Подадим напряжение с генератора на передатчик. С помощью тройника BNC подключим к генератору также первый канал осциллографа. Это нужно не только для того, чтобы контролировать амплитуду напряжения на передатчике, но и для того, чтобы задать уровень триггера осциллографа по устойчивому сигналу с первого канала.
Меняя частоту генератора и анализируя сигнал на микрофоне, находим $f$.
Исследуем сдвиг фаз между передатчиком и приёмником. Будем измерять координаты точек относительно начального положения приёмника, в которых сдвиг фаз относительно начального положения составляет $2 \pi m$.
$m$ 0 4 8 12 16 20 24 $x, см$ 3.3 6.6 10.2 13.1 16.7 20.2 24.0
Усредняя методом наименьших квадратов, получим $\lambda$.
Примечание. Считайте распространение звука адиабатическим процессом. Молярная масса воздуха $\mu = 29~г/моль$.
Получим скорость звука по формуле $v_{зв} = \lambda f$.
Используем формулу для адиабатического распространения звука:
$$v_{зв}^{th} = \sqrt{\gamma \frac{RT}{\mu}}.$$
Для воздуха $\gamma = 7/5$, температуру в комнате оценим как $T \approx 300~К$. Тогда получаем
$$v_{зв}^{th} \approx 347~м/с,$$ что совпадает со значением, найденным экспериментально.
Установим пластину в подставке. Передатчик и приёмник установим на высоте центра пластины, поставив их на подъёмные столики и закрепив малярным скотчем. Будем перемещать приёмник, находя и отмечая на миллиметровке точки, в которых фаза волны совпадает с фазой в начальном положении.
См. предыдущий пункт.
Ясно, что рисунок, полученный для расстояния $10~см$ более похож на фронт точечного истончика, так как с хорошей точностью описывается дугой окружности.
Примечание. Вы должны обнаружить не менее одного минимума сигнала.
Выберем расстояния от пластины до приёмника $10~см$. Проведём измерения $A(y)$. По результатам построим график.
$y, мм$ $A, мВ$ $y, мм$ $A, мВ$ -35 6.72 2 7.84 -30 5.20 3 6.80 -25 2.88 5 6.56 -23 1.44 7 5.52 -22 1.20 10 3.76 -21 1.52 12 2.48 -20 2.64 13 2.48 -17 4.16 15 2.00 -15 5.76 17 2.32 -13 6.88 19 3.10 -10 8.32 20 4.00 -7 8.56 25 5.92 -5 9.04 30 6.48 -3 8.64 35 5.76 40 4.64
Рассчитаем теоретически положения минимумов снятой зависимости. Выразим разность хода для двух лучей, приходящих из разных щелей в приёмник, находящийся в координате $y$. Обозначим расстояние между пластинкой и приёмником $L$, расстояние между щелями — $d$. Тогда пути лучей равны
$$l_1 = \sqrt{L^2 + (d/2+y)^2}, \qquad l_2 = \sqrt{L^2 + (d/2-y)^2}.$$
Условие минимума амплитуды:
$$l_1 - l_2 = \frac{\lambda}{2}.$$
Тогда длина волны может быть выражена через координату первого минимума $y_0$ следующим образом ($y_0$ считаем положительным):
$$\lambda = 2\left(\sqrt{L^2 + (d/2+y_0)^2} - \sqrt{L^2 + (d/2-y_0)^2}\right).$$
Примечание. Также возможно использование использование приближения $d, y \ll L$: $$l_1 \approx L + \frac{(d/2+y)^2}{2L}, \qquad l_2\approx L + \frac{(d/2-y)^2}{2L}.$$ В этом случае формула упрощается до следующей: $$\lambda = \frac{2yd}{L}.$$
Согласно графикам координаты первых минимумов интенсивности равны
$$y_1 = -(22 \pm 1)~мм \qquad y_2 = (15 \pm 1)~мм$$
Заметим, что главный максимум интенсивности немного смещён относительно координаты $y = 0$, поэтому $y_0$ рассчитаем как
$$y_0 = \frac{y_2 - y_1}{2} = (18.5 \pm 0.8)~мм.$$
Линейкой измерим расстояние между щелями: $$d = (3.0 \pm 0.1)~см.$$ Расстояние $L$ измерим по миллиметровке:
$$L = (11.5 \pm 0.1)~см.$$
Подставив это значение в выражение для длины волны, получаем ответ. Ответ, полученный с использованием упрощённой формулы отличается от первого не более чем на $3\%$.
В этом пункте значение $\lambda$ оказалось больше, чем полученное в части A, но $\lambda$ из части A точно согласуется с теоретическим значением скорости звука в воздухе, поэтому можно предположить, что метод определения длины волны по минимумам интенсивности является менее точным.
Установим пластину в подставку, передатчик и приёмник расположим на ГО. Изменяя положение передатчика, будем приёмником находить точку максимума интенсивности прошедшего через пластину излучения. После снятия точек построим график $ab(a+b)$. Согласно теории, он будет линейным с угловым коэффициентом, равным $f$.
$a, см$ 20.1 23.6 26.3 29.1 33.4 $b, см$ 58.6 42.5 34.5 30.7 27.9 $ab, см^2$ 1178 1003 907 893 932 $(a+b), см$ 78.7 66.1 60.8 59.8 61.3
По МНК определяем $f$.
Расчётное фокусное расстояние пластины составляет $15~см$.
Проводим измерения аналогично B1. Черным отмечен фронт волны с пластиной, красным — без пластины.
См. предыдущий пункт.
Из рисунка следует, что фронт с пластиной можно считать плоским, так как расстояние между проекциями любых двух точек фронта на горизонтальную плоскость не превышает $\lambda$.
Фронт источника без линзы имеет почти постоянную кривизну, поэтому его можно считать сферическим, а источник, соответственно, точечным.
Рассмотрим часть излучения, проходящего на расстоянии $r$ от нормали, опущенной от источника на экран, через тонкое кольцо толщиной $dr$. В силу параксиального приближения будем считать $r \ll a, b$. Суммарный путь от передатчика к приёмнику для таких «лучей» составляет
$$l = \sqrt{a^2+r^2}+\sqrt{b^2+r^2} \approx a+b + \frac{r^2}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right),$$
а относительный сдвиг фазы, соответственно,
$$\Delta \varphi = \pi \frac{r^2}{\lambda}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) = \beta \pi r^2.$$
Так как $r \ll a, b$, можно пренебречь отличием амлитуд сигналов, проходящих через разные кольца. Тогда суммарная комплексная амплитуда сигнала, пришедшего в приёмник из рассмотренного кольца, составляет
$$C \cdot 2 \pi r dr e^{i\beta \pi r^2} = \frac{C \pi}{i\beta} \cdot d(e^{i\beta \pi r^2} ),$$
где $C = const.$
Внешняя граница зоны Френеля с номером $m$ соответствует суммарному сдвигу фаз на $\pi m$:
$$\beta \pi \cdot r(m)^2 = \pi m \quad \Rightarrow \quad r(m) = \sqrt{\frac{m}{\beta}}.$$ Подставив $\beta$, получаем ответ.
Для пластины $r(m) = const.$, отсюда следует
$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{m\lambda}{r^2(m)} = \frac{1}{f}.$$
Выразив $f$, получаем ответ.
Проведём измерения, аналогичные пункту C1. Фокусные расстояния красной, белой и синей пластины обозначим $f_к$, $f_б$ и $f_с$ соответственно.
Красная пластина:
| $a, см$ | 35 | 30 | 25 | 20 | 15 |
| $b, см$ | 10.5 | 11.3 | 12.2 | 14.1 | 17.1 |
| $ab, см^2$ | 368 | 339 | 305 | 282 | 257 |
| $(a+b), см$ | 45.5 | 41.3 | 37.2 | 34.1 | 32.0 |
Белая пластина:
| $a, см$ | 40 | 35 | 30 | 25 | 20 |
| $b, см$ | 15.5 | 16.7 | 18.2 | 20.3 | 24.7 |
| $ab, см^2$ | 620 | 585 | 546 | 508 | 494 |
| $(a+b), см$ | 55.5 | 51.7 | 48.2 | 45.3 | 44.7 |
Синяя пластина:
| $a, см$ | 35 | 30 | 28 | 25 | 23 |
| $b, см$ | 25.3 | 27.7 | 30.2 | 35.1 | 39.2 |
| $ab, см^2$ | 886 | 831 | 846 | 878 | 902 |
| $(a+b), см$ | 60.3 | 57.7 | 58.2 | 60.1 | 62.2 |
На приведенном графике красные точки соответствуют красной линзе, синие — синей, серые — белой.
По МНК получаем ответы.
Примечание. Если вам потребуется строить в этом пункте несколько графиков, постройте их на одной миллиметровке.
Красная пластина:
| $m$ | $r(m), см$ | $r^2(m), см^2$ |
| 1 | 2.30 | 5.3 |
| 2 | 3.25 | 10.6 |
| 3 | 4.15 | 17.2 |
| 4 | 4.75 | 22.6 |
| 5 | 5.55 | 30.8 |
| 6 | 6.05 | 36.6 |
| 7 | 6.70 | 44.9 |
| 8 | 7.30 | 53.3 |
| 9 | 7.80 | 60.8 |
| 10 | 8.25 | 68.1 |
| 11 | 8.80 | 77.4 |
Синяя пластина:
| $m$ | $r(m), см$ | $r^2(m), см^2$ |
| 1 | 3.60 | 13.0 |
| 2 | 5.05 | 25.5 |
| 3 | 6.35 | 40.3 |
| 4 | 7.25 | 52.6 |
| 5 | 8.30 | 68.9 |
| 6 | 8.95 | 80.1 |
Белая пластина:
| $m$ | $r(m), см$ | $r^2(m), см^2$ |
| 1 | 2.90 | 8.4 |
| 2 | 4.15 | 17.2 |
| 3 | 5.25 | 27.6 |
| 4 | 6.10 | 37.2 |
| 5 | 6.90 | 47.6 |
| 6 | 7.55 | 57.0 |
| 7 | 8.30 | 68.9 |
| 8 | 8.95 | 80.1 |
Построим график зависимостей $(r^2(m))(m)$ и по угловым коэффициентам определим значение фокусных расстояний. На приведенном графике красные точки соответствуют красной линзе, синие — синей, серые — белой.
Угловой коэффициент графика $k$ и фокусной расстояние связаны соотношением $k=f\lambda$.
$$k_{к} = (7.2 \pm 0.2) см^2 \\ k_{б} = (10.2 \pm 0.2) см^2 \\ k_{с} = (13.7 \pm 0.2) см^2 \\ $$
Снимем требуемые зависимости и построим на одном графике.
$y,~см$ $\Delta\varphi,^\circ$ $\Delta\varphi,~2\pi$ $\Delta\varphi_0,^\circ$ $\Delta\varphi_0,~2\pi$ 0.0 0 0 0 0 0.5 6 0.02 0 0 1.0 15 0.04 12 0.03 1.5 75 0.21 46 0.13 2.0 75 0.21 78 0.22 2.5 105 0.29 111 0.31 3.0 153 0.43 162 0.45 3.5 195 0.54 210 0.58 4.0 279 0.78 276 0.77 4.5 414 1.15 366 1.02 5.0 483 1.34 441 1.23 5.5 519 1.44 540 1.50 6.0 687 1.91 642 1.78 6.5 825 2.29 741 2.06 7.0 915 2.54 840 2.33 7.5 1019 2.83 946 2.63 8.0 1134 3.15 1076 2.99 8.5 1233 3.43 1191 3.31 9.0 1359 3.78 1316 3.66 9.5 1509 4.19 1476 4.10 10.0 1649 4.58 1596 4.43
На приведенном графике синие точки соответствуют измерениям без линзы, красные — с линзой.
Проведём измерения аналогично предыдущему пункту.
$y,~см$ $\Delta\varphi,^\circ$ $\Delta\varphi,~2\pi$ $\Delta\varphi_0,^\circ$ $\Delta\varphi_0,~2\pi$ 0.0 0 0 0 0 0.5 -6 -0.02 0 0 1.0 -12 -0.03 6 0.02 1.5 -12 -0.03 12 0.03 2.0 6 0.02 18 0.05 2.5 18 0.05 24 0.07 3.0 30 0.08 51 0.14 3.5 24 0.07 81 0.23 4.0 60 0.17 116 0.32 4.5 75 0.21 171 0.48 5.0 114 0.32 206 0.57 5.5 156 0.43 276 0.77 6.0 340 0.94 330 0.92 6.5 395 1.10 372 1.03 7.0 430 1.19 450 1.25 7.5 460 1.28 492 1.37 8.0 520 1.44 561 1.56 8.5 620 1.72 660 1.83 9.0 726 2.02 726 2.02 9.5 830 2.31 816 2.27 10.0 885 2.46 886 2.46
На приведенном графике синие точки соответствуют измерениям без линзы, красные — с линзой.
$y,~см$ $\Delta\varphi,^\circ$ $\Delta\varphi,~2\pi$ $\Delta\varphi_0,^\circ$ $\Delta\varphi_0,~2\pi$ 0.0 0 0 0 0 0.5 -6 -0.02 0 0 1.0 -12 -0.03 6 0.02 1.5 -12 -0.03 14 0.04 2.0 -21 -0.06 24 0.07 2.5 -21 -0.06 34 0.09 3.0 -12 -0.03 54 0.15 3.5 0 0 64 0.18 4.0 9 0.03 99 0.28 4.5 24 0.07 114 0.32 5.0 36 0.10 124 0.34 5.5 69 0.19 159 0.44 6.0 114 0.32 184 0.51 6.5 134 0.37 204 0.57 7.0 204 0.57 254 0.71 7.5 294 0.82 294 0.82 8.0 334 0.93 344 0.96 8.5 384 1.07 384 1.07 9.0 424 1.18 434 1.21 9.5 464 1.29 489 1.36 10.0 564 1.57 544 1.51
На приведенном графике синие точки соответствуют измерениям без линзы, красные — с линзой.
Отметим, что у графиков, полученных с пластиной, есть характерные «скачки» фазы.
Из предыдущих пунктов следует, что лучше всех плоским приближением задаётся фронт на расстоянии $25~см$.
Примечание. Рассмотрите сдвиг фаз при отражении волны от разных рассеивающих центров.
Снимем зависимость амлитуды сигнала на приёмнике от угла $\theta$. Особенно хорошо промерим окрестности максимумов.
$\theta, ^\circ$ $V, мВ$ $\theta, ^\circ$ $V, мВ$ 20 11.5 33 19.6 25 10.7 32 22.5 30 16.2 31 13.1 35 19.0 29 10.0 40 7.0 27 9.0 45 3.0 43 6.0 50 6.0 47 4.5 55 1.5 48 6.0 60 3.0 49 5.0 65 11.0 52 4.0 70 5.5 63 7.5 37 3.5 64 11.0 36 10.1 66 10.5 35 15.0 67 6.0 34 21.0 68 6.0
На графике наблюдаются два главных максимума амплитуды при углах
$$\theta_1 = 33^\circ \pm 1^\circ, \qquad \theta_2 = 66^\circ \pm 1^\circ,$$
первый из них соответствует $m_1 = 2$, второй — $m_2 = 1$.
Наблюдается два максимума, так как для $m \geq 3$
$$\frac{m \lambda}{2d} > 1.$$
Рассчитаем $d$, используя $\theta_1$ и $\theta_2$. Применяя формулу из E1, получаем
$$d_1 = (1.03 \pm 0.02)~см, \qquad d_2 = (1.06 \pm 0.04)~см.$$
Усредняя, получим ответ для $d$.
Проведём измерения аналогично пункту E2.
$\theta, ^\circ$ $V, мВ$ $\theta, ^\circ$ $V, мВ$ 70 6.5 20 6.1 65 4.5 56 12.8 60 3.7 54 19.0 55 18.8 53 22.8 50 11.5 52 19.4 45 5.4 51 16.4 40 5.0 48 7.0 35 5.5 58 10.0 30 5.5 59 8.0 25 5.5 56 15.0
На графике наблюдается лишь один максимум интенсивности при угле
$$\theta_0 = 53^\circ \pm 1^\circ,$$
соотвествующий $m_0 = 1$.
Наблюдается один максимум, так как для $m \geq 2$
$$\frac{m \lambda}{\sqrt{2}d} > 1.$$
Применяя формулу из E4, получим ответ для $d$.
По условию фокус находится в точке $(0, 0)$. Запишем условие фокусировки:
$$ l_2 - l_1 = m\lambda $$
где $l_1 = f-x$ и $l_2 = \sqrt{(f-x)^2+y^2}$. Отсюда получаем выражение для кривой:
$$y^2 = m^2\lambda^2 + 2m\lambda (f-x)$$
Это уравнение задаёт семейство парабол.
В данном пункте большую роль играет точная юстировка установки, так как максимум интенсивности достаточно слабо выражен.
Расположим структуру так, как указано в условии. Приёмник расположим на расстоянии $20~см$ от структуры. Будем медленно придвигать его к структуре и следить за амплитудой напряжения на осциллографе. Отметим, что в такой конфигурации неизбежно возникает стоячая волна, поэтому точку фокусировку следует искать как точку, в которой амплитуда стоячей волны имеет локальный максимум. Таким методом получаем ответ для $f$.
Зависимость амплитуды сигнала от координаты $x$ вблизи фокуса имеет характер, представленный на рисунке ниже.
