Момент импульса кольца, вращающегося вокруг оси симметрии, равен

$$
\vec{L}=M R^{2} \vec{\omega},
$$при этом ток, возникающий из-за вращения, равен $I= Q / T=\omega Q / 2 \pi$. Магнитный дипольный момент кольца равен
$$
\vec{\mu}=I A \hat{\omega}=\frac{\omega Q}{2 \pi} \pi R^{2} \hat{\omega}=\frac{Q}{2} R^{2} \vec{\omega}
$$Отсюда следует, что
$$
\vec{\mu}=\frac{Q}{2 M} \vec{L}.
$$

Магнитное поле, создаваемое первым диполем в месте расположения второго диполя
$$
\vec{B}_{12}=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\vec{\mu}_{1}}{d^{3}}
$$Тогда энергия взаимодействия
$$
U=-\vec{\mu}_{2} \cdot \vec{B}_{12}=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi d^{3}} \mu_{1} \mu_{2} \cos (\pi-\theta),
$$откуда
$$
U=\frac{\mu_{0} \gamma^{2}}{4 \pi d^{3}} \vec{L}_{1} \cdot \vec{L}_{2},
$$

Заметим, что $i$-й спин взаимодействует с соседними спинами $i-1$ и $i+1$. Энергия взаимодействия $E_{i}=-J\left(\vec{S}_{i-1}+\vec{S}_{i+1}\right) \cdot \vec{S}_{i}$, что аналогично энергии диполя в магнитном поле $E_{i}=-\vec{B}_{i} \cdot \vec{\mu}_{i}$. Используя $\vec{\mu}_{i}=\gamma \vec{S}_{i}$, получаем

$$
\vec{B}_{i, \text{eff}}=\frac{J}{\gamma}\left(\vec{S}_{i-1}+\vec{S}_{i+1}\right).
$$

Используя найденное выше выражение для эффективного магнитного поля
$$
\frac{d\vec{S}_{i}}{d t} =\vec{\tau}=\vec{\mu}_{i} \times \vec{B}_{i, \text { eff }} =J \vec{S}_{i} \times\left(\vec{S}_{i-1}+\vec{S}_{i+1}\right)
$$

Примечание: В случае произвольной зависимости энергии взаимодействия $U$ от величины магнитных моментов можно показать, что компоненты эффективное магнитного поля, действующего на $i$-й магнитный момент, равны производным  энергии по соответствующим компонентам магнитного момента, взятым с обратным знаком $$  B_{i, \text{eff},x} = - \frac{\partial U}{\partial \mu_{i, x}},\, B_{i,\text{eff}, y} = - \frac{\partial U}{\partial \mu_{i, y}}, \,B_{i, \text{eff},z} = - \frac{\partial U}{\partial \mu_{i, z}},   $$ что также можно записать в векторном виде (по сути производная по вектору определена как вектор, компоненты которого – производные по компонентам вектора) $$ \vec{B}_{i, \text{eff}} = - \frac{\partial U}{\partial \vec{\mu}_i}. $$ Это соотношение сложно строго доказать элементарными методами. Для качественного объяснения рассмотрим производную энергии по времени $$ \frac{dU}{dt} = \sum_i \frac{\partial U}{\partial \vec{\mu}_i} \dot{\vec{\mu}}_i  = \sum_i \frac{\partial U}{\partial \vec{\mu}_i} \left(\vec\omega_i \times\vec{\mu}_i \right),$$ где $\vec{\omega}_i$ – угловая скорость $i$-го магнитного момента (совпадающая с угловой скоростью $i$-го спина) С другой стороны из механики мощность сил при вращательном движении  можно выразить через моменты сил $\vec{\tau}_i$ и угловые скорости как $$ P = \sum_i \vec{\omega_i} \cdot \vec{\tau}_i  = -  \frac{dU}{dt} = - \sum_i \vec\omega_i  \cdot \left( \vec\mu_i  \times \frac{\partial U}{\partial \vec{\mu}_i}\right).$$ Здесь в последнем равенстве циклически переставлены множители в смещанном произведении. Знак «минус» появляется, поскольку  работа совершается самой системой. Сравнивая эти выражения, можно записать выражение для момента сил $$\vec\tau_i = \vec\mu_i \times\left( - \frac{\partial U}{\partial \vec{\mu}_i} \right).$$ Тогда при приведенном выше определении эффективного магнитного поля получим такое же выражение для момента сил, как и для обычного магнитного поля $$\vec \tau_i = \vec\mu_i \times \vec B_{i, \text{eff}}. $$ 

Это рассуждение не является строгим доказательством, поскольку закон сохранения энергии гарантирует только равенство сумм, а не отдельных слагаемых. Однако оно объясняет, почему в отличие от следующей части не нужно делить эффективное поле на 2, чтобы избежать двойного учета энергии взаимодействия каждой пары спинов. 

Запишем уравнения движения для $x$, $y$ компонент спина:
\begin{align*}
\frac{dS_{i,x}}{dt} &= J\left[ S_{i, y} (S_{i - 1, z} + S_{i+1, z}) - S_{i, z} (S_{i-1, y} + S_{i+ 1,y})\right] ,\\
\frac{dS_{i,y}}{dt} &= J\left[ S_{i, z} (S_{i - 1, x} + S_{i+1, x}) - S_{i, x} (S_{i-1, z} + S_{i+ 1,z})\right] .
\end{align*}
Используя приближение $S_{i, z} \approx S$ получим
\begin{align*}
\frac{dS_{i,x}}{dt} &\approx J S (2 S_{i, y} - S_{i-1,y} - S_{i+1, y}),\\
\frac{dS_{i,y}}{dt} &\approx - J S (2 S_{i, x} - S_{i-1,x}- S_{i+1, x}) .
\end{align*}
Будем искать решение в виде комплексных бегущих волн с комплексными амплитудами $A_x, A_y$ (физические решения – вещественные части комплексных), для удобства заменим индекс на $n$:
$$
S_{n, x} = A_x e^{i k n a - i \omega t}, \quad S_{n, y} = A_y e^{i k n a - i \omega t}.
$$Подставляя эти решения в уравнения и сокращая на общую экспоненту $e^{ikna -i \omega t}$, получим
$$
- i \omega A_x = JS A_y (2 - 2 \cos ka), \quad - i \omega A_y = - JSA_x(2 - 2 \cos ka).
$$Исключая из уравнений отношение амплитуд, найдем (например, перемножив уравнения и сократив на $A_x A_y$)
$$
\omega^2 = (2JS)^2 (1 - \cos ka)^2,
$$откуда
$$
\omega = \pm 2 JS (1- \cos ka).
$$Волны с отрицательным значением частоты распространяются в обратную сторону по отношению к направлению $k$. Найденным значениям частоты отвечает соотношение между комплексными амплитудами колебаний
$$
A_x = \pm i A_x.
$$Оно означает, что амплитуды колебаний по осям $x$, $y$ совпадают, при этом есть сдвиг по фазе $\pm \pi/2$. Это означает, что в спиновой волне каждый спин вращается вокруг оси $z$, образуя с ней постоянный угол.

То же решение можно найти сразу в вещественной форме. Для этого предположим, что колебания по оси $x$ имеют вид бегущей волны
$$
S_x = \delta S_x \cos(k n a - \omega t)
$$и подставим в уравнение для $S_y$
\begin{align*}\frac{dS_{y,i}}{dt} &= - JS \delta S_x (2 \cos(kna - \omega t) - \cos(kna -\omega t - ka) - \cos(kna - \omega t + ka)) = \\
&= - 2 JS \delta S_x (1 - \cos ka) \cos(kna - \omega t).
\end{align*}
Поскольку производная по времени для $S_{i, y}$ пропорциональная $\cos(k na - \omega t)$, решение для $S_y$ ищем в виде
\begin{align*}S_y& = \delta S_y \sin(kna - \omega t), \\
- \omega \delta S_y \cos(kna - \omega t)& = - 2 JS \delta S_x (1 - \cos ka) \cos(kna - \omega t),
\end{align*}
откуда сокращая общий множитель $\cos(kna - \omega t)$
\[
- \omega \delta S_y = - 2 JS \delta S_x (1 - \cos ka). \tag{1}
\]
Аналогично из уравнений для $\delta S_x$ найдем
$$
\omega \delta S_x \sin(k na - \omega t ) = JS \delta S_y ( 2 \sin(k na -\omega t) - \sin(kn a - \omega t - ka) - \sin(kn a - \omega t + ka)),
$$откуда
\[
\omega \delta S_x = 2 JS \delta S_y (1 - \cos ka). \tag{2}
\]
Из уравнений (1), (2) получаем прежнее значение частоты и соотношение между амплитудами $\delta S_x = \pm \delta S_y$.

Заметим, что решение можно получить короче, если сразу искать его в виде
$$
S_x = \delta S \cos(kx - \omega t), \quad S_y = \delta S \sin(kx - \omega t),
$$с равными амплитудами и правильным сдвигом фаз. Такой выбор отвечает вращению магнитных моментов с постоянной частотой вокруг оси $z$.

В случае, когда длина волны много больше расстояния между соседними спинами, разностные уравнения можно свести к дифференциальным, для этого будем считать $S_x$ и $S_y$ непрерывными функциями координаты $x$, тогда $S_{n, x} = S_x (na)$ и
$$
2 S_{n, x} - S_{n-1, x} -S_{n+1, x} \approx - a^2 \frac{\partial ^2 S_x}{\partial x^2},
$$где использовалось $x_{n\pm 1} = x \pm a$ и разложение до второго порядка по формуле Тейлора
$$
S_{n\pm 1, x} = S_x(x) \pm a \frac{\partial S_x}{\partial x} + \frac{a^2}{2} \frac{\partial^2 S}{\partial x^2}.
$$Подставляя это разложение (и аналогичное разложение для $S_y$) в уравнения движения, получим
$$
\frac{\partial S_x}{\partial t} = -a^2 JS \frac{\partial ^2 S_y}{\partial x^2}, \quad \frac{\partial S_y}{\partial t} = a^2 JS \frac{\partial ^2 S_x}{\partial x^2}.
$$Как и для точных уравнений выше, можно искать решения вида $S_x = A \cos(kx - \omega t)$, $S_y = A \sin(kx - \omega t)$ или их аналоги в комплексной форме. Иначе можно продифференцировать первое уравнение по времени, и подставить производную из второго уравнения. тогда получим
$$
\frac{\partial^2 S_x}{\partial t^2} = -a^2 JS \frac{\partial^3 S_y}{\partial^2 x \partial t} = - (a^2 JS)^2 \frac{\partial ^4 S_x}{\partial x^4}.
$$Подставляя решение в виде косинуса или экспоненты, найдем
$$
\omega^2 = (a^2 J S)^2 k^4, \quad \omega = \pm JS k^2 a^2,
$$что совпадает с разложением точного ответа при малых значениях $ka$.

Разложим выражение для частоты при малых $k$:
$$
\omega(k) \approx 2 J S\left[1-1+\frac{1}{2}(k a)^{2}\right]=J S a^{2} k^{2}.
$$Как и в случае электромагнитных волн, можно считать, что спиновые волны существуют в виде частиц (магнонов). Для них справедливы такие же соотношения между частотой и энергией, а также импульсом и волновым вектором, как и для других частиц (соотношения де Бройля):
$$E=\hbar \omega, \quad p=\hbar k. $$ Подстановка даёт
$$
E=\hbar \omega=\frac{J S a^{2}}{\hbar} p^{2} \equiv \frac{p^{2}}{2 m_{\mathrm{эфф}}},
$$где

При рассеянии нейтрона выполняются законы сохранения энергии и импульса, причем нужно учесть энергию и импульс возбуждаемой спиновой волны. Импульс спиновой волны направлен вдль цепочки, поэтому закон сохранения импульса по оси $y$:
$$
p_y = p_{\text{in}} \cos \theta_{\text{in}} = p_{\text{out}} \cos \theta_{\text{out}},
$$где $p_\text{in}$, $p_\text{out}$ – начальный и конечный импульсы нейтрона.
Из закона сохранения импульса по оси $x$ получаем импульс спиновой волны
$$
p_s = p_\text{in} \sin \theta_\text{in} - p_\text{out} \sin \theta_\text{out} = p_y (\operatorname{tg} \theta_\text{in} - \operatorname{tg} \theta_\text{out}).
$$Из закона сохранения энергии находим энергию спиновой волны
\begin{align*}
E_s = E_\text{in} - E_\text{out} &= \frac{p_\text{in}^2}{2 m_n} - \frac{p_\text{out}^2}{2m_n} =\\ \frac{p_y^2}{2 m_n} \left(\frac{1}{\cos^2 \theta_\text{in}} - \frac{1}{\cos^2 \theta_\text{out}} \right) &= \frac{p_y^2}{2 m_n} \left(\operatorname{tg}^2 \theta_\text{in} - \operatorname{tg}^2 \theta_\text{out} \right).
\end{align*}

Отсюда эффективная масса
$$
m_\text{eff} = \frac{p_s^2}{2 E_s} = \frac{p_y^2}{p_y^2/m_n} \cdot \frac{(\operatorname{tg}\theta_\text{in} - \operatorname{tg}\theta_\text{out})^2}{\operatorname{tg}^2 \theta_\text{in} - \operatorname{tg}^2 \theta_\text{out} }.
$$Упрощая, получим
$$
m_\text{eff} = \frac{\operatorname{tg}\theta_\text{in} - \operatorname{tg}\theta_\text{out}}{\operatorname{tg}\theta_\text{in}+ \operatorname{tg}\theta_\text{out}} m_n= \frac{\sin \left(\theta_{\mathrm{in}}-\theta_{\mathrm{out}}\right)}{\sin \left(\theta_{\mathrm{in}}+\theta_{\mathrm{out}}\right)} m_{n}.
$$

Согласно распределению Больцмана вероятность нахождения системы в состоянии с энергией $\varepsilon_{i}$ пропорциональна

$$
p_{i} \propto \exp \left(-\frac{\varepsilon_{i}}{k_{B} T}\right)
$$
Для спина вверх ($\varepsilon_{\uparrow}=-h s_{\uparrow}=-h$):

$$
p_{\uparrow} \sim \mathrm{e}^{h / k_{B} T},
$$для спина вниз
$$
p_{\downarrow} \sim \mathrm{e}^{ - h / k_{B} T}.
$$Следовательно,

Средняя поляризация (то есть средний спин) системы:
$$
\bar{s} =\frac{1}{N} \sum_{i} s_{i}
=\frac{1}{N}\left[N p_{\uparrow} \cdot 1+N p_{\downarrow} \cdot(-1)\right]
=p_{\uparrow}-p_{\downarrow}.
$$где $N p_{\uparrow}$ и $N p_{\downarrow}$ – количество спиновых векторов, направленных вверх и вниз соответственно.

Учитывая нормировку $p_{\uparrow}+p_{\downarrow}=1$, находим вероятности
$$
p_{\uparrow}=\frac{\mathrm{e}^{h / k_{B} T}}{\mathrm{e}^{h / k_{B} T}+\mathrm{e}^{-h / k_{B} T}}, \quad p_{\downarrow}=\frac{\mathrm{e}^{-h / k_{B} T}}{\mathrm{e}^{h / k_{B} T}+\mathrm{e}^{-h / k_{B} T}}.
$$Отсюда получаем
\begin{equation*}
\bar{s}=\frac{\mathrm{e}^{h / k_{B} T}-\mathrm{e}^{-h / k_{B} T}}{\mathrm{e}^{h / k_{B} T}+\mathrm{e}^{-h / k_{B} T}}=\tanh \left(\frac{h}{k_{B} T}\right).
\end{equation*}

Поскольку энергия спина в магнитном поле имеет вид
$$
U_i = - \vec{\mu}_i \vec{B} = - \gamma S B s_i,
$$величина $h$ выражается через магнитное поле как
$$
h = \gamma S B,
$$то есть прямо пропорциональна полю.

Энергия системы минимальна, когда все спины сонаправлены:
\begin{equation*}
E_{g}=-\tilde{J} \sum_{i} 1=-\tilde{J}(N-1) \approx-\tilde{J} N, \tag{4}
\end{equation*}
где $N \gg 1$.

Каждый спин взаимодействует с $z = 2$ другими спинами, поэтому в рассматриваемом приближении его энергия взаимодействия с соседями равна $- \tilde{J} z s_i$. Однако при таком подсчете энергия взаимодействия каждой пары спинов учитывается дважды, поэтому полное выражение нужно разделить на 2:

$$
E=-\frac{1}{2} \sum_{i} \tilde{J} z \overline{s}s_{i} =-\tilde{J} \sum_{i} s_{i} \bar{s}=-\tilde{J}_{\mathrm{eff}} \sum_{i} s_{i}
$$
отсюда находим $\tilde{J}_{\text {eff }}=\tilde{J} \bar{s}$.

Для одномерной задачи о спиновой цепочки известно точное решение, описывающее поведение среднего спина в зависимости от температуры и внешнего магнитного поля. Из него следует, что при нулевом внешнем поле при $T \neq 0$ средний магнитный момент всегда равен нулю и фазового перехода не происходит. Поэтому рассматриваемое приближение (называемое теорией среднего поля) к одномерной цепочке неприменимо. Однако анализ нетрудно обобщить на двумерные и трехмерные системы спинов, расположенных в узлах квадратной и кубической решеток соответственно. Если взаимодействие происходит только с ближайшими соседями, то каждый спин взаимодействует с $z = 4$ другими спинами в двумерном случае и с $z = 6$ в трехмерном. Тогда после замены соседних спинов средними значениями энергия примет формально такой же вид, как и в одномерном случае, только с суммированием по всем узлам решетки:
$$
E=-\frac{1}{2} \sum_{i} \tilde{J} z \overline{s} s_{i}, \quad \tilde{J}_\text{eff} = \frac{z \tilde{J}}{2} \overline{s}.
$$Все дальнейшие вычисление не зависят от расположения спинов и используют только пропорциональность между $\tilde{J}_\text{eff}$ и среднего спина $\overline{s}$. Поэтому полученные далее относительно фазового перехода фактически относятся к многомерным задачам. В них теория среднего поля качественно правильно предсказывает переход системы в ферромагнитное состояние.

Найденное выше в С4 выражение для энергии формально совпадает с энергией системы невзаимодействующих спинов во внешнем поле $h = \tilde{J}_\text{eff}$. Поэтому среднее значение спина задается формулой из C2, в которую нужно подставить соответствующее значение $h$. Поскольку $\tilde{J}_\text{eff}$ само зависит от среднего спина, в результате получим трасцендентное уравнение на $\overline{s}$:
$$
\bar{s}=\tanh \left(\frac{\tilde{J}_{\mathrm{eff}}}{k_{B} T}\right)=\tanh \left(\frac{\tilde{J} \bar{s}}{k_{B} T}\right).
$$
Поскольку левая и правая части уравнения – нечетные функции $\overline{s}$, проанализируем сначала случай $\overline{s}>0 $. График правой части представляет собой выпуклую вверх функцию. Если касательная к нему в начале координат лежит ниже прямой $y = \overline{s}$, единственная точка пересечения – начало координат. Поэтому уравнение имеет только тривиальное решение $\overline{s} = 0$. Если же касательная лежит выше прямой, появляется еще одно нетривиальное решение $\overline{s} > 0$, а значит и симметричное ему решение $-\overline{s}$, всего два нетривиальных решения. В критическом случае график гиперболического тангенса касается прямой в начале координат. Используя разложение при малых $\overline{s}$, запишем условие касания как
$$
\tanh\left( \frac{\tilde{J} \overline{s}}{k_B T}\right) \approx \frac{\tilde{J} \overline{s}}{k_B T} = \overline{s},
$$то есть $T_{c}=\tilde{J} / k_{B}$.

Вблизи критической температуры средняя поляризация $\overline{s}$ мала (это подтвердится дальнейшим вычислением). Таким образом, мы можем аппроксимировать трансцендентное уравнение как
$$
\bar{s}=\tanh \left(\frac{T_{c}}{T} \bar{s}\right)\approx \frac{T_{c}}{T} \bar{s}-\frac{1}{3}\left(\frac{T_{c}}{T} \bar{s}\right)^{3} .
$$
Мы видим, что $\bar{s}=0$ по-прежнему является решением. Разделив на $\bar{s} \neq 0$, получим
$$
\bar{s} = \pm \sqrt{3\left[\left(\frac{T}{T_{c}}\right)^{2}-\left(\frac{T}{T_{c}}\right)^{3}\right]}
= \pm \sqrt{3\left(\frac{T}{T_{c}}\right)^{2}\left(1-\frac{T}{T_{c}}\right)}
\approx \pm \sqrt{3 \frac{T_{c}-T}{T_{c}},}
$$где мы использовали $\left(T / T_{c}\right)^{2} \approx 1$.

Пропорциональность среднего спина квадратному корню из отклонения температуры от критической $\overline{s} \sim (T_c - T)^{1/2}$ – важное предсказание теории среднего поля. Однако для реальных систем зависимость имеет степенной вид $\overline{s} \sim (T_c - T)^{\alpha}$, где показатель $\alpha$ зависит от размерности и типа решетки, в которой расположены спины.

Магнитный момент системы пропорционален среднему спину $\overline{s}$. В отсутствие магнитного поля, когда $T>T_{c}$, существует только одно решение при $\bar{s}=0$. Значит в системе не возникает спонтанной намагниченности. Однако при включении магнитного поля возникнет намагниченность, направленная по полю (поскольку направление магнитных моментов по полю отвечает меньшей энергии), поэтому система парамагнитна. С другой стороны, когда $T< T_c$ даже при нулевом поле возможно решение с ненулевой намагниченностью, что означает переход в ферромагнитное состояние.