Pho.rs: Метаматериалы

1. ^1.00 Найдите аналитическую формулу для полного сопротивления проводника $R_0$ и рассчитайте его численное значение.

1 $d\rho=\sigma_0\frac{dS}{L}=\beta r\frac{2\pi rdr}{L}$	0.25
2 $\rho=\int\limits_0^R d\rho=\frac{2\pi\beta R^3}{3L}$	0.25
3 $R_0=\frac{1}{\rho}=\frac{3L}{2\pi\beta R^3}$	0.25
4 $R_0=2.39\times 10^{-2}~Ом$	0.25

2. ^1.00 Найдите аналитическую формулу для температуры поверхности проводника $T_s$ и рассчитайте ее численное значение.

1 $P_1=I^2R_0$	0.25
2 $P_1=2\pi RLP_{ext}=2\pi\alpha RL(T_s-T_0)$	0.25
3 $T_s=T_0+\frac{3I^2}{4\pi^2\alpha\beta R^4}$	0.25
4 $T_s=297~К$	0.25

3. ^2.50 Найдите аналитическую формулу для температуры в центре проводника $T_{\max}$ и рассчитайте ее численное значение.

1 $j=\sigma_0E$	0.25
2 $I=\int\limits_0^rj2\pi rdr=E\int\limits_0^r\sigma_02\pi rdr=\frac{2\pi R^3\beta E}{3}$	0.25
3 $E=\frac{3I}{2\pi\beta R^3}$	0.25
4 $P_r=\int\limits_0^r\sigma_0E^22\pi rLdr=\frac{3I^2Lr}{2\pi\beta R^6}$	0.25
5 $P_r=P=-k2\pi rL\frac{dT}{dr}$	0.25
6 $T(R)=T_s$	0.25
7 $T(r)=T_0+\frac{I^2(\alpha R^3+3kR^2-\alpha r^3)}{4\pi^2\alpha\beta k R^6}$	0.50
8 $T_{\max}=T_0+\frac{I^2(\alpha R^3+3kR^2)}{4\pi^2\alpha\beta kR^6}$	0.25
9 $T_{\max}=299~К$	0.25

4. ^0.50 Найдите аналитическую формулу для изменения радиуса проводника $\delta R_T$, обусловленного тепловым расширением, и рассчитайте его численное значение.

1 $\delta R_T=\int\limits_0^R\gamma[T(r)-T_0]dr=\frac{3\gamma(\alpha R+4k)I^2}{16\pi^2\alpha\beta kR^3}$	0.25
2 $\delta R_T=5.70\times 10^{-9}~м$	0.25

5. ^0.50 Найдите зависимость индукции магнитного поля $B(r)$ внутри проводника в зависимости от расстояния $r$ до его оси.

1 $B2\pi r=\int\limits_0^rj2\pi rdr=E\int\limits_0^r\sigma_0 2\pi rdr$	0.25
2 $B(r)=\frac{\mu_0Ir^2}{2\pi R^3}$	0.25

6. ^1.00 Найдите аналитическую формулу для энергии магнитного поля $W_B$ внутри проводника и рассчитайте ее численное значение.

1 $w_B(r)=\frac{B^2(r)}{2\mu_0}$	0.50
2 $W_B=\int\limits_0^Rw_B(r)2\pi rLdr=\frac{\mu_0I^2L}{24\pi}$	0.25
3 $W_B=8.33\times 10^{-10}~Дж$	0.25

7. ^1.00 В результате пропускания электрического тока по проводнику в нем возникает механическое напряжение. Найдите зависимость давления $p(r)$ внутри проводника в зависимости от расстояния $r$ до его оси.

1 $dF_A=jB(r)Lldr$	0.25
2 $dp(r)=\frac{dF_A}{lL}=\frac{3\mu_0I^2r^3}{4\pi^2R^6}dr$	0.25
3 $p(r)=\frac{3\mu_0I^2(R^4-r^4)}{16\pi^2R^6}$	0.50

8. ^1.00 Найдите аналитическую формулу для механической энергии деформаций проводника $W_{\sigma}$ и рассчитайте ее численное значение.

1 $w_{\sigma}=\frac{\sigma^2}{2E}=\frac{p^2(r)}{2E}$	0.50
2 $W_{\sigma}=\int\limits_0^R w_{\sigma}2\pi rLdr=\frac{3\mu_0^2I^4L}{320E\pi^3R^2}$	0.25
3 $W_\sigma=2.39\times 10^{-18}~Дж$	0.25

9. ^1.00 Найдите аналитическую формулу для изменения радиуса проводника $\delta R_{\sigma}$, обусловленного механическими напряжениями, и рассчитайте его численное значение.

1 $\varepsilon=\frac{\sigma}{E}=\frac{p(r)}{E}$	0.50
2 $\delta R_{\sigma}=\int\limits_0^R\varepsilon dr=\frac{1}{E}\int\limits_0^Rp(r)dr=\frac{3\mu_0I^2}{20\pi^2 ER}$	0.25
3 $\delta R_\sigma=1.91\times 10^{-12}~м$	0.25

10. ^0.50 Найдите величину коэффициента теплового расширения $\gamma$, при которой радиус проводника не изменился бы при пропускании через него электрического тока.

1 $\gamma=\frac{4\mu_0\alpha\beta kR^2}{5E(\alpha R+4k)}$	0.25
2 $\gamma=3.35\times 10^{-10}~К^{-1}$	0.25

Метаматериалы

Разбалловка