Logo
Logo

Магнитная ловушка

Магнитные ловушки повсеместно используются в науке для удержания различных объектов и изоляции их от внешних воздействий. Этот эксперимент посвящен изучению одного из типов магнитных ловушек.

ОБОРУДОВАНИЕ:

  1. Пузырьковый уровень
  2. Фрагмент миллиметровки
  3. Клейкая масса
  4. Пластиковый пинцет
  5. Набор графитовых грифелей: $d\in\{0.3, 0.7, 0.9\}~\text{мм}$ — по 1 шт., $d=0.5~\text{мм}$ — 3 шт.
  6. Магнит с диаметральной намагниченностью (еще один выдаётся по требованию перед выполнением части B)
  7. Регулируемый столик
  8. Опора подставки для магнитов
  9. Опора подставки для магнитов с миллиметровой шкалой
  10. Секундомер
  11. Проставка (для удобства сборки магнитов в подставке)
  12. Отвертка
  13. Датчик Холла с блоком питания
  14. Мультиметр с соединительными проводами
  15. Линейка $20~\text{см}$

ИЗВЕСТНЫЕ КОНСТАНТЫ:

  • ускорение свободного падения $g = 9.81~\text{м}/\text{с}^2$
  • магнитная постоянная $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}~\text{Гн} / \text{м}$
  • плотность графита $\rho = 1690~\text{кг}/\text{м}^3$

Введём обозначения для параметров установки и будем их придерживаться в течение всей работы.

Не переобозначайте величины, упомянутые в условии!

ОБОЗНАЧЕНИЯ:

  • $L=40~\text{мм}$ – длина каждого магнита,
  • $R=5.0~\text{мм}$ – радиус каждого магнита,
  • $a=5.75~\text{мм}$ – расстояние между центром магнита в подставке и началом координат (см. часть B),
  • $d=2r \in \{0.3, 0.5, 0.7, 0.9\}~\text{мм}$ – диаметры выданных грифелей,
  • $l$ – длина грифеля,
  • $m_0$ — масса грифеля длины $l$,
  • $m$ — магнитный момент каждого из магнитов,
  • $M$ — намагниченность каждого из магнитов (магнитный момент единицы объема),
  • $\chi$ — магнитная восприимчивость графита,
  • $m_\text{гр}$ — магнитный момент грифеля, помещенного во внешнее магнитное поле,
  • $M_\text{гр}$ — намагниченность грифеля, помещенного во внешнее магнитное поле (магнитный момент единицы объема).

УКАЗАНИЯ:

  1. Расчет погрешностей требуется только в пунктах B1 и B6, где об этом явно написано.
  2. Чувствительный элемент датчика Холла измеряет магнитное поле, перпендикулярное своей поверхности. Вы можете изгибать провода, ведущие от чувствительного элемента к блоку его питания, однако ЗАПРЕЩЕНО ИЗГИБАТЬ ДАТЧИК относительно проводов: его «ножки» чрезвычайно хрупкие.
  3. Выданные вам неодимовые магниты очень сильные, но хрупкие и дорогие. Будьте ПРЕДЕЛЬНО АККУРАТНЫ С МАГНИТАМИ! В случае раскола магнита новый не будет выдан, большую часть измерений провести не удастся…
  4. Близость металлических предметов к магнитам искажает их поле. Выберите для измерений часть парты, далёкую от ее металлических креплений, и отодвиньте подальше лишние металлические предметы.
  5. Графитовые грифели очень хрупкие, будьте с ними аккуратны. Продумайте последовательность измерений, чтобы вам хватило выданных грифелей. НОВЫЕ ГРИФЕЛИ ВЫДАВАТЬСЯ НЕ БУДУТ.

Часть A. Поле дипольной линии (5.0 баллов)

Введем систему координат с началом в центре магнита и осью $Ox$, направленной вдоль вектора намагниченности магнита $\vec M$. Вектор $\vec M$ во всех точках внутри магнита одинаков и направлен как на рисунке.

ИНСТРУКЦИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ДАТЧИКА ХОЛЛА:

  1. Подсоедините блок питания датчика Холла к вольтметру с помощью проводов «банан-банан». Включите вольтметр.
  2. Переведите рычажок на блоке питания датчика в положение «ON» (см. рис. слева).
  3. Убедитесь, что через отверстие в корпусе виден горящий зеленый индикатор (см. рис. справа).
  4. В это же отверстие можно вставить отвертку и отрегулировать подстроечный потенциометр так, чтобы в отсутствие магнитного поля вольтметр показывал $0~\text{В}$.
  5. Датчик Холла имеет чувствительность $k=31.25~В/Тл$.
  6. После окончания измерений переведите рычажок включения блока питания в прежнее положение, чтобы выключить блок питания и не допускать разряда встроенной батарейки.

A1  2.00 Снимите зависимость $B(x)$. Проведите измерения в точках на оси $Ox$ во всем диапазоне $15~\text{мм} \leq x \leq 100~\text{мм}$. Для закрепления магнита на столе в удобном положении можно использовать опоры от подставки и клейкую массу. Пересчет напряжения в индукцию поля в этом пункте не требуется.

В пределе $x \to \infty$ (т.е. в «дальнем поле») магнитное поле $B(x)$ совпадает с полем точечного магнитного диполя, однако при небольших $x$ (в «ближнем поле») справедлива другая зависимость, в которой $n$ — неизвестное положительное число:
\begin{cases}
B(x) \propto 1/x^n, & x \sim 1~\text{см} \quad \text{ближнее поле}\\
B(x) \propto 1/x^3, & x \to \infty \quad \text{дальнее поле}
\end{cases}

A2  0.60 Запишите точную формулу $B(x)$ для точечного магнитного диполя.

A3  1.00 Постройте график $(-\ln B)$ от $\ln x$ для всего диапазона измеренных значений. При каком характерном $x_{crit}$ сменяется характер зависимости?

A4  0.40 По построенному в пункте A3 графику определите величину $n$.

A5  1.00 Постройте линеаризованный график в таких координатах, чтобы по наклону графика определить намагниченность $M$ магнита (магнитный момент единицы объема). Рассчитайте численное значение величины $M$.

Часть B. Равновесие по вертикали (5.0 баллов)

Попросите дежурного выдать вам второй магнит.

Соберите установку, изображенную на рисунке.

Это можно сделать удобно и безопасно, если выполнить следующую последовательность действий:

  1. Если магниты примагничены между собой, поверните их оси друг относительно друга, чтобы разъединить.
  2. Снова сближая магниты, зажмите между ними проставку (см. оборудование).
  3. Отверстия в опорах находятся на чуть большем расстоянии друг от друга, чем обеспечивает проставка. Чтобы воткнуть одну пару торцов в опору, немного отклоните магниты от нормали к опоре и засовывайте их «по диагонали».
  4. Не вынимая проставку, вставьте вторую пару торцов во вторую опору, аналогичным образом задав небольшой угол магнитов с нормалью.
  5. Когда обе пары торцов магнитов вставлены в опоры, выровняйте систему, чтобы опоры ровно стояли на столе. Проставка легко вынимается.

Установите подставку с магнитами на наклоняемый столик. Регулировочными винтами добейтесь горизонтальности его поверхности, контролируя ее с помощью пузырькового уровня.

Подготовьте по одному отрезку длины $\approx10~\text{мм}$ грифелей каждого диаметра $d$. С помощью пинцета аккуратно положите любой из них в «желоб» между магнитами. Пронаблюдайте «левитацию», ее устойчивость, затухание различных видов колебаний. Проверьте, что колебания происходят вблизи середины магнитов, и если это не выполняется и грифель «уезжает» в сторону одной из опор, подкорректируйте наклон столика. Когда грифель остановится в положении равновесия, по шкале на одной из опор можно определить глубину $h$ (в миллиметрах), на которую он погружен относительно верхних точек магнитов. Будьте внимательны и хорошо подумайте, к какой линии шкалы относится подпись «-3».

B1  1.00 Измерьте зависимость $h(d)$. Укажите погрешности измерений, учитывая, что точность изготовления каждого грифеля $\Delta d = \pm 0.05~\text{мм}$. Опишите вид зависимости $h(d)$. Строить график не требуется.

B2  0.50 В листе ответов отметьте, каким материалом является графит, в соответствии с наблюдаемыми эффектами: диамагнитным, парамагнитным или ферромагнитным. Объясните ваш выбор.

В зазоре между магнитами во всех точках на оси $Oy$ (см. рис.) магнитное поле направлено вдоль оси $Ox$ и задаётся некоторой функцией $B(y)$.

Считайте известным, что в однородном магнитном поле $B$ у цилиндра (графитового грифеля) появляется намагниченность $M_\text{гр}=\cfrac{2}{\mu_0} \cfrac{\chi}{\chi + 2} B$. Поле магнитов в области нахождения грифеля можно считать однородным.

Энергию грифеля, который в магнитном поле приобрел магнитный момент $\vec{m}_\text{гр}$, можно вычислить как $U=-\cfrac{1}{2}\left( \vec{m}_\text{гр} \cdot \vec B \right)$.

B3  1.00 Выразите вертикальную силу $F(y)$, действующую на намагнитившийся грифель со стороны магнитного поля, через функцию $B(y)$ и величины $\chi$, $\mu_0$, $r$ и $l$. Выражение, содержащее другие величины, не будет засчитываться.

Далее считайте известным явный вид функции $ B(y) = \cfrac{\mu_0 M R^2}{a^2} \cdot \cfrac{1-u^2}{\left( 1+u^2 \right) ^2}$, где $u=\cfrac{y}{a}$.

B4  1.00 Получите окончательное выражение для $F(u)$ через величины $\chi$, $\mu_0$, $M$, $r$, $l$, $R$, $a$, $u$. Выражение, содержащее другие величины, не будет засчитываться.

B5  0.50 Запишите, как выражается $u$ через измеренную величину $h$ и какое численное значение $u$ вы будете использовать в расчетах.

B6  1.00 Рассчитайте численно магнитную восприимчивость графита $\chi$ на основании измерений из части B1. Оцените погрешность результата методом границ.

Часть C. Равновесие по горизонтали и горизонтальные колебания. Двугорбый потенциал (7.0 баллов)

При $x=0$ и фиксированной вертикальной координате $y$ магнитное поле имеет слабую зависимость от координаты $z$. За счет этой зависимости потенциальная энергия грифеля (в расчете на единицу его массы) $U(z)$ в магнитном поле при фиксированном $y$ имеет вид «двугорбого потенциала», у которого есть провал глубины $\Delta U$ в центре и максимумы на координатах $\pm z_{max}$. При $|z|>z_{max}$ потенциал очень резко убывает.

\textit{Примечание:} В этой части задачи измерения проводятся только с грифелем диаметра $d=0.5~\text{мм}$.

Используйте грифель с параметрами $d=0.5~\text{мм}$, $l\approx10~\text{мм}$. Вы можете наблюдать колебания грифеля вдоль «желоба» между магнитами, т.е. вдоль оси $Oz$.

Регулировочными винтами изменяйте наклон столика к горизонту $\alpha$ так, чтобы приподнимать один из концов «желоба» между магнитами. Пронаблюдайте, как при этом смещается положение равновесия $z_0$ горизонтальных колебаний грифеля.

Примечание: Обратите внимание, что пузырьковый уровень не подходит для точного измерения углов. Угол наклона столика следует рассчитывать по высоте его края, измеренной линейкой.

C1  1.00 Измерьте необходимые величины и получите зависимость $z_0(\alpha)$ для не менее 4 различных значений $\alpha$. График строить в этом пункте не требуется. Если обнаружится какая-то особенность поведения грифеля, запишите соответствующее $\alpha_{crit}$.

C2  1.00 Оцените численно значение величины $\Delta U$ и предъявите ваши рассуждения.

C3  1.50 В строго горизонтальном положении столика (убедитесь по положению равновесия грифеля) измерьте зависимость $T(l)$ периода колебаний от длины грифеля в максимально возможном диапазоне длин $l$. Получите не менее 10 экспериментальных точек $T(l)$. График строить в этом пункте не требуется.

Запишите критические длины $l_{min}$ и $l_{max}$, при которых меняется характер наблюдаемых процессов, и опишите происходящее.

C4  0.50 Оцените численно значение величины $z_{max}$ и предъявите ваши рассуждения.

Двугорбый потенциал (в расчете на единицу массы) можно аппроксимировать многочленом 4-й степени: $U(z) \approx c_0 + c_2 z^2 + c_4 z^4$.

C5  1.00 Опираясь на измерения $z_0(\alpha)$, проведенные в части C1, постройте линеаризованный график и определите численное значение величины $c_2$.

C6  1.00 Запишите закон сохранения энергии для колебаний грифеля длины $l$ в потенциале $U(z) = c_0 + c_2 z^2 + c_4 z^4$ и получите теоретическое выражение для периода $T(l)$ малых колебаний. Середина грифеля находится в точке с координатой $z=0$.

C7  1.00 Опираясь на измерения $T(l)$, проведенные в части C3, постройте линеаризованный график и определите численные значения величин $c_2$ и $c_4$.

Часть D. Затухающие колебания (3.0 балла)

Затухание горизонтальных колебаний грифеля обусловлено вязкостью воздуха и токами Фуко, возникающими при его движении в неоднородном магнитном поле и взаимодействующими с этим полем. С учетом названных двух эффектов можно записать силу сопротивления движению (в расчете на единицу массы) как $F_\text{сопр}/m=-\gamma \dot z$.

В этой части используйте грифель с параметрами $d=0.5~\text{мм}$, $l\approx10~\text{мм}$.

D1  3.00 Проведите необходимые измерения затухающих колебаний, постройте линеаризованный график и рассчитайте численно значение величины $\gamma$.