Introducere

În fizica clasică, momentul cinetic provine din mișcarea unui corp în jurul unei axe - fie că este vorba de un giroscop care se învârte, o planetă care se rotește sau un electron care orbitează în atom. Cu toate acestea, în fizica cuantică, particulele fundamentale posedă un moment cinetic intrinsec și cuantificat, numit spin. Această proprietate joacă un rol crucial în diverse fenomene fizice, de la proprietățile materialelor, cum ar fi magnetismul, la aplicații moderne, cum ar fi calculul cuantic.

În această problemă vom trata spinul în mod clasic, ceea ce va conduce la unele rezultate calitativ corecte. Veți explora fizica sistemelor de spini prin intermediul interacțiunilor spin-spin, evoluția în câmpuri magnetice și fizica statistică, pentru a înțelege apariția undelor de spin și a tranzițiilor de fază în magneți.

Informații utile:

$\cosh(x)\equiv \frac{e^x+e^{-x}}{2} $, $\sinh(x)\equiv \frac{e^x-e^{-x}}{2}$, $\tanh(x)\equiv \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \approx x-\frac{1}{3}x^3$ pentru $|x|\ll1$

Câmpul magnetic datorat unui dipol magnetic de moment $\vec{\mu}$ într-un punct descris de vectorul de poziție $\vec{r}$ față de dipol este dat de ($\mu_0$ este permeabilitatea magnetică a vidului):

$$\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\pi} \left(\frac{3(\vec{\mu}\cdot\vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right)$$

Partea A. Precesia și interacțiunea dipolilor magnetici (1.2 puncte)

Considerați un inel cu raza $R$, masa totală $M$ și sarcina $Q>0$ distribuită uniform. Inelul se rotește cu o viteză unghiulară $\omega$ în jurul axei perpendiculare pe planul său, care trece prin centrul său de masă.

A1  ^0.30 Momentul magnetic $\vec{\mu}$ al inelului se poate scrie în funcție de momentul său cinetic $\vec{L}$, sub forma $\vec{\mu}=\gamma \vec{L}$. Determinați constanta $\gamma$, numită raport giromagnetic, a acestui sistem în funcție de $Q$ și $M$.

Inelul este plasat într-un câmp magnetic uniform, slab, $\vec{B}=B\hat{z}$, formând un unghi $\theta$ cu $\vec{\omega}$, vezi Figura A.1.

A2  ^0.40 Deduceți o expresie pentru viteza unghiulară de precesie $\omega_L$ (așa-numita frecvență unghiulară Larmor) a spinului, datorată câmpului magnetic extern, în funcție de $B$ și $\gamma$. Considerați că sensul pozitiv al mișcării de precesie este în sens invers acelor de ceasornic, în raport cu $+z$.

Acum întrerupem câmpul magnetic extern și plasăm un inel identic la o distanță orizontală $d\gg R$ de primul inel, astfel încât momentul magnetic $\vec{\mu}_2$ al noului inel formează un unghi $\theta$ cu $\vec{\mu}_1$, a se vedea Figura A.2.

A3  ^0.50 Energia de interacțiune magnetică dintre cele două inele poate fi scrisă ca $U=J_0 \vec{L}_1\cdot \vec{L}_2$, unde $J_0$ este o constantă și $\vec{L}_i$ este momentul cinetic al celui de-al $i$-lea inel. Determinați $J_0$ în funcție de $\gamma, d$ și de constante fundamentale.

Partea B. Unde de spin (4.5 puncte)

În cele ce urmează vom studia dinamica spinilor. Un spin este reprezentarea unei particulă cu moment cinetic intrinsec $\vec{S}$, care are un moment magnetic asociat $\vec{\mu}$ legat de $\vec{S}$ prin intermediul raportului giromagnetic, $\vec{\mu}=\gamma \vec{S}$, ca în Partea A.1.

Dipolii magnetici ai spinilor interacționează între ei. Totuși, această interacțiune este neglijabilă, în comparație cu cele de origine pur cuantică, care nu sunt prezente în sistemele clasice. Interesant este faptul că energia asociată acestei interacțiuni cuantice are aceeași formă pe care am determinat-o în partea A.3,proporțională cu $\vec{S}_1\cdot \vec{S}_2$, dar cu semn opus.

Acum vom analiza un lanț foarte lung de spini. Pozițiile spinilor sunt fixate de-a lungul axei $x$, cu o distanță $a$ care îi separă, a se vedea Figura B.1. Vom aproxima energia totală a sistemului luând în considerare doar interacțiunile dintre cei mai apropiați vecini, astfel încât energia poate fi scrisă ca

$$E=-J \sum_i \vec{S}_i\cdot \vec{S}_{i+1}$$

unde $J>0$ este tăria interacțiunii, iar $\vec{S}_i$ este vectorul moment cinetic de spin al celui de-al $i$-lea dipol, cu modulul $S$. Vectorii de spin sunt liberi să se rotească în trei dimensiuni. Observați că semnul energiei este diferit față de ultima parte. Această interacțiune este de natură pur cuantică.

B1  ^0.30 Termenii energetici conținând $\vec{S}_i$ în suma de mai sus pot fi văzuți drept energia de interacțiune dintre câmpul magnetic efectiv $\vec{B}_{i,\text{eff}}$ și momentul magnetic $\vec{S}_i$. Determinați $\vec{B}_{i,\text{eff}}$ și exprimați răspunsul în funcție de $J$, de raportul giromagnetic $\gamma$ și de alte momente de spin $\vec{S}_j$ (specificați indicii $j$ în raport cu $i$).

B2  ^0.30 Utilizând conceptul de câmp magnetic efectiv, exprimați viteza de variație a celui de-al $i$-lea vector de spin, $d\vec{S}_i/dt$, în funcție de $J, \vec{S}_i$ și de alte momente de spin $\vec{S}_j$ (specificați indicii $j$ în raport cu $i$).

Pentru restul Părții B, presupunem că sistemul este puternic magnetizat de-a lungul direcției $z$, astfel încât să putem utiliza aproximațiile $S_{i,z}\approx S$ și $dS_{i,z}/dt\approx0$ pentru fiecare spin (v. Figura B.2). În acest regim, setul de ecuații care descrie evoluția în timp a spinilor este satisfăcut de o soluție sub forma unei unde progresive pentru $S_{i,x}$ și $S_{i,y}$ , caracterizată de un număr de undă $k$ și o frecvență unghiulară $\omega$.

B3  ^2.00

Deduceți relația dintre $\omega$ și $k$ (cunoscută sub numele de relația de dispersie, $\omega(k)$) pentru undele de spin, în funcție de $J, S$ și $a$.

Indicație: exprimați poziția celui de-al $i$-lea spin ca $x=a\cdot i$.

Unda de spin descrisă mai sus transferă energie și impuls. La energii mici, relația dintre energie și impuls se aseamănă cu cea a unei particule clasice masive cu o masă efectivă $m_\text{eff }$, un concept cunoscut sub numele de cvasi-particulă.

B4  ^0.60 Pentru valori mici ale lui $k$ ($k\ll1/a$), determinați masa efectivă $m_\text{eff}$ a cvasi-particulei asociate undei de spin. Exprimați răspunsul în funcție de $J, S, a$ și de constante fundamentale.

Undele de spin pot fi examinate experimental prin împrăștierea inelastică a neutronilor de către aceste unde. Deși neutronii au sarcină electrică netă zero, ei au un spin finit, ceea ce le permite să interacționeze cu alți spini.

B5  ^1.30 Să presupunem că, inițial, toți spinii din lanț sunt orientați de-a lungul direcției $z$. Un neutron cu energie scăzută se deplasează în planul $x-y$, formând un unghi de incidență $\theta_{in}$ cu lanțul și se împrăștie sub un unghi $\theta_{out}$, așa cum este ilustrat în Figura B.3. Presupunând că neutronul excită o singură undă de spin, caracterizată de un număr de undă cu valoare mică, determinați masa efectivă $m_\text{eff}$ a cvasi-particulei asociate undei de spin, în funcție de $\theta_\text{in}, \theta_\text{out}$ și de masa neutronului $m_n$. Presupuneți că lanțul de spini este în repaus.

Partea C. Tranziții de fază în lanțurile de spini (4.3 puncte)

În continuare, considerăm același lanț format din $N$ spini din partea B, cu excepția faptului că vectorii de spin sunt acum restricționați de-a lungul axei $z$, având sensul în sus sau în jos, astfel încât componenta de spin de-a lungul $z$ poate fi scrisă ca $S_{i,z} = s_i S$, unde $s_i=\pm 1$ (v. Figura C.1). În plus față de interacțiunile celor mai apropiați vecini, am putea avea un câmp magnetic extern orientat de-a lungul axei $z$, astfel încât energia totală a sistemului să fie dată de

$$E=-\tilde{J}\sum_i s_i s_{i+1} - h \sum_i s_i.$$

Presupunem $\tilde{J}\geq0$, iar $h$ este o constantă dependentă de câmpul magnetic. Sistemul de spini este în echilibru cu un termostat, aflat la temperatura $T$. Ignorați marginile lanțului.

C1  ^0.50 Presupunând mai întâi că $\tilde{J}=0$, care este raportul dintre probabilitatea de a găsi un spin arbitrar aliniat cu câmpul magnetic $p_\uparrow$ și cea de a găsi un spin arbitrar anti-aliniat cu câmpul magnetic $p_\downarrow$? Exprimați $p_\uparrow/p_\downarrow$ în funcție de $h$, $T$ și de constante fundamentale.

C2  ^1.00 Determinați polarizarea medie a sistemului $\bar{s}\equiv\frac{1}{N} \sum_i s_i$ pentru $N\gg 1$, în funcție de $h$, $T$ și de constantele fundamentale. În cazul în care câmpul magnetic $h$ poate varia de la $-h_0$ la $h_0$, reprezentați $\bar{s}$ în funcție de $h$, pentru cazurile $h_o\gg k_BT$, $h_o\approx k_BT$ și $h_o\ll k_BT$.

În toate sarcinile de lucru care urmează, câmpul magnetic este înlăturat, deci $h=0$, și stabilim $\tilde{J}>0$.

C3  ^0.20 Care este energia $E_g$ a stării fundamentale (cea mai joasă stare energetică)? Exprimați răspunsul în funcție de $\tilde{J}$ și de $N$.

În loc să luăm în considerare interacțiunile dintre fiecare spin și vecinii săi, presupunem că fiecare spin „simte” o polarizare medie $\bar{s}$ de la vecinii săi cei mai apropiați.

C4  ^0.20 Aproximați energia sistemului ca o sumă după toți spinii
$$E=-\tilde{J}_{\text{eff}} \sum_i s_i$$și exprimați $\tilde{J}_{\text{eff}}$ în funcție de $\tilde{J}$ și de $\bar{s}$.

C5  ^1.20 Folosind rezultatul de la C.2, deduceți o ecuație pe care trebuie să o satisfacă polarizarea medie $\bar{s}$. Numărul soluțiilor acestei ecuații depinde de $T$. Determinați temperatura critică $T_c$ la care se modifică numărul de soluții. Exprimați răspunsul în funcție de $\tilde{J}$ și de constante fundamentale.

C6  ^1.00 Determinați toate valorile posibile ale lui $\bar{s}$ atunci când $T<T_c$ și $T_c-T\ll T_c$. Exprimați răspunsurile în funcție de $T$ și $T_c$. Schițați grafic toate valorile posibile ale lui $\bar{s}$ pentru temperatura $T$ în intervalul $0\leq T\leq 2 T_c$.

C7  ^0.20 Cărei faze magnetice a substanței corespunde $T>T_c$? Dar $T<T_c$? Alegeți între fazele paramagnetică și feromagnetică.