Метод простой итерации (МПИ) — один из простейших методов численного решения уравнений. Чтобы решить уравнение с помощью МПИ, его представляют в виде\[x=f(x).\]Подставляя в качестве аргумента функции начальное приближение $x_0$, мы получим первое приближение $x_1$. Далее, подставляя $x_1$ в качестве аргумента функции, мы получим уже второе приближение $x_2$, и т.д. Функцию $f(x)$ всегда можно выбрать так, чтобы разница между последовательными приближениями уменьшалась, а результат вычислений становился всё ближе к правильному ответу.
Метод простой итерации удобно использовать для численного нахождения величин, заданных неявно как решение некоторого уравнения.
Примечание: в задаче используется функция $\operatorname{th}x$ — гиперболический тангенс. Она определяется как\[\operatorname{th}x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}.\]Несложно видеть, что $|\operatorname{th}x| < 1$. Функция, обратная к гиперболическому тангенсу, обозначается $\operatorname{arth}x$.
Примечание: во всей задаче буквой $t$ обозначается температура в ${}^\circ\mathrm C$, а буквой $T$ — температура в $\rm K$.
В этой задаче будем рассматривать фазовый переход жидкость–пар. Этот переход характеризуется удельной теплотой испарения жидкости $L$. В реальности удельная теплота испарения зависит от температуры. Эта зависимость может быть с хорошей точностью описана уравнением Шиманского\[\frac L{L_0}=\operatorname{th}\left[\frac{L}{L_0} \frac{T_\mathrm c}{T}\right].\]Характерный вид зависимости $L(T)$ показан на рис. 1. Здесь $L_0$ и $T_\mathrm c$ – некоторые величины, определяемые природой жидкости. $L_0$ имеет размерность удельной теплоты испарения, а $T_\mathrm c$ называется критической температурой жидкости. Физический смысл критической температуры мы выясним в следующей части задачи, а пока определим $L_0$ и $T_\mathrm c$ для воды по известным значениям $L(t)$.
Пусть нам известны значения удельной теплоты испарения жидкости $L_1$ и $L_2$ при температурах $T_1$ и $T_2$ соответственно (для определённости $T_2 > T_1$).
В листах ответов вам дана таблица пар точек $(t_1,L_1)$ и $(t_2,L_2)$ (по одной паре на строку).
Как вы могли заметить, удельная теплота испарения жидкости с ростом температуры уменьшается, обнуляясь при температуре выше критической. Таким образом, переход жидкость-пар при температуре выше критической не предполагал бы изменения энергии взаимодействия молекул, т.е. жидкость ничем не будет отличаться от пара.
Такое состояние вещества при температуре выше $T_\mathrm c$ называют сверхкритической жидкостью. При этом при температуре ниже $T_\mathrm c$ жидкость и пар представляют собой разные фазы вещества. В координатах $(p,T)$ (см. рис. 2) граница между ними фактически представляет собой кривую давления насыщенного пара $p_\text{н}(T)$. Давление насыщенного пара удовлетворяет уравнению Клапейрона-Клаузиуса\[\frac{\mathrm dp_\text{н}}{p_\text{н}}=\frac{\mu L}{R}\frac{\mathrm dT}{T^2},\]где $\mu$ – молярная масса вещества $\big($для воды $\mu_\text{в}=18.0~\frac{\text{г}}{\text{моль}}\Big)$, $R=8.314~\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}$ — универсальная газовая постоянная.
Точку $(p_\text{н}(T_\mathrm c),T_\mathrm c)$ называют критической точкой вещества. В этой части мы попробуем оценить давление $p_\mathrm c=p_\text{н}(T_\mathrm c)$ в критической точке.
Поскольку $\dfrac{\mathrm dT}{T^2}=-\mathrm d\left[\dfrac1T\right]$, для нахождения $p_\mathrm c$ удобно построить на миллиметровке график $L\left(\dfrac1T\right)$ и найти площадь $S$ под ним.