Pho.rs: Электроны в магнитном поле

A1 ^1.00 Каким может быть минимальное расстояние $d_\min$ между электронами, чтобы описанное выше движение было возможным?

1 Записан второй закон Ньютона $$ \frac{2mv^2}{d}=vBe-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 d^2} $$	0.30
2 Получено выражение для минимального расстояния $$d_{\text{min}} = 2\sqrt[3]{\frac{m}{4\pi\varepsilon_0 B^2}}$$	0.70

A2 ^0.50 Найдите скорость $v_m$, которую нужно сообщить электронам, чтобы при их движении между ними сохранялось найденное в A1 расстояние $d_\min$.

1 $v_m = \frac{e}{2}\sqrt[3]{\frac{B}{4\pi\varepsilon_0m^2}}$

0.50

B1 ^0.50 Найдите угловую скорость центра масс $\omega$ во время движения электронов.

1 $\omega =\frac{eB}{m}$

0.50

B2 ^1.00 Найдите время, через которое у обоих электронов сравняются абсолютные значения скорости в первый раз.

1 Указано, что скорости станут равными, когда угол между $\vec{v}_{CM}$ и $\vec{v}_{rel}$ равен $\frac{\pi}{2}$	0.40
2 Получено выражение для времени $$ t = \frac{\pi}{2}\frac{1}{\left\|\frac{v_0}{d_1} - \frac{eB}{m}\right\|} $$ Если подставлено значение $v_0 = 2v_m$, где $v_m$ взят из пункта A2, балл все равно ставится	0.60

C1 ^0.20 Получите выражение для кинетической энериии одного электрона $K=K(m, v_r, \omega, r)$, где $v_r=\cfrac{dr}{dt}, \omega=\cfrac{d\theta}{dt}$, а $r$ и $\theta$ — задают положение электрона в системе центра масс.

1 $K=\frac{m}{2}(\omega^2r^2+v_r^2)$

0.20

С2 ^0.80 Найдите, чему равна производная момента импульса по времени $\cfrac{dL}{dt}$ при движении электронов.

1 $\frac{dL}{dt} = v_rBer$

0.80

C3 ^0.50 Найдите интеграл движения для рассматриваемого случая, т.е. найдите такую функцию $J$, для которой справедливо $\cfrac{dJ}{dt}=0$.

1 $J=L-\frac{eBr^2}{2}$

0.50

C4 ^1.00 Выразите полную энергию электрона в виде $E=K(v_r)+U(r)$. Выразите ее через $J, e, B, r$ и физические постоянные.

1 $\omega = \frac{1}{m}\left(\frac{J}{r^2}+\frac{eB}{2}\right)$	0.50
2 $E = \frac{mv_r^2}{2}+\frac{r^2}{2m}\left(\frac{J}{r^2}+\frac{eB}{2}\right)^2+\frac{e^2}{16\pi\varepsilon_0r}$	0.50

C5 ^0.50 Схематично изобразите график зависимости $U(r)$, укажите его характерные особенности.

1 График зависимости $U(r)$ с одним минимумом при $r>0$, ветви вверх	0.20
2 Обоснование единственности минимума $U(r)$ при $r>0$	0.30

С6 ^1.00 Разложите функцию $U(r)$ в ряд Тейлора до первого нетривиального члена вблизи особых точек из пункта C5. Основываясь на разложении, схематично изобразите траекторию электронов, которым сообщили небольшую радиальную компоненту скорости $v_{r0}$ вдобавок к скорости движения по окружности $v_0$.

1 Схематичное изображение траектории, ограниченной двумя окружностями. Радиальная компонента движения изменяется периодически.

1.00

Электроны в магнитном поле

Разбалловка