Рассмотрим слой проводника расположенный по радиусу в интервале $[r, r+dr]$. Его проводимость $d\rho$ равна
$$d\rho=\sigma_0\frac{dS}{L}=\beta r\frac{2\pi rdr}{L}, \tag{1}$$а значит полная проводимость
$$\rho=\int\limits_0^R d\rho=\frac{2\pi\beta R^3}{3L}. \tag{2}$$Таким образом, полное сопротивление проводника записывается в виде
$$R_0=\frac{1}{\rho}=\frac{3L}{2\pi\beta R^3}=2.39\times 10^{-2}~Ом. \tag{3}$$

Количество теплоты, выделяемое в проводнике в единицу времени определяется законом Джоуля-Ленца
$$P_1=I^2R_0. \tag{4}$$В установившемся режиме тоже самое количество тепла должно отводиться через поверхность проводника в окружающую среду, поэтому по закону Ньютона-Рихмана
$$P_1=2\pi RLP_{ext}=2\pi\alpha RL(T_s-T_0), \tag{5}$$откуда
$$T_s=T_0+\frac{3I^2}{4\pi^2\alpha\beta R^4}=297~К. \tag{6}$$

Рассмотрим цилиндр радиуса $r$. Найдем количество теплоты $P_r$, выделяемое в единицу времени внутри этого цилиндра. Для этого сначала определим напряженность электрического поля. По закону Ома плотность тока равна
$$j=\sigma_0E, \tag{7}$$поэтому полный ток записывается в виде
$$I=\int\limits_0^rj2\pi rdr=E\int\limits_0^r\sigma_02\pi rdr=\frac{2\pi R^3\beta E}{3}. \tag{8}$$Отсюда
$$E=\frac{3I}{2\pi\beta R^3}. \tag{9}$$Мощность выделяемого тепла $P_r$ определяется законом Джоуля-Ленца в дифференциальной форме
$$P_r=\int\limits_0^r\sigma_0E^22\pi rLdr=\frac{3I^2Lr}{2\pi\beta R^6}. \tag{10}$$Очевидно, что мощность, выделяемая внутри цилиндра, должна отводиться через его поверхность, поэтому
$$P_r=P=-k2\pi rL\frac{dT}{dr}. \tag{11}$$Решая дифференциальное уравнение $(11)$ с помощью $(10)$ и используя начальное условие
$$T(R)=T_s, \tag{12}$$получаем решение в виде
$$T(r)=T_0+\frac{I^2(\alpha R^3+3kR^2-\alpha r^3)}{4\pi^2\alpha\beta k R^6}. \tag{13}$$Таким образом, температура в центре проводника равна
$$T_{\max}=T_0+\frac{I^2(\alpha R^3+3kR^2)}{4\pi^2\alpha\beta kR^6}=299~К. \tag{14}$$

Изменение радиуса проводника определяется законом теплового расширения тел и записывается в виде
$$\delta R_T=\int\limits_0^R\gamma[T(r)-T_0]dr=\frac{3\gamma(\alpha R+4k)I^2}{16\pi^2\alpha\beta kR^3}=5.70\times 10^{-9}~м. \tag{15}$$

Индукция магнитного поля определяется теоремой о циркуляции, которая в данном случае записывается в виде
$$B2\pi r=\int\limits_0^rj2\pi rdr=E\int\limits_0^r\sigma_0 2\pi rdr. \tag{16}$$Используя выражение $(9)$, окончательно находим
$$B(r)=\frac{\mu_0Ir^2}{2\pi R^3}. \tag{17}$$

Плотность энергии магнитного поля определяется выражением
$$w_B(r)=\frac{B^2(r)}{2\mu_0}, \tag{18}$$откуда энергия магнитного поля внутри проводника
$$W_B=\int\limits_0^Rw_B(r)2\pi rLdr=\frac{\mu_0I^2L}{24\pi}=8.33\times 10^{-10}~Дж. \tag{19}$$

Запишем условие равновесия прямоугольного слоя проводника очень малой толщины $l$ и длиной $L$, расположенного от расстояния $r$ до $r+dr$. Полная сила Ампера, действующая на этот слой, равна
$$dF_A=jB(r)Lldr. \tag{20}$$Отсюда разность давлений
$$dp(r)=\frac{dF_A}{lL}=\frac{3\mu_0I^2r^3}{4\pi^2R^6}dr. \tag{21}$$Принимая во внимание, что на поверхности проводника давление равно нулю, получаем
$$p(r)=\frac{3\mu_0I^2(R^4-r^4)}{16\pi^2R^6}. \tag{22}$$

В результате механического давления в кристаллической решетке появится напряжение, плотность механической энергии которого определяется выражением
$$w_{\sigma}=\frac{\sigma^2}{2E}=\frac{p^2(r)}{2E}, \tag{23}$$откуда полная энергия механических деформаций
$$W_{\sigma}=\int\limits_0^R w_{\sigma}2\pi rLdr=\frac{3\mu_0^2I^4L}{320E\pi^3R^2}=2.39\times 10^{-18}~Дж. \tag{24}$$

Изменение радиуса провода определяется законом Гука, который в данном случае может быть записан в виде
$$\varepsilon=\frac{\sigma}{E}=\frac{p(r)}{E}\tag{25},$$где $\varepsilon$ — относительное изменение радиуса.

Таким образом, изменение радиуса вследствие механических деформаций
$$\delta R_{\sigma}=\int\limits_0^R\varepsilon dr=\frac{1}{E}\int\limits_0^Rp(r)dr=\frac{3\mu_0I^2}{20\pi^2 ER}=1.91\times 10^{-12}~м. \tag{26}$$

Приравнивая выражения $(15)$ и $(26)$, получим
$$\gamma=\frac{4\mu_0\alpha\beta kR^2}{5E(\alpha R+4k)}=3.35\times 10^{-10}~К^{-1}. \tag{27}$$