Logo
Logo

Бинарные термодинамические циклы

Работа над повышением КПД паросиловых установок является важной частью снижения экономических затрат на поддержание электростанций. Развитие данной отрасли всегда упиралось в сложности технической реализации установок, а также в переход реального газа в жидкую фазу. Инженеры сформулировали следующие требования к веществам, используемым в циклах:

  1. Удельная теплоёмкость вещества в жидкой фазе должна быть наименьшей;
  2. Критическая точка вещества должна достигаться при высокой температуре и сравнительно невысоком давлении;
  3. Давление насыщенного пара при наименьшей температуре не должно быть слишком низким;
  4. Вещество должно быть легкодоступным.

Ограничения на теплоёмкость в жидкой фазе и температуру вещества в критической точке понятны из теоретических соображений, а создание камеры, выдерживающей высокое давление, и вакуумного конденсатора, поддерживающего низкое давление, являются сложными с технической точки зрения задачами. В настоящее время неизвестны вещества, удовлетворяющие всем перечисленным требованиям, в связи с чем была предложена идея бинарных циклов — использовать преимущества одного теплоносителя при высоких температурах, а другого — при низких. Бинарные циклы обладают большим КПД, чем циклы с одним из рассматриваемых веществ. Идея бинарных циклов заключается в том, чтобы между двумя веществами, находящихся в разных сосудах, происходил теплообмен. Это позволяет реализовать два цикла одновременно, избегая при этом вынужденного подведения тепла к одному из рабочих тел в процессе теплообмена.

Цикл Ренкина $1-2-3-4-1$ является одним из наиболее используемых в бинарных циклах. Он состоит из следующих процессов:

  1. $1-2$ - адиабатическое расширение;
  2. $2-3$ - изотермическое охлаждение (отведение теплоты);
  3. $3-4$ - адиабатическое сжатие;
  4. $4-1$ - изобарное нагревание.

Далее, если это не оговорено отдельно, для циклов Ренкина придерживайтесь введённых обозначений. В частях $\mathrm{A}$ и $\mathrm{B}$ анализируются циклы Ренкина с рабочим веществом в виде идеального газа и воды соответственно, а в частях $\mathrm{C}$ и $\mathrm{D}$ — соответственно бинарный газово-пароводяной цикл (будет описан отдельно) и бинарный цикл Ренкина с рабочими телами в виде воды и ртути в обоих случаях.

Часть A. Цикл Ренкина с идеальным газом (2.0 балла).

Рассмотрим цикл Ренкина с идеальным многоатомным газом. Абсолютные температуры в точках $1$, $2$ и $4$ обозначим за $T_1$, $T_2$ и $T_4$ соответственно.
Введём величины $\alpha$ и $\beta$, определяющие соотношение между температурами и давлениями в точках $2$ и $4$:
$$\alpha=\cfrac{T_4}{T_2}\qquad \beta=\cfrac{p_4}{p_2}
$$

A1  0.70 Выразите отведённое от газа за цикл количество теплоты $Q_-$ через $T_1$, $T_2$, $T_4$, $R$, количество вещества газа $\nu$ и показатель адиабаты $\gamma$.

A2  0.80 Выразите отношение $T_1/T_4$ через $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.

A3  0.50 Получите выражение для КПД цикла $\eta_1$. Ответ выразите через $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.
Найдите численное значение $\eta_1$ при $p_2=15~\text{кПа}$, $p_4=60~\text{кПа}$, $T_2=340~\text{К}$ и $T_4=400~\text{К}$.

Как уже говорилось ранее, реальным газам свойственен переход в жидкую фазу. В соответствии с требованиями инженеров к рабочим веществам бинарных циклов, опытным путём было установлено, что вода и ртуть компенсируют недостатки друг друга. Вода не удовлетворяет условию низкой теплоемкости в жидкой фазе и обладает низкой критической температурой, но удовлетворяет условию не слишком низкого значения давления в конденсаторе. Ртуть же имеет невысокое давление насыщенных паров при высоких температурах и высокую критическую температуру при сравнительно невысоком давлении, но очень низкое давление насыщенных паров в конденсаторе. В процессе теплообмена вода при температурах, близких к критической, обменивается теплом с ртутью при сравнительно невысоких для ртути температурах (порядка $200-300^\circ\mathrm{C}$). Во всех последующих частях задачи рассматриваются циклы с водой и ртутью. Индексами $\text{''(р)''}$ и $\text{''(в)''}$ будем характеризовать ртутный и водяной циклы соответственно.

Используйте обозначения, численные данные и приближения, описанные ниже:

  1. Универсальная газовая постоянная $R=8{,}31~\text{Дж}/(\text{моль}\cdot{\text{К}})$;
  2. Показатель адиабаты $C_p/C_V=\gamma$;
  3. Удельная теплоёмкость воды в жидкой фазе равна $c_\text{в}=4190~\text{Дж}/(\text{кг}\cdot{\text{К}})$ и постоянна;
  4. Молярная масса воды равна $\mu_\text{в}=18{,}02~\text{г}/\text{моль}$;
  5. Удельная теплоёмкость ртути в жидкой фазе равна $c_\text{р}=140~\text{Дж}/(\text{кг}\cdot{\text{К}})$ и постоянна;
  6. Молярная масса ртути равна $\mu_\text{р}=200{,}59~\text{г}/\text{моль}$;
  7. Всегда считайте пар (как насыщенный, так и ненасыщенный) ртути идеальным одноатомным газом.

Ниже приведены зависимости удельной теплоты парообразования ртути и воды от температуры, а также (на двух графиках, в областях сравнительно малых и больших давлений) зависимости давлений насыщенных паров ртути и воды от температуры:

Зависимость удельной теплоты парообразования воды от температуры

Зависимость удельной теплоты парообразования ртути от температуры

Зависимость давления насыщенного пара воды при низких температурах

Зависимость давления насыщенного пара воды при высоких температурах

Зависимость давления насыщенного пара ртути при низких температурах

Зависимость давления насыщенного пара ртути при высоких температурах

Часть B. Бинарный газово-пароводяной цикл (2.5 балла).

В данной части задачи рассматривается бинарный цикл, представляющий собой комбинацию газового и пароводяного циклов.

Примечание: в данной части задачи и ртуть, и вода всё время целиком находятся в газообразной фазе.

Газовый цикл $a_\text{(р)}-b_\text{(р)}-c_\text{(р)}-d_\text{(р)}-a_\text{(р)}$ для ртутного пара состоит из следующий процессов:

  1. $a_\text{(р)}-b_\text{(р)}$ — адиабатическое расширение паров ртути;
  2. $b_\text{(р)}-c_\text{(р)}$ — изобарное сжатие паров ртути до состояния насыщения;
  3. $c_\text{(р)}-d_\text{(р)}$ — адиабатическое сжатие паров ртути;
  4. $d_\text{(р)}-a_\text{(р)}$ — изотермическое расширение паров ртути.

Пароводяной цикл $a_\text{(в)}-b_\text{(в)}-c_\text{(в)}-d_\text{(в)}-a_\text{(в)}$ состоит из следующий процессов:

  1. $a_\text{(в)}-b_\text{(в)}$ — адиабатическое расширение перегретого (до температуры, выше критической) водяного пара;
  2. $b_\text{(в)}-c_\text{(в)}$ — изотермическое сжатие водяного пара до состояния насыщения;
  3. $c_\text{(в)}-d_\text{(в)}$ — адиабатическое сжатие водяного пара;
  4. $d_\text{(в)}-a_\text{(в)}$ — изобарное нагревание водяного пара.

Примечание: в данной части задачи считайте пар воды идеальным многоатомным газом, теплоёмкость которого $C_V$ не зависит от температуры. Цикл проводится так, что соответствующие температуры связаны следующим образом: $$t_{a(\text{р})}=t_{d(\text{р})}=t_1\quad t_{b(\text{в})}=t_{c(\text{в})}=t_2\quad t_{b(\text{р})}=t_{a(\text{в})}=t_3\quad t_{c(\text{р})}=t_{d(\text{в})}=t_4 $$

Считайте известными следующие данные:
$$t_1=640^{\circ}\mathrm{C}\quad t_2=40^{\circ}\mathrm{C}\quad t_3=470^{\circ}\mathrm{C}\quad t_4=230^{\circ}\mathrm{C}
$$

В изобарных процессах между ртутью и водяным паром происходит теплообмен, так что количество теплоты, отведённое от паров ртути на участке $b_\text{(р)}-c_\text{(р)}$ равно количеству теплоты, подведённому к парам воды на участке $d_\text{(в)}-a_\text{(в)}$:
$$-Q_{bc(\text{р})}=Q_{da(\text{в})}
$$

B1  0.50 Найдите отношение масс ртути и воды $m_\text{(р)}/m_\text{(в)}$, участвующих в цикле.

B2  0.40 Используя графики зависимости давления насыщенных паров ртути и воды от температуры, оцените значения давлений $p_{c\text{(р)}}$ и $p_{c\text{(в)}}$.

B3  0.80 Найдите КПД ртутного и водяного цикла $\eta_\text{(р)}$ и $\eta_\text{(в)}$ соответственно.

B4  0.80 Найдите КПД $\eta_\text{гп}$ бинарного газово-пароводяного цикла. Сравните его с $\eta_\text{(р)}$ и $\eta_\text{(в)}$.

В действительности, рассмотренный в части $\mathrm{B}$ бинарный цикл работает несколько иначе, поскольку теплоёмкость водяного пара зависит от температуры даже при постоянном давлении. Это связано как с тем, что насыщенный пар воды в действительности не является идеальным газом, так и с тем, что при повышении температуры газа вклад колебательного движения молекул в их кинетическую энергию перестаёт быть пренебрежимо малым, поэтому во всех последующих пунктах задачи считать пар воды идеальным газом уже нельзя. В действительности, молярная теплоёмкость пара воды $C_V$ зависит как от температуры, так и от давления, однако в рамках задачи при поиске элементарного количества теплоты $\delta{Q}$ зависимость $C_V$ от давления можно считать слабой, а также воспользоваться приближением изменения теплоёмкости скачком: $$C_V=\begin{cases} 3R\quad\text{при}\quad{t\leq{180^{\circ}C}}\\ 7R/2\quad\text{при}\quad{t>180^{\circ}C} \end{cases} $$ Примечание: поскольку теплоёмкость $C_V$ непрерывно зависит и от температуры, и от давления, любое интегральное уравнение состояния в координатах $pT$ (к примеру, уравнение Пуассона для адиабатического процесса), применённое при температуре, большей $t_{crit}\approx200^\circ$, будет давать существенную ошибку и приводить к весьма парадоксальным результатам! При температурах, меньших $t_{crit}$, можно с хорошей точностью пользоваться уравнениями состояния даже в координатах $pT$.

Часть C. Цикл Ренкина с промежуточным перегревом пара (2.0 балла).

В данной части задачи рассматривается пароводяной цикл Ренкина $1-2-3-4-5-6-1$. Полная последовательность процессов в цикле следующая:

  1. $1-2$ — адиабатическое расширение водяного пара;
  2. $2-3$ — изотермическое сжатие водяного пара до насыщения и последующая полная конденсация;
  3. $3-4$ — адиабатическое сжатие воды (изменением температуры можно пренебречь);
  4. $4-5$ — изобарное нагревание воды до температуры кипения;
  5. $5-6$ — изобарное испарение воды;
  6. $6-1$ — изобарное нагревание водяного пара.

Температура в точке $1$ равна $t_1=630^{\circ}\mathrm{C}$.
В точке $3$ давление в системе равно $p_3=16~\text{кПа}$, а в точке $4$ — $p_4=2{,}8~\text{Мпа}$.
Цикл проводится с массой $m_\text{в}=17~\text{кг}$.

C1  0.40 Найдите температуры системы в точках $2$, $3$, $4$, $5$ и $6$.

C2  0.60 Найдите количество теплоты $Q_+$, подведённое к системе за цикл.

C3  0.80 Найдите количество теплоты $Q_-$, отведённое от системы за цикл.

C4  0.20 Найдите работу газа $A$ за цикл и его КПД $\eta_2$.

Часть D. Бинарный цикл Ренкина (3.5 балла)

В данной части задачи мы рассмотрим бинарный цикл Ренкина для ртути и воды. Процессы ртутного цикла $a_\text{р}-b_\text{р}-c_\text{р}-d_\text{р}-e_\text{р}-a_\text{р}$:

  1. $a_\text{р}-b_\text{р}$ — адиабатическое расширение ртутного пара;
  2. $b_\text{р}-c_\text{р}$ — изотермическое сжатие ртутного пара с последующей полной конденсацией;
  3. $c_\text{р}-d_\text{р}$ — адиабатическое сжатие жидкой фазы ртути (изменением температуры можно пренебречь);
  4. $d_\text{р}-e_\text{р}$ — изобарное нагревание жидкой фазы ртути;
  5. $e_\text{р}-a_\text{р}$ — полное испарение жидкой фазы ртути.

Процессы водяного цикла $a_\text{в}-b_\text{в}-c_\text{в}-d_\text{в}-e_\text{в}-f_\text{в}-a_\text{в}$:

  1. $a_\text{в}-b_\text{в}$ — адиабатическое расширение водяного пара;
  2. $b_\text{в}-c_\text{в}$ — изотермическое сжатие водяного пара до насыщения и последующая полная конденсация;
  3. $c_\text{в}-d_\text{в}$ — адиабатическое сжатие воды (изменением температуры можно пренебречь);
  4. $d_\text{в}-e_\text{в}$ — изобарное нагревание воды до температуры кипения;
  5. $e_\text{в}-f_\text{в}$ — изобарное испарение воды;
  6. $f_\text{в}-a_\text{в}$ — изобарное нагревание водяного пара.

Циклы проводятся согласованно и таким образом, что количество теплоты, отведённое от ртути на участке $b_\text{р}-c_\text{р}$ равно количеству теплоты, подведённому к парам воды на участке $e_\text{в}-f_\text{в}$:
$$-Q_{bc(\text{р})}=Q_{ef(\text{в})}
$$
Процессы $b_\text{р}-c_\text{р}$ и $e_\text{в}-f_\text{в}$ проводятся при одинаковой температуре.

Давления в точках $b_\text{в}$, $c_\text{в}$ и $e_\text{в}$ водяного цикла равны соответственно:
$$p_{b(\text{в})}=25~\text{кПа}\qquad p_{c(\text{в})}=88~\text{кПа}\qquad p_{e(\text{в})}=1{,}2~\text{МПа}
$$
Отношение масс ртути и воды $m_\text{р}/m_\text{в}=10{,}3$

D1  0.20 Найдите температуры в точках $b_\text{в}$, $c_\text{в}$, $d_\text{в}$, $e_\text{в}$, $f_\text{в}$ водяного цикла.

D2  1.00 Найдите температуру в точке $a_\text{в}$ водяного цикла.

D3  1.30 Найдите давление ртути на участке $d_\text{р}-e_\text{р}-a_\text{р}$.

D4  1.00 Найдите КПД бинарного цикла Ренкина с ртутью и водой $\eta_3$.