Решение в $TS$ координатах.
Тепло отводится от газа в изотермическом процессе, поэтому для $Q_-$ получим:
$$Q_-=T_2(S_2-S_3)
$$
где $S_2$ и $S_3$ - энтропия газа в точках $2$ и $3$ соответственно.
Поскольку изменение энтропии в адиабатических процессах равно нулю:
$$S_2-S_3=S_1-S_4=\int\limits_{T_4}^{T_1}\cfrac{\nu C_pdT}{T}=\cfrac{\gamma\nu R}{\gamma-1}\ln\cfrac{T_1}{T_4}
$$
откуда находим
Решение в $pV$ или $pT$ координатах.
Используем уравнение Менделеева-Клапейрона:
$$pV=\nu RT
$$
Тепло отводится от газа в изотермическом процессе, в котором $\delta{Q}=\delta{A}$, поэтому:
$$\delta{Q}=pdV=\cfrac{\nu RTdV}{V}\Rightarrow Q_-=\nu RT_2\int\limits_{V_3}^{V_2}\cfrac{dV}{V}=\nu RT_2\ln\cfrac{V_2}{V_3}
$$
Поскольку процесс $23$ изотермический — $V_2/V_3=p_3/p_2$. Перепишем выражение для $Q_-$:
$$Q_-=\nu RT\ln\cfrac{p_3}{p_2}
$$
Для идеального газа в квазистатическом адиабатическом процессе верно уравнение Пуассона:
$$p\sim{T^{\gamma/(\gamma-1)}}
$$
поэтому:
$$\begin{cases}
\cfrac{p_1}{p_2}=\left(\cfrac{T_1}{T_2}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}\\
\cfrac{p_4}{p_3}=\left(\cfrac{T_4}{T_3}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}
\end{cases}
\implies{\cfrac{p_3}{p_2}=\left(\cfrac{T_1}{T_4}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}}
$$
Поскольку $T_3=T_2$ и $p_4=p_1$.
Окончательно:
Запишем уравнение адиабаты для процесса $1-2$ в координатах $pT$:
$$p^{1-\gamma}T^\gamma=const\Rightarrow{\cfrac{T_1}{T_2}=\left(\cfrac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}
$$
Поскольку $p_1=p_4$
$$\cfrac{T_1}{T_2}=\beta^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}
$$
Также, поскольку $T_2=T_4/\alpha$:
Поскольку $Q_+=C_p(T_1-T_4)$, имеем:
$$\eta_1=1-\cfrac{C_pT_2\ln(T_1/T_4)}{C_p(T_1-T_4)}
$$
откуда
Для $\alpha$ и $\beta$ имеем:
$$\alpha=\cfrac{20}{17}\qquad \beta=4
$$
откуда:
Решение в $TS$ координатах.
Поскольку количества теплоты, полученные и отданные водяным и ртутным парами соответственно в изобарных политропных процессах одинаковы при одинаковых изменениях температурах - теплоёмкости в изобарных процессах также одинаковы:
$$C_{p\text{(в)}}=\cfrac{m_\text{(в)}\gamma_\text{(в)}R}{\mu_\text{(в)}(\gamma_\text{(в)}-1)}=\cfrac{m_\text{(р)}\gamma_\text{(р)}R}{\mu_\text{(р)}(\gamma_\text{(р)}-1)}=C_{p\text{(р)}}
$$
откуда:
Искомые давления равны давлениям насыщенных паров при температурах $t_4$ для ртути и $t_2$ для воды. Из графиков находим:
Примечание: во всех пунктах далее подразумевается, что $T_i=t_i+T_0$, где $T_0=273~\text{К}$.
Изменение энтропии в изотермических и изобарных процессах одинаковы, поэтому: $$\Delta{S}=\int\limits_{T_4}^{T_3}\cfrac{C_pdT}{T}=C_p\ln\cfrac{T_3}{T_4} $$ Количество теплоты, полученное ртутью в изотермическом процессе, равно: $$Q_{+\text{(р)}}=T_1\Delta{S} $$ Количество теплоты, отданное водяным паром в изотермическом процессе, равно: $$Q_{-\text{(в)}}=T_2\Delta{S} $$ В изобарном процессе водяной пар получает а ртуть отдаёт количество теплоты $Q_p$, равное: $$Q_p=C_p(T_3-T_4) $$ поэтому ответы для $\eta_\text{(р)}$ и $\eta_\text{(в)}$ следующие:
Решение в $TS$ координатах.
Поскольку в изобарном процессе газы обмениваются теплом друг с другом - к системе, участвующей в бинарном цикле, извне подводится тепло только в ртутном изотермическом процессе. Тогда КПД бинарного цикла такой же, как и у цикла Карно, состоящего из двух изотерм и двух адиабат с температурами $T_1$ и $T_2$:
$$\eta_\text{Карно}=1-\cfrac{T_\text{х}}{T_\text{н}}
$$
Окончательно:
Поскольку процесс $23$ изотермический, а изменением температуры на участке $34$ по условию можно пренебречь - температуры $t_2$, $t_3$ и $t_4$ равны температуре насыщенного пара при давлении $p_3=16~\text{кПа}$, т. е:
Температуры системы в точках $5$ и $6$ соответствуют температуре насыщенного пара при давлении $p_4=2{,}8~\text{МПа}$, т. е:
На участке $4-5$ жидкость нагревается, на участке $5-6$ - испаряется, а участок $6-1$ соответствует перегреванию водяного пара. Тогда для $Q_+$ имеем:
$$Q_+=cm(t_5-t_4)+L(t_5)m+\cfrac{\gamma_\text{(в)}mR(t_1-t_6)}{\mu_{\text{(в)}}(\gamma_\text{(в)}-1)}
$$
Поскольку $t_6>180^{\circ}\mathrm{C}$ - показатель адиабаты водяного пара равен $9/7$.
Подставляя численные значения, находим:
Количество теплоты, отданное за цикл в изотермическом процессе, равняется:
$$Q_-=T_2(S_2-S_3)
$$
Найдём изменение энтропии другим способом, учитывая, что процессы $1-2$ и $3-4$ являются адиабатными:
$$S_2-S_3=S_5-S_4+S_6-S_5+S_1-S_6=m\left(c\ln\cfrac{T_5}{T_4}+\cfrac{L(t_5)}{T_5}+\cfrac{\gamma_\text{(в)}R}{\mu_\text{(в)}(\gamma_\text{(в)}-1)}\ln\cfrac{T_1}{T_6}\right)
$$
Таким образом:
$$Q_-=mT_2\left(c\ln\cfrac{T_5}{T_4}+\cfrac{L(t_5)}{T_5}+\cfrac{\gamma_\text{(в)}R}{\mu_\text{(в)}(\gamma_\text{(в)}-1)}\ln\cfrac{T_1}{T_6}\right)
$$
Подставляя численные значение, находим:
Воспользуемся законом сохранения энергии:
$$A=Q_+-Q_-
$$
откуда:
По определению:
$$\eta_2=\cfrac{A}{Q_+}=1-\cfrac{Q_-}{Q_+}
$$
откуда:
Температуры в точках $b_{(\text{в})}$, $c_{(\text{в})}$ и $d_{(\text{в})}$ одинаковы и равны температуре насыщенного пара воды при давлении $p_{c(\text{в})}$:
Температуры в точках $e_{(\text{в})}$ и $f_{(\text{в})}$ одинаковы и равны температуре насыщенного пара воды при давлении $p_{e(\text{в})}$:
Поскольку процессы $a_\text{в}-b_\text{в}$ и $c_\text{в}-d_\text{в}$ являются адиабатическими - изменение энтропии на участках $d_\text{в}-e_\text{в}-f_\text{в}-a_\text{в}$ равно изменению энтропии на участке $c_\text{в}-b_\text{в}$:
$$S_{b\text{(в)}}-S_{c\text{(в)}}=S_{e\text{(в)}}-S_{d\text{(в)}}+S_{f\text{(в)}}-S_{e\text{(в)}}+S_{a\text{(в)}}-S_{f\text{(в)}}
$$
Для изменении энтропии воды на участках $d_\text{в}-e_\text{в}-f_\text{в}-a_\text{в}$ имеем:
$$S_{a\text{(в)}}-S_{d\text{(в)}}=m_\text{в}\left(c_\text{в}\ln\cfrac{T_2}{T_1}+\cfrac{L_\text{в}(T_2)}{T_2}+\cfrac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}\ln\cfrac{T_{a\text{(в)}}}{T_2}\right)
$$
Для изменения энтропии на участке $c_\text{в}-b_\text{в}$ имеем:
$$S_{b\text{(в)}}-S_{c\text{(в)}}=\cfrac{m_\text{в}L_\text{в}(T_1)}{T_1}+\cfrac{A_\text{пар}}{T_1}
$$
где $A_\text{пар}$ - работа водяного пара при расширении. Найдём её:
$$A_\text{пар}=\int\limits_{V_0}^{V_\text{к}}pdV=\nu RT\int\limits_{V_0}^{V_\text{к}}\cfrac{dV}{V}=\nu RT\ln\cfrac{V_\text{к}}{V_0}
$$
Поскольку пар расширяется по изотерме:
$$\cfrac{V_\text{к}}{V_0}=\cfrac{p_0}{p_\text{к}}=\cfrac{p_{c\text{(в)}}}{p_{b\text{(в)}}}
$$
Мы получили уравнение, содержащее $T_a$:
$$\cfrac{L_\text{в}(T_1)}{T_1}+\cfrac{R}{\mu_\text{в}}\ln\cfrac{p_{c\text{(в)}}}{p_{b\text{(в)}}}=c_\text{в}\ln\cfrac{T_2}{T_1}+\cfrac{L_\text{в}(T_2)}{T_2}+\cfrac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}\ln\cfrac{T_{a\text{(в)}}}{T_2}
$$
Найдём численные $L_\text{в}(T_1)$ и $L_\text{в}(T_2)$:
$$L_\text{в}(T_1)=2{,}27~\text{МДж}\qquad L_\text{в}(T_2)=1{,}98~\text{МДж}
$$
Окончательно получим:
Обозначим температуру в точке $e_\text{р}$ за $T_4$. Тогда для изменения энтропии на участке $d_\text{р}-e_\text{р}-a_\text{р}$ имеем:
$$S_{a\text{(р)}}-S_{d\text{(р)}}=m_\text{р}\left(c_\text{р}\ln\cfrac{T_4}{T_2}+\cfrac{L_\text{р}(T_4)}{T_4}\right)
$$
С другой стороны, это же изменение энтропии равно изменению энтропии на участке $c_\text{р}-b_\text{р}$, которое, в свою очередь, равно изменению энтропии воды на участке $e_\text{в}-f_\text{в}$:
$$S_{f\text{(в)}}-S_{f\text{(в)}}=\cfrac{m_\text{в}L_\text{в}(T_2)}{T_2}
$$
Приравнивая, получим зависимость $L_\text{р}(T_4)$:
$$L_\text{р}(T_4)=\cfrac{m_\text{в}L_\text{в}(T_2)T_4}{m_\text{р}T_2}-c_\text{р}T_4\ln\cfrac{T_2}{T_4}
$$
Построим данную функцию на границе зависимости $L_\text{р}(t)$ и найдём решение:
$$t_4\approx 610^{\circ}\mathrm{C}
$$
Сразу определим $L_\text{р}(t_4)$:
$$L_\text{р}(t_4)\approx 288~\text{кДж}/\text{кг}
$$
Давление ртути на искомом участке равно давлению насыщенного пара ртути при данной температуре.
Окончательно имеем:
Ртуть на участке $b_\text{р}-c_\text{р}$ обменивается теплом с водой на участке $e_\text{в}-f_\text{в}$, поэтому извне подводится тепло к ртути на участке $d_\text{р}-e_\text{р}-a_\text{р}$, а также к воде на участках $d_\text{в}-e_\text{в}$ и $f_\text{в}-a_\text{в}$.
Тогда для подведённого количества теплоты на единицу массы воды $Q_{+3}/m_\text{в}$ получим:
$$\cfrac{Q_{+3}}{m_\text{в}}=\left(c_\text{в}(t_2-t_1)+\cfrac{\gamma_\text{в}R(t_3-t_2)}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}\right)+\cfrac{m_\text{р}}{m_\text{в}}\left(c_\text{р}(t_4-t_2)+L_\text{р}(t_4)\right)\approx{4{,}976~\cfrac{\text{МДж}}{\text{кг}}}
$$
Тепло в системе отводится только от воды на участке $b_\text{в}-c_\text{в}$, поэтому для отведённого количества теплоты на единицу массы воды $Q_{-3}/m_\text{в}$ имеем:
$$\cfrac{Q_{-3}}{m_\text{в}}=\cfrac{T_1(S_{b\text{(в)}}-S_{c\text{(в)}})}{m_\text{в}}
$$
Из результатов пункта $\mathrm{D2}$:
$$\cfrac{S_{b\text{в}}-S_{c\text{в}}}{m_\text{в}}=\left(c_\text{в}\ln\cfrac{T_2}{T_1}+\cfrac{L_\text{в}(T_2)}{T_2}+\cfrac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}\ln\cfrac{T_{a\text{(в)}}}{T_2}\right)
$$
Откуда:
$$\cfrac{Q_{-3}}{m_\text{в}}=T_1\left(c_\text{в}\ln\cfrac{T_2}{T_1}+\cfrac{L_\text{в}(T_2)}{T_2}+\cfrac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}\ln\cfrac{T_{a\text{(в)}}}{T_2}\right)\approx{2{,}484~\cfrac{\text{МДж}}{Кг}}
$$
Окончательно: