Введение

В классической физике момент импульса возникает в результате вращения объекта вокруг оси – будь то волчок, вращающаяся планета или электрон в атоме. Однако в квантовой физике элементарные частицы обладают собственным моментом импульса, называемым спином. Спин играет важнейшую роль в различных физических явлениях, начиная от свойств материалов, например, магнетизме.

В этой задаче используется классическое описание спина, что даёт качественно правильные результатам. Задача посвящена изучению физики спиновых систем, спиновым волнам и фазовым переходам в магнетиках с точки зрения статистической физики.

Полезная информация:

$\cosh(x)\equiv \frac{e^x+e^{-x}}{2} $, $\sinh(x)\equiv \frac{e^x-e^{-x}}{2}$, $\tanh(x)\equiv \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \approx x-\frac{1}{3}x^3$ для $|x|\ll1$

Магнитное поле диполя с магнитным моментом $\vec{\mu}$ в точке с радиус-вектором $\vec{r}$, направленным от диполя, равно ($\mu_0$ – магнитная постоянная):

$$\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi} \left(\frac{3(\vec{\mu}\cdot\vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right)$$

Часть A. Прецессия и взаимодействие магнитных диполей (1.2 балла)

Рассмотрим кольцо радиусом $R$ с равномерно распределёнными массой $M$ и зарядом $Q>0$. Кольцо вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через его центр масс.

A1  ^0.30 Магнитный момент кольца $\vec{\mu}$ связан с его моментом импульса $\vec{L}$ как $\vec{\mu}=\gamma \vec{L}$. Выразите постоянную $\gamma$ (т.е. гиромагнитное отношение) для этой системы через $Q$ и $M$.

Пусть теперь кольцо находится в однородном магнитном поле $\vec{B}=B\hat{z}$, направленным под углом $\theta$ к угловой скорости $\vec{\omega}$, (см. рис. A.1).

A2  ^0.40 Выразите угловую частоту $\omega_L$прецессии момента импульса системы под действием внешнего магнитного поля (так называемую ларморовскую частоту) через $B$ и $\gamma$. Считайте $\omega_L$ положительной, если при взгляде с положительного направления оси $z$ вращение происходит против часовой стрелки.

Пусть теперь внешнее магнитное поле отсутствует. На расстоянии $d\gg R$ от первого кольца располагают ещё одно, магнитный момент $\vec{\mu}_2$ которого направлен под углом $\theta$ к моменту $\vec{\mu}_1$, как показано на рис. A.2.

A3  ^0.50 Энергию магнитного взаимодействия двух колец можно записать как $U=J_0 \vec{L}_1\cdot \vec{L}_2$, где $J_0$ – константа, а $\vec{L}_i$ – момент импульса $i$-го кольца. Выразите $J_0$ через $\gamma, d$ и физические постоянные.

Часть B. Спиновые волны (4.5 балла)

В этой части исследуется динамика спинов, то есть собственных моментов импульса частиц. Частица со спином обладает магнитным моментом $\vec{\mu}$, связанным с моментом импульса $\vec{S}$ соотношением как в части A.1, $\vec{\mu}=\gamma \vec{S}$.

В этой части будем учитывать только квантовое взаимодействие спинов, энергия которого так же, как и в части A.3, оказывается пропорциональна $\vec{S}_1\cdot \vec{S}_2$, однако знак энергии противоположен.

Рассмотрим очень длинную цепочку частиц со спинами. Эти частицы расположены вдоль оси $x$ на расстоянии $a$ друг от друга, см. рис. B.1. Будем учитывать только энергию взаимодействия ближайших друг к другу спинов, так что выражение для энергии:

$$E=-J \sum_i \vec{S}_i\cdot \vec{S}_{i+1}$$

где $J>0$ задает величину взаимодействия, $\vec{S}_i$ – момент импульса спина $i$, модуль момента импульса $S$. Этот вектор может свободно вращаться во всех направлениях. Обратите внимание, что знак энергии отличается от части A, поскольку взаимодействие полностью квантовое.

B1  ^0.30 Рассмотрим слагаемые, входящие в выражение для энергии взаимодействия и содержащие $\vec{S}_i$. Эти слагаемые можно совокупно рассматривать как энергию магнитного момента $\vec{S}_i$ в некотором эффективном внешнем поле $\vec{B}_{i,\text{eff}}$. Определите $\vec{B}_{i,\text{eff}}$ , выразите ответ через $J$, гиромагнитное отношение $\gamma$, и другие спиновые моменты импульса $\vec{S}_j$ (выразите индексы $j$ через $i$).

B2  ^0.30 Используя эффективное магнитное поле, выразите производную $i$-го момента импульса $d\vec{S}_i/dt$ через $J, \vec{S}_i$, и другие моменты импульса $\vec{S}_j$ (выразите индексы $j$ через $i$).

Далее в части B считайте, что все магнитные моменты мало отклоняются от оси $z$, так что верны приближения $S_{i,z}\approx S$ и $dS_{i,z}/dt\approx0$ для каждого из спинов, см. рис. B.2. В этом случае решениями уравнений движения для $S_{i,x}$ и $S_{i,y}$ являются бегущие волны с волновым вектором $k$ и циклической частотой $\omega$.

B3  ^2.00 Найдите соотношение между $\omega$ и $k$ (то есть дисперсионное соотношение $\omega(k)$) для спиновых волн. Выразите ответ через $J, S$ и $a$. Подсказка: координата $i$-го спина равна $x=a\cdot i$.

Описанная выше спиновая волна обладает определенной энергией и импульсом. При низких энергиях соотношение между энергией и импульсом такое же, как для классической частицы массы $m_\text{eff }$.

B4  ^0.60 Для малых $k$ ($k\ll1/a$), найдите эффективную массу $m_\text{eff}$ спиновой волны. Выразите ответ через $J, S, a$ и физические постоянные.

Спиновые волны можно исследовать экспериментально с помощью рассеяния нейтронов. Хотя заряд нейтрона и равен нулю, у него есть спин, взаимодействующий с другими спинами.

B5  ^1.30 Пусть изначально все магнитные моменты в цепочке направлены вдоль оси $z$. Нейтрон с малой энергией движется в плоскости $x-y$. Угол падения нейтрона на спиновую цепочку равен $\theta_{in}$, после рассеяния угол становится $\theta_{out}$ (см. рис. B.3). Считая, что нейтрон возбуждает одну спиновую волну, определите эффективную массу спиновой волны, выразите ответ через $\theta_\text{in}, \theta_\text{out}$ и массу нейтрона $m_n$. Изначально спины покоятся.

Часть C. Фазовый переход в спиновой цепочке (4.3 балла)

Рассмотрим ту же цепочку, что и в части B, состоящую из $N$спинов. Пусть теперь каждый вектор спина направлен либо по оси $z$, либо против нее, так что проекция спинового момента импульса имеет вид $S_{i,z} = s_i S$, где $s_i=\pm 1$, см. рис. C.1. Помимо взаимодействия с ближайшими соседями на спины действует внешнее магнитное поле, направленное вдоль оси $z$, так что энергия системы имеет вид

$$E=-\tilde{J}\sum_{i} s_i s_{i+1} - h \sum_{i} s_i.$$

Здесь $\tilde{J}\geq0$, $h$ – постоянная, зависящая от магнитного поля. Спиновая система находится в термодинамическом равновесии при температуре $T$. Краевые эффекты не учитывайте.

C1  ^0.50 Пусть $\tilde{J}=0$. Найдите отношение вероятности того, что некоторый спин направлен вдоль магнитного поля $p_\uparrow$, к вероятности того, что он направлен против поля $p_\downarrow$. Выразите $p_\uparrow/p_\downarrow$ через $h$, $T$ и физические постоянные.

C2  ^1.00 Найдите средний спин системы $\bar{s}\equiv\frac{1}{N} \sum_i s_i$ при $N\gg 1$, выразите ответ через $T$ и физические постоянные. Нарисуйте график зависимости $\bar{s}$ от $h$ в пределах от $-h_0$ до $h_0$ для случаев $h_o\gg k_BT$, $h_o\approx k_BT$ и $h_o\ll k_BT$.

В оставшихся пунктах внешнее магнитное поле отсутствует, $h=0$, а $\tilde{J}>0$.

C3  ^0.20 Чему равна энергия $E_g$ основного состояния системы (состояния с минимальной энергией). Выразите ответ через $\tilde{J}$ и $N$.

Вместо анализа взаимодействий каждого спина с соседями предположим, что каждый спин взаимодействует со средним спином $\bar{s}$.

C4  ^0.20 Получите приближенное выражение для энергии в виде суммы по всем спинам
$$E=-\tilde{J}_{\text{eff}} \sum_{i} s_i$$ и выразите $\tilde{J}_{\text{eff}}$ через $\tilde{J}$ и $\bar{s}$.

C5  ^1.20 Аналогично пункту C.2, получите уравнение, которому удовлетворяет среднее значение спина $\bar{s}$. Количество решений этого уравнения зависит от $T$. Найдите критическую температуру $T_c$, при которой количество решений меняется. Выразите ответ через $\tilde{J}$ и физические постоянные.

C6  ^1.00 Найдите все возможные значения $\bar{s}$ при $T<T_c$ и $T_c-T\ll T_c$. Выразите ответ через $T$ и $T_c$. Нарисуйте график всех возможных значений $\bar{s}$ в зависимости от температуры $T$ в диапазоне $0\leq T\leq 2 T_c$.

C7  ^0.20 Какой магнитной фазе отвечает случай $T>T_c$, а какой $T<T_c$? Выберите из парамагнитной и ферромагнитной фаз.