Рассмотрим порцию воздуха с плотностью $\rho_A$ текущего по трубе с поперечным сечением $A_0$, как показано на рисунке 2. Покажите, что мощность потока равна:$$P_W=\frac{1}{2} \rho_A A_0v^n. \tag{1}$$Определите значение $n$.

Рис. 2

За время $\mathrm d t$ масса воздуха $\mathrm d m = \rho_A A_0 v \, \mathrm d t$ вовлекается внутрь трубы. Ее кинетическая энергия на бесконечном удалении от трубы равна нулю, а внутри трубы $\mathrm d K = \mathrm d m v^2 /2$, поэтому
\[P_W = \frac{\mathrm d K}{\mathrm d t} = \frac{1}{2} \rho _A A_0 v^3 \]

Рассмотрим турбину с эффективной площадью ротора $A_0$, находящуюся в потоке воздуха. Можно считать, что скорость потока в окрестности турбины равна $\left(v_0+v_2\right)/2$, где $v_0$ – скорость набегающего на турбину воздуха, $v_2 –$ скорость ветра за турбиной. Максимальная мощность, отобранная турбиной от воздуха, может быть записана как
$$P_R=\frac{1}{4}\rho_AA_0\left(v_0+v_2\right)\left(v_0^2-v_2^2\right). \tag{2}$$
Скорость ветра за турбиной запишем как $v_2=\lambda v_0$. Качественно понятно, что для извлечения максимальной мощности коэффициент $\lambda$ не должен быть очень маленьким (поток останавливается), и не должен быть очень большим (турбина почти не отбирает мощность от потока). Найдите оптимальное значение $\lambda$, при котором турбина получает максимальную мощность.

Перепишем выражение в терминах $\lambda$:
\[P_R = \frac{1}{4} \rho_A A_0 v_0^3 (1 + \lambda) (1- \lambda^2) = \frac{1}{4} \rho_A A_0 v_0^3 \left( 1 + \lambda - \lambda^2 - \lambda^3 \right) \]Возьмем производную:
\[P_R' = \frac{1}{4} \rho_A A_0 v_0^3 (1 - 2 \lambda - 3 \lambda^2) = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathcal{D} = 16, \quad \lambda = \frac{-2 \pm 4}{6} \]

Подставим $\lambda = 1/3$ в выражение
\[C_P = \frac{\frac{1}{4}\rho_A A_0 v_0^3 (1+\lambda)(1-\lambda^2)}{\frac{1}{2}\rho_A A_0 v_0^3} = \frac{16}{27}\]

Электрическая мощность $P_M = IU$, механическая мощность $P_W = \frac{1}{2} \rho_A A_0 (0.0873~м \cdot f_M)^n$. Диаметр трубы $D_0 = 15.1~см$, из него можно вычислить $A_0=\pi D_0^2/4$.

\[IU = \frac{\pi D_0^2}{8 \eta_M} \rho_A (0.0873~м)^n \cdot f_M^n, \quad \Rightarrow \quad \ln IU = C + n \ln f_M.\]Снимем зависимость $I$ и $f_M$ в зависимости от напряжения $U$.

Из свободного члена $C=-9.34$ мы можем вычислить КПД:
\[e^C= \frac{\pi D_0^2}{8 \eta_M} \rho_A (0.0873~м)^3\]

Равнодействующая силы тяжести и $F_D$ должна быть направлена вдоль нити, поэтому
\[\tan \theta = \frac{F_D}{m_B g}\]

Ответ:

Подвесим шарик на нити. Расстояние между трубой и подвесом $H=45.4~см$. Будем измерять зависимость координаты $x$ вдоль трубы от частоты $f$.

Зависимость, угла наклона от скорости описывается формулой:
\[\tan \theta \simeq \theta \simeq \frac{x-x_0}{H} =( f \cdot 0.0873~м)^m \cdot \frac{\pi C_D \rho_A d_B^2}{8 m_B g}, \]поэтому $\ln (x-x_0) = C + m \ln f$.

Из свободного члена $C=-10.9$ можно вычислить
\[C_D = e^{C} \frac{8 m_B g}{\pi H \rho_A d_B^2 (0.0873~м)^2} = 0.22\]