A\sin(2\omega_1t-\varphi_1) $$

B3  ^0.40 Получите выражение для скорости роста высоты $\dot{h'}(t{,}\,\theta_0)$ в момент времени $t$ при угле $\theta_0$. Ответ выразите через $h_0$ и $\frac{d\dot{\theta}}{d\theta _0}$

B4  ^0.30 Считая, что амплитуда колебаний $h'$ одинакова для всех значений $\theta_0$, получите зависимость $h(t)$. Ответ выразите через $h_0$, $A$, $\omega_1$, $\varphi_1$ и $t$.

B5  ^0.40 Для момента времени $t$ определите значения углов $\theta_0$, соответствующих максимальному значению $h(t{,}\,\theta_0)$. Ответы выразите через $\omega_1$, $t$ и $\varphi_0$.

Для поиска момента сил, действующих на большое тело, потребуется рассмотреть произвольное сечение большего тела. Будем отсчитывать угол $\beta$ от оси вращения большего тела. Тогда радиус сечения большего тела в перпендикулярной плоскости равен $r=R\sin\beta$. Считайте, что для описания зависимости $\theta(t{,}\,\theta_0{,}\,\beta)$ и $h'(t{,}\,\theta_0{,}\,\beta)$ достаточно везде заменить радиус $R$ на расстояние до оси вращения $R\sin\beta$.

B6  ^1.40 Найдите момент сил $M_z$, действующий со стороны малого тела на поверхность большого относительно оси $z$. Ответ выразите через $G$, $m$, $\rho$, $R$, $h_0$, $L$, $A$ и $\varphi_0$.

Часть C. Приливной захват в системе Земля-Луна (3.5 балла).

Приливным захватом называют выравнивание угловых скоростей орбитального вращения и вращения вокруг собственной оси. В этой части задачи вам предстоит определить параметры $\omega_0$ и $\gamma$ для модели, рассмотренной в части B, а также оценить время, в течении которого происходит приливной захват в системе Земля-Луна.

Считайте известными следующие данные:

1. масса Земли $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}~\text{кг}$;
2. масса Луны $m = 7{,}36 \cdot 10^{22}~\text{кг}$;
3. радиус Земли $R = 6{,}38 \cdot 10^6~\text{м}$;
4. плотность воды $\rho = 1{,}00 \cdot 10^3~\text{кг}/\text{м}^3$;
5. гравитационная постоянная $G =6{,}67 \cdot 10^{-11}~ \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2 $;
6. сейчас расстояние между Землей и Луной составляет $L_0 = 3{,}84\cdot 10^8~\text{м}$;
7. сейчас Земля вращается вокруг собственной оси с угловой скоростью $\Omega_0 = 7{,}27 \cdot 10^{-5}~\text{с}^{-1}$.

C1  ^0.80 Найдите орбитальную угловую скорость вращения $\omega_\text{синх}$ и расстояние $L_\text{синх}$ между Землёй и Луной при синхронном вращении. Выразите ответы через $m$,$M$, $R$, $G$, $L_0$, $\Omega_0$ и найдите их численные значения.

Примечание: при синхронном вращении моментом импульса Земли, связанным с вращением вокруг ее оси, можно пренебречь.

C2  ^0.70 Расстояние между Землей и Луной увеличивается со скоростью $\dot{L}_{0}=1~\text{см}/\text{год}$. Найдите величину среднего углового ускорение Земли $\dot{\Omega}_0$. Выразите ответ через $m$,$M$, $R$, $G$, $L_0$, $\Omega_0$, $\dot{L}_0$ и найдите его численное значение.

Для описания переходного процесса необходимы численные значения параметров $\omega_0$ и $\gamma$. Для их определения считайте известным следующее:

1. сейчас положение прилива отстаёт от Луны на угол $\beta=3^\circ$ в направлении её вращения относительно Земли. Отставание означает, что $\omega_0>2|\omega_1|$;
2. сейчас разность высот прилива и отлива составляет $0{,}24~\text{м}$;
3. средняя глубина мирового океана составляет $h_0=3{,}74~\text{км}$.

C3  ^0.80 Найдите численные значения $\omega_0$ и $\gamma$.

C4  ^0.50 В рамках описанной модели найдите угловое ускорение Земли $\dot{\Omega}_{0\text{(мод)}}$, которое получается из результатов пункта $\mathrm{B6}$. Сравните его со значением $\dot{\Omega}_0$, полученным в пункте $\mathrm{C2}$ и сделайте вывод о применимости рассматриваемой модели (считайте модель применимой, если $\Omega_0$ и $\Omega_{0\text{(мод)}}$ отличаются не более, чем в 10 раз).

Приливной захват в системе Земля-Луна можно разделить на два этапа:

1. относительно быстрый переход к орбитальному вращению с угловой скоростью $\omega_{\text{синх}}$, при котором расстояние от Земли до Луны практически совпадает с установившимся $L = L_{\text{синх}}$; 
2. длительный процесс выравнивания угловых скоростей орбитального вращения и вращения Земли вокруг своей оси. Характерное время второго процесса $\tau_2$ можно считать временем переходного к приливному захвату процесса.

C5  ^0.70 Оцените численное значение $\tau_2$. Ответ выразите в годах.