Ветроэнергетика – один из способов получать электрическую энергию, используя возобновляемые виды энергии. Эта область активно развивается: к началу 2016 года общая установленная мощность всех ветрогенераторов составила $4.32\cdot{10}^{11}\ Вт$ и превысила суммарную установленную мощность атомной энергетики. 

В данной задаче исследуются две разных конструкции анемометров (прибор для измерения скорости ветра): с теннисным мячом и с нитью лампы накаливания. Кроме того, изучается эффективность преобразования энергии ветряной турбиной. Для измерений используется ламинарный поток воздуха в аэродинамической трубе. Для создания такого потока на один из концов трубы необходимо установить вентилятор, который откачивает воздух из трубы.

• Ускорение свободного падения $g=9.81~м/c^2$
• Плотность воздуха $\rho_A=1.14~кг/м^3$
• Диаметр шарика $d_B = 39.5~мм$

Оценка погрешностей не требуется!

Часть A. Теория (1.0 балла)

A1  ^0.40

Рассмотрим порцию воздуха с плотностью $\rho_A$ текущего по трубе с поперечным сечением $A_0$, как показано на рисунке 2. Покажите, что мощность потока равна:$$P_W=\frac{1}{2} \rho_A A_0v^n. \tag{1}$$Определите значение $n$.

Рис. 2

A2  ^0.40

Рассмотрим турбину с эффективной площадью ротора $A_0$, находящуюся в потоке воздуха. Можно считать, что скорость потока в окрестности турбины равна $\left(v_0+v_2\right)/2$, где $v_0$ – скорость набегающего на турбину воздуха, $v_2 –$ скорость ветра за турбиной. Максимальная мощность, отобранная турбиной от воздуха, может быть записана как
$$P_R=\frac{1}{4}\rho_AA_0\left(v_0+v_2\right)\left(v_0^2-v_2^2\right). \tag{2}$$
Скорость ветра за турбиной запишем как $v_2=\lambda v_0$. Качественно понятно, что для извлечения максимальной мощности коэффициент $\lambda$ не должен быть очень маленьким (поток останавливается), и не должен быть очень большим (турбина почти не отбирает мощность от потока). Найдите оптимальное значение $\lambda$, при котором турбина получает максимальную мощность.

A3  ^0.20 Определим КПД турбины $C_P$ как отношение отбираемой турбиной мощности $P_R$ к мощности потока $P_W$:
$$C_P=\frac{P_R}{P_W}.\tag{3}$$
Используя данные пункта A2 определите максимальное значение $C_P$. Данное значение независимо друг от друга в 1920 году вычислили немецкий ученый Альберт Бец и русский ученый Николай Жуковский.
 

Часть B. Аэродинамическая труба (3.2 балла)

Внимание!

• Если вы не проводите измерения – отключайте батарейку от цепи. 
• Для измерения напряжения источника питания используйте мультиметр, а не показания на источнике.
• Если вы используете мультиметр в качестве амперметра, не превышайте предел измерений. Может сгореть предохранитель, и режим амперметра перестанет работать.

B1  ^0.80 Соберите цепь, показанную на рисунке 3. Включите мультиметр в режиме вольтметра, вместо режима измерения частоты. Не подавая напряжение на вентилятор, медленно вращайте вентилятор рукой, и вы увидите, что напряжение изменяется. Нарисуйте качественный график зависимости напряжения от угла поворота вентилятора (от времени). Обозначьте на нём период сигнала.

Скорость потока воздуха в трубе v зависит от частоты вращения ротора вентилятора f_M линейно:
$$v=0.0873\ м\cdot f_M \tag{4}$$

B2  ^2.40 КПД вентилятора описывается формулой
$$\eta_M=\frac{P_W}{P_M},$$где $P_W$ – мощность потока воздуха, $P_M$ – электрическая мощность, подведённая к вентилятору. Этот КПД остаётся постоянным в диапазоне напряжений $3\ V-12\ V$ на вентиляторе. Выполните эксперимент, определите КПД $\eta_M$ и показатель степени $n$ в выражении для мощности $P_W$ в A1. Укажите схему установки.

Часть С. Анемометр с теннисным шариком (3.5 балла)

C1  ^0.70 Покажите, как связаны между собой скорость воздушного потока $v$ и угол отклонения $\theta$. Нарисуйте силы, действующие на шарик. Выразите ответ через массу шарика $m_B$, $\rho_A$, $d_B$ и константы.

C2  ^2.80 Выполните эксперимент и определите коэффициент $C_D$ и показатель степени $m$.

Будем использовать вольфрамовую нить разбитой лампочки в качестве такой проволоки. При небольших изменениях температуры, сопротивление проволоки описывается линейной зависимостью:

$$R_W=R_0\left[1+\alpha\left(T_W-T_0\right)\right],\tag{6}$$где $R_W$ – сопротивление при температуре $T_W$, $R_0$ – сопротивление при температуре $T_0$, и $\alpha$ – температурный коэффициент сопротивления. Для вольфрама $\alpha=4.5\cdot{10}^{-3}\ ^oC^{-1}$.

Перенос тепла между проволокой и её окружением может происходить посредством естественной конвекции (без внешнего воздействия на движение потока), вынужденной конвекции (с внешним воздействием на поток), теплопроводности (в основном на держатели нити) и посредством излучения.

Рассмотрим случай, когда проволока нагревается электрическим током и тепло передается окружению с помощью всех описанных выше процессов. В состоянии равновесия баланс мощности записывается так:
$$P_{подведенное}=Q_{вынужденная \ конвекция}+Q_{естественая\ конвекция}+Q_{теплопроводность}+Q_{излучение},$$$$V_W\cdot I_W=h^\prime A_W\left(T_W-T_0\right)+Q_{естественная\ конвекция}+Q_{теплопроводность}+A_W\sigma\varepsilon (T_W^4-T_0^4),\tag{7}$$где $A_W$ – площадь поверхности нити лампы, $T_0$ – температура окружающей среды (и, значит, начальная температура нити), $\sigma$ – постоянная Стефана-Больцмана, $\varepsilon$ – степень черноты тела, $h'$ - коэффициент теплопередачи вынужденной конвекции.
Для вынужденной конвекции от нагретой нити коэффициент теплопередачи описывается законом Кинга: $h^\prime=a^\prime+bv^c$, где $a^\prime$ и $b$ –константы, а $c$ – показатель степени скорости потока. Длина проволоки гораздо больше её диаметра, следовательно, переносом тепла, обусловленным теплопроводностью, можно пренебречь. Для небольшой разности температур $T_W-T_0$ можно считать $T_W^4-T_0^4\approx4T_0^3\left(T_W-T_0\right)$, так, что перенос тепла, вызванный излучением, может быть записан как $4A_W\sigma\varepsilon T_0^3\left(T_W-T_0\right)$, а $Q_{естественная}$ конвекция можно считать постоянным. Таким образом, уравнение теплового баланса (7) можно записать как:
$$ V_W\cdot I_W=\left(a+bv^c\right)A_W\left(T_W-T_0\right),\tag{8}$$где $a=a^\prime+\frac{Q_{естественная конвекция}}{T_W-T_0}+4A_W\sigma\varepsilon T_0^3$.

Для выполнения этих экспериментов потребуются некоторые электрические цепи, которые собраны в блоке управления. В каждом эксперименте используются выводы только одной половины блока управления. Переключатель служит для выбора половин: эксперимент с постоянной температурой нити (CTA – Constant Temperature Anemometer) и эксперимент с постоянной силой тока (CCA– Constant Current Anemometer).

Часть D. Анемометр с постоянной температурой (3.2 б) 

Внимание!

В режиме CTA напряжение на входе $V_{input}$ должно быть меньше 2.5!

В этом эксперименте температура (а значит, и сопротивление) нити поддерживается постоянной при разных скоростях воздушного потока. Используется схема с мостом Уитстона, показанная на рис. 9a.

В начале мы балансируем мост используя потенциометра так, чтобы напряжение  стало равно нулю. Увеличение скорости воздушного потока приводит к уменьшению  и разбалансировке моста. Для сохранения значения сопротивления  мы увеличиваем напряжение на нити лампы  увеличивая напряжение на входе .

Уравнение теплового баланса (8) в данном случае:

$$\frac{V_W^2}{R_W}=\left(a+bv^c\right)A_W\left(T_W-T_0\right).\ \tag{9}$$

Мы не измеряем напрямую значение $V_W$, мы измеряем входное напряжение моста $V_{input}$. Уравнение (9) в данном случае может быть переписано как 

$$V_{input}^2=A+Bv^c.\tag{10}$$

D1  ^0.40 Выразите $A$ и $B$ через введенные ранее переменные.

D2  ^0.30 Последнее выражение может быть линеаризовано и записано в виде
$$\ln{y}=\ln{\frac{b}{a}}+c\ln{v}\ \tag{11}$$Запишите выражение для $y$

D3  ^2.50 Выполните эксперимент и определите значения величин $b/a$ и $c$.

Рекомендации по выполнению:

1. Переключите блок управления в режим CTA.
2. Подключите провода в соответствии со схемой на рис. 9a.
3. ВНИМАНИЕ! Не трогайте и не повреждайте нить лампы накаливания. Если вы повредите нить лампы, вы можете получить только одну запасную лампу.
4. Проверьте, что все ручки на источнике выкручены в крайнее левое (минимальное) положение. Включите источник и установите напряжение на блоке управления порядка 1 В. ВНИМАНИЕ! Не устанавливайте значение больше чем 2 В: в отсутствии потока воздуха нить может сгореть.
5. Сбалансируйте мост: постарайтесь установить $V_{calibration} = 0$. В дальнейшем изменять значение сопротивления переменного резистора не требуется.
6. Установите некоторую скорость воздуха. Измените значение $V_{input}$ так, чтобы мост опять стал сбалансирован.
7. Повторите предыдущий пункт несколько раз, получите необходимое количество данных. Запишите их в лист ответов, постройте график, и определите значения величин $\frac{b}{a}$ и $c$.

В начале отключите питание блока управления (и нити), а только затем выключайте вентилятор. При перегреве нити лампы она может быть повреждена

Часть E. Анемометр с постоянной силой тока (4.1 б)

В этом методе измерений сила тока, протекающего через нить, поддерживается постоянной. Теперь блок управления служит источником постоянного тока. Силу этого тока можно изменять, вращая ручку потенциометра.
Для эксперимента с постоянным током используется формула:
$$V_W\cdot\ I_W=\left(a+bv^c\right)\frac{A_W}{\alpha R_0}\left(R_W-R_0\right).\ \tag{12} $$В этом эксперименте необходимо прежде всего измерить значение сопротивления R_0 в отсутствии ветра (v=0). Уравнение (12) можно переписать в виде
$$\frac{V_W}{I_W}=\frac{R_0}{k}V_WI_W+R_0.\ \tag{13}$$

E1  ^0.20 Получите выражение для $k$ через раннее введенные величины.

E2  ^1.20 Проведите эксперимент и найдите сопротивление $R_0$.

Рекомендации по выполнению:

1. Переключите блок управления в режим CCA.
2. Подключите провода в соответствии со схемой на рис. 9b.
3. ВНИМАНИЕ! Не трогайте и не повреждайте нить лампы накаливания. Если вы повредите нить лампы, вы можете получить только одну запасную лампу.
4. Проверьте, что все ручки на источнике питания выкручены в крайнее левое (минимальное) положение. Ручку потенциометра поверните в крайнее правое положение (это соответствуют минимальному току).
5. Включите источник питания. Установите входное напряжение на блоке управления около 7,5 В. Теперь вам достаточно регулировать силу тока через нить вращая ручку потенциометра. ВНИМАНИЕ! Не превышайте силу тока 180 мА, иначе вы можете повредить нить лампы.
6. Снимите зависимость силы тока он напряжения для нити лампы.
7. Постройте зависимость в таких координатах, чтобы можно было определить $k$ и $R_0$

E3  ^0.20 Перепишите уравнение (12) в виде
$$\ln{y}=\ln{\frac{b}{a}}+c\ln{v}.\ \tag{14}$$ Получите выражение для y через раннее введенные величины.

E4  ^2.50 Выполните эксперимент и найдите $b/a$ и $c$.

Рекомендации по выполнению:

1. Установите желаемую силу тока. Не используйте силу тока больше 180 мА. 
2. Включите вентилятор.
3. Снимите зависимость напряжения и силы тока проволоки от скорости потока воздуха.

Часть F. Турбина (5.0 б)

F1  ^0.40 Определите сопротивление обмотки ротора двигателя $R_M$. Это сопротивление может немного изменяться при повороте вала двигателя.

F2  ^2.40 Выполните эксперимент и определите оптимальное значение нагрузки $R_L$ для максимальной передачи мощности от потока воздуха турбине. Постройте график зависимости мощности от сопротивления нагрузки $R_L$.

Рекомендации по выполнению:

1. Снимите белую пластиковую трубу с держателя вентилятора. Оставьте только металлический держатель вентилятора. Вы можете установить его на подставку (рис. 11).
2. Закрепите турбину на стержне штатива, как показано на рис. 11. Если турбина держится не плотно – попросите помочь. Расположите её в металлическом держателе вентилятора. 

Используйте переменный резистор с максимальным сопротивлением 100-150 Ом для изменения сопротивления нагрузки.

F3  ^2.20