| A1. 1 Момент инерции стержня:\[I_{ст}=\frac43ml^2.\] | 0.10 |
|
| A1. 2 Момент инерции сферы:\[I_{сф}=ml^2.\] | 0.10 |
|
|
A1. 3
Правильный ответ:\[I=\frac{10}3ml^2.\]
Примечание: В случае ошибки в этом пункте на последующие пункты распространяется propagation error. |
0.10 |
|
|
A2. 1
Записаны законы сохранения энергии и момента импульса в проекции на ось вращения:\[\begin{cases}
E=\cfrac{mv^2}{2}+\cfrac{I\omega^2_i}{2}=\cfrac{mu^2}{2}+\cfrac{I\omega^2_{i+1}}{2}\\ L=mvl+I\omega_i=mul+I\omega_{i+1} \end{cases}\]где $u$ — скорость шарика после столкновения. |
2 × 0.10 |
|
| A2. 2 $u$ исключена из уравнения:\[\frac Im(\omega^2_{i+1}-\omega^2_i)=v^2-\left(v-\cfrac{I(\omega_{i+1}-\omega_i)}{ml}\right)^2.\] | 0.20 |
|
| A2. 3 Правильный ответ:\[\omega_{i+1}=\cfrac{7\omega_i}{13}+\cfrac{6v}{13l}.\] | 0.10 |
|
| A3. 1 Правильный ответ, полученный подстановкой $\omega_0=0$ в рекуррентное уравнение:\[\omega_1=\cfrac{6v}{13l}.\] | 0.20 |
|
| A4. 1 Правильный ответ, полученный подстановкой $\omega_{i+1}=\omega_i$ в рекуррентное уравнение:\[\omega^*=\cfrac{v}{l}\] | 0.20 |
|
Подсказка: воспользуйтесь переменной $\omega'_i=\omega_i-v/l$.
| A5. 1 Рекуррентное уравнение переписано через «штрихованные» переменные:\[13\omega'_{i+1}=7\omega'_i.\] | 0.20 |
|
| A5. 2 Общее решение рекурренты:\[\omega'_i=\omega'_1\cdot{\left(\cfrac{7}{13}\right)^{i-1}}.\] | 0.15 |
|
| A5. 3 Частное решение рекурренты:\[\omega'_i=-\cfrac{v}{l}\left(\cfrac{7}{13}\right)^i.\] | 0.15 |
|
| A5. 4 Правильный ответ:\[\omega_i=\cfrac{v}{l}\left(1-\left(\cfrac{7}{13}\right)^i\right).\] | 0.10 |
|
| A6. 1 Правильный ответ, полученный подстановкой $\omega_{i+1}=\omega_i$ в рекуррентное уравнение в общем виде:\[\omega^*=\cfrac{v}{l}.\] | 0.20 |
|
| B1. 1 Закон сохранения энергии:\[E=\cfrac{mv^2}{2}=\cfrac{I\omega^2_1}{2}+\cfrac{mu^2}{2}.\] | 0.20 |
|
| B1. 2 Закон сохранения момента импульса:\[L=mvl=I\omega_1.\] | 0.20 |
|
| B1. 3 Указано, что сохраняется компонента скорости вылетающего шарика, перпендикулярная линии центров:\[v_\perp=v\sin\alpha=\operatorname{const}.\] | 0.20 |
|
| B1. 4 Получено уравнение на угол $\alpha$:\[\operatorname{tg}^2\alpha=1-\cfrac{ml^2}{I}.\] | 0.20 |
|
| B1. 5 Правильный ответ:\[k_0=\sqrt{\cfrac{I-ml^2}{2I-ml^2}}=\sqrt{\cfrac{7}{17}}.\] | 0.20 |
|
| B2. 1 Выбор удобных осей параллельно и перпендикулярно линии центров. | 0.40 |
|
|
B2. 2
Система (ЗСЭ и ЗСМИ) спроецирована на эти оси:\[\begin{cases}
I\omega^2_i+mv^2\cos^2\alpha=I\omega^2_{i+1}+mu^2_\parallel\\ I\omega_i+mvl\cos^2\alpha=I\omega_{i+1}+mu_{\parallel}l\cos\alpha \end{cases}\] |
0.20 |
|
| B2. 3 $u_\parallel$ исключено из системы:\[u^2_\parallel=v^2\cos^2\alpha-\cfrac{I(\omega^2_{i+1}-\omega^2_i)}{m}=\left(v\cos\alpha-\cfrac{I(\omega_{i+1}-\omega_i)}{ml\cos\alpha}\right)^2.\] | 0.20 |
|
| B2. 4 Правильный ответ:\[\omega_{i+1}=\cfrac{6v(1-k^2)}{l(13-3k^2)}+\omega_i\cfrac{7+3k^2}{13-3k^2}.\] | 0.20 |
|
| B3. 1 Правильный ответ:\[\omega_1=\cfrac{6v(1-k^2)}{l(13-3k^2)}.\] | 0.20 |
|
| B4. 1 Рекуррентное уравнение переписано через «штрихованные» переменные:\[\omega'_{i+1}\left(1+\cfrac{I}{ml^2\cos^2\alpha}\right)=\omega'_i\left(\cfrac{I}{ml^2\cos^2\alpha}-1\right).\] | 0.20 |
|
| B4. 2 Общее решение рекурренты:\[\omega'_i=\omega'_1\left(\cfrac{7+3k^2}{13-3k^2}\right)^{i-1}.\] | 0.20 |
|
| B4. 3 Частное решение рекурренты:\[\omega'_i=\cfrac{v}{l}\left(\cfrac{7+3k^2}{13-3k^2}\right)^i.\] | 0.20 |
|
| B4. 4 Правильный ответ:\[\omega_i=\cfrac{v}{l}\left(1-\left(\cfrac{7+3k^2}{13-3k^2}\right)^i\right).\] | 0.20 |
|
| C1. 1 Для нахождения угловой скорости $\omega^\uparrow$ после первого столкновения использовано рекуррентное уравнение с $\omega_i=0$ и $\omega_{i+1}=\omega^\uparrow$. | 0.15 |
|
|
C1. 2
Получено правильное выражение:\[\omega^\uparrow=\frac{2\varepsilon\omega_0}{1+\varepsilon}.\]
Примечание: Это общий подпункт разбалловки для пунктов C1–C3. В случае ошибки здесь на ответы этих пунктов распространяется propagation error. |
0.15 |
|
|
C1. 3
Из энергетических соображений записано неравенство:\[\frac I2\omega^{\uparrow\,2} > \pi\alpha I.\]
Примечание: Если вместо $\pi$ использован угол $2\pi$, то на последующие пункты распространяется propagation error. |
0.10 |
|
| C1. 4 Получен правильный ответ:\[\alpha < \frac{2\varepsilon^2\omega_0^2}{\pi(1+\varepsilon)^2}.\] | 0.10 |
|
| C2. 1 Записано уравнение свободного движения системы:\[\dot\omega=-\beta\omega.\] | 0.10 |
|
| C2. 2 Уравнение проинтегрировано до временнóй зависимости угловой скорости:\[\omega(t)=\omega^\uparrow e^{-\beta T}.\] | 0.15 |
|
| C2. 3 M1 Найден максимальный угол поворота системы:\[\varphi=\frac{\omega^\uparrow}\beta.\] | 0.10 |
|
|
C2. 4
M1
Указано, что этот угол должен быть больше $\pi$.
Примечание: Если вместо $\pi$ использован угол $2\pi$, то на последующие пункты распространяется propagation error. |
0.05 |
|
| C2. 5 M1 Получен правильный ответ:\[\beta < \frac{2\varepsilon\omega_0}{\pi(1+\varepsilon)}.\] | 0.10 |
|
| C2. 6 M2 \[\omega(t)\ne0~\forall t > 0\implies\beta < +\infty\] | 0.05 |
|
| C3. 1 Записано уравнение свободного движения системы:\[\dot\omega=-\gamma\omega^2.\] | 0.10 |
|
| C3. 2 Уравнение проинтегрировано до временнóй зависимости угловой скорости:\[\omega(t)=\frac{\omega^\uparrow}{1+\gamma\omega^\uparrow t}.\] | 0.15 |
|
| C3. 3 M1 Сделан вывод о расходимости угла поворота системы. | 0.15 |
|
| C3. 4 M1 Правильный ответ:\[\gamma < +\infty.\] | 0.10 |
|
| C3. 5 M2 \[\omega(t)\ne0~\forall t > 0\implies\gamma < +\infty\] | 0.05 |
|
|
C4. 1
Из энергетических соображений записано неравенство:\[\frac I2\omega^{\uparrow\,2}-\frac I2\omega^{\downarrow\,2}=\pi\alpha I.\]
Примечание: Если вместо $\pi$ использован угол $2\pi$, то на последующие пункты распространяется propagation error. |
0.15 |
|
|
C4. 2
Решаемая система уравнений переписана через $\overline\omega$:\[\left\{\begin{array}l\overline\omega\Delta\omega=\frac{\pi\alpha}2\\\overline\omega+\cfrac{\Delta\omega}\varepsilon=\omega_0\end{array}\right.\]
Примечание: баллы за подпункт ставятся также в том случае, когда оба уравнения записаны в решении только в исходных переменных, а $\overline\omega$ вводится далее как $\overline\omega=\cfrac{\omega^\downarrow+\omega^\uparrow}2$. |
0.20 |
|
|
C4. 3
Получено квадратное уравнение:\[\overline\omega^2-\omega_0\overline\omega+\frac{\pi\alpha}{2\varepsilon}=0.\]
Примечание: Учитываются также правильные уравнения на $\omega^\uparrow$ и $\omega^\downarrow$. |
0.10 |
|
| C4. 4 Выбран корень со знаком $+$. | 0.05 |
|
| C4. 5 Правильный ответ:\[\overline\omega_1=\frac{\omega_0+\sqrt{\omega_0^2-\cfrac{2\pi\alpha}\varepsilon}}{2}.\] | 0.20 |
|
|
C5. 1
Для определения времени между соударениями записано интегральное уравнение:\[\pi=\int_0^T\omega^\uparrow e^{-\beta t}~\mathrm dt.\]
Примечание: Если вместо $\pi$ использован угол $2\pi$, то на последующие пункты распространяется propagation error. |
0.10 |
|
| C5. 2 Интегральное уравнение правильно решено:\[T=-\frac1\beta\ln\left(1-\frac{\pi\beta}{\omega^\uparrow}\right).\] | 0.15 |
|
| C5. 3 Получено выражение для угловой скорости $\omega^\downarrow$ непосредственно перед соударением с шариком:\[\omega^\downarrow=\omega^\uparrow e^{-\beta T}.\] | 0.10 |
|
| C5. 4 Величины $\omega^\uparrow$ и $\omega^\downarrow$ подставлены в рекуррентное уравнение:\[\omega^\uparrow\left(1+\varepsilon^{-1}\right)+\left(\omega^\uparrow-\pi\beta\right)\left(1-\varepsilon^{-1}\right)=2\omega_0.\] | 0.05 |
|
| C5. 5 Правильный ответ:\[\omega^\uparrow=\omega_0-\frac{\pi\beta}2\left(\varepsilon^{-1}-1\right).\] | 0.10 |
|
|
C6. 1
Установившаяся средняя угловая скорость находится как:\[\overline\omega=\frac\pi T.\]
Примечание: Общий подпункт разбалловки для пунктов D6 и D8. Если вместо $\pi$ использован угол $2\pi$, то на последующие пункты распространяется propagation error. |
0.05 |
|
| C6. 2 Правильное выражение для $T$:\[T=\frac1\beta\ln\frac{2\varepsilon\omega_0-\pi\beta(1-\varepsilon)}{2\varepsilon\omega_0-\pi\beta(1+\varepsilon)}.\] | 0.15 |
|
| C6. 3 Правильный ответ:\[\overline\omega_2=\frac{\pi\beta}{\ln\left(2\varepsilon\omega_0-\pi\beta(1-\varepsilon)\right)-\ln\left(2\varepsilon\omega_0-\pi\beta(1+\varepsilon)\right)}.\] | 0.20 |
|
|
C7. 1
Для определения времени между соударениями записано интегральное уравнение:\[\pi=\int_0^T\frac{\omega^\uparrow}{1+\gamma\omega^\uparrow t}~\mathrm dt.\]
Примечание: Если вместо $\pi$ использован угол $2\pi$, то на последующие пункты распространяется propagation error. |
0.10 |
|
| C7. 2 Интегральное уравнение правильно решено:\[T=\frac{e^{\pi\gamma}-1}{\gamma\omega^\uparrow}.\] | 0.15 |
|
| C7. 3 Получено выражение для угловой скорости $\omega^\downarrow$ непосредственно перед соударением с шариком:\[\omega^\downarrow=\omega(T)=\omega^\uparrow e^{-\pi\gamma}.\] | 0.10 |
|
| C7. 4 Величины $\omega^\uparrow$ и $\omega^\downarrow$ подставлены в рекуррентное уравнение:\[\omega^\uparrow\left(1+\varepsilon^{-1}\right)+\omega^\uparrow e^{-\pi\gamma}\left(1-\varepsilon^{-1}\right)=2\omega_0.\] | 0.05 |
|
| C7. 5 Правильный ответ:\[\omega^\uparrow=\frac{2\omega_0\varepsilon}{1-e^{-\pi\gamma}+\varepsilon\left(1+e^{-\pi\gamma}\right)}.\] | 0.10 |
|
| C8. 2 Правильное выражение для $T$:\[T=\frac2{\varepsilon\gamma\omega_0}\operatorname{sh}\frac{\pi\gamma}2\left(\operatorname{sh}\frac{\pi\gamma}2+\varepsilon\operatorname{ch}\frac{\pi\gamma}2\right).\] | 0.20 |
|
| C8. 3 Правильный ответ:\[\overline\omega_3=\frac{\pi\varepsilon\gamma\omega_0}{2\operatorname{sh}\frac{\pi\gamma}2\left(\operatorname{sh}\frac{\pi\gamma}2+\varepsilon\operatorname{ch}\frac{\pi\gamma}2\right)}.\] | 0.20 |
|