Pho.rs: Волны и фазовые переходы в спиновых системах

A1 ^0.30 Магнитный момент кольца $\vec{\mu}$ связан с его моментом импульса $\vec{L}$ как $\vec{\mu}=\gamma \vec{L}$. Выразите постоянную $\gamma$ (т.е. гиромагнитное отношение) для этой системы через $Q$ и $M$.

1 Верное значение $L = M R^2 \omega $ (достаточно модуля)	0.10
2 Верное значение $\mu = Q R^2 \omega/2$ (достаточно модуля)	0.10
3 Верное значение $\gamma = Q/2M$	0.10

A2 ^0.40 Выразите угловую частоту $\omega_L$прецессии момента импульса системы под действием внешнего магнитного поля (так называемую ларморовскую частоту) через $B$ и $\gamma$. Считайте $\omega_L$ положительной, если при взгляде с положительного направления оси $z$ вращение происходит против часовой стрелки.

1 Записано уравнение моментов	0.10
2 Указано, что меняется только перпендикулярная компонента момента импульса $L\sin \theta$	0.10
3 Верный модуль $\omega_L = - \gamma B$	0.10
4 Верный знак $\omega_L$	0.10

A3 ^0.50 Энергию магнитного взаимодействия двух колец можно записать как $U=J_0 \vec{L}_1\cdot \vec{L}_2$, где $J_0$ – константа, а $\vec{L}_i$ – момент импульса $i$-го кольца. Выразите $J_0$ через $\gamma, d$ и физические постоянные.

1 Корректно записана энергия взаимодействия (магнитного момента с магнитным полем)	0.10
2 Верно записан модуль магнитного поля	0.10
3 Верное направление магнитного поля	0.10
4 Верный модуль $J_0 = \mu_0 \gamma^2/4\pi d^3$	0.10
5 Верный знак $J_0 > 0$	0.10

B1 ^0.30 Рассмотрим слагаемые, входящие в выражение для энергии взаимодействия и содержащие $\vec{S}_i$. Эти слагаемые можно совокупно рассматривать как энергию магнитного момента $\vec{S}_i$ в некотором эффективном внешнем поле $\vec{B}_{i,\text{eff}}$. Определите $\vec{B}_{i,\text{eff}}$ , выразите ответ через $J$, гиромагнитное отношение $\gamma$, и другие спиновые моменты импульса $\vec{S}_j$ (выразите индексы $j$ через $i$).

1 Явно указано, что в поле $\vec{B}_{i, \text{eff}}$ вносят вклад спины $i−1$ и $i+ 1$	0.20
2 Правильное выражение для магнитного поля $$ \vec{B}_{i, \text{eff}} = \frac{J}{\gamma}\left(\vec{S}_{i-1} + \vec{S}_{i+1} \right) $$	0.10

B2 ^0.30 Используя эффективное магнитное поле, выразите производную $i$-го момента импульса $d\vec{S}_i/dt$ через $J, \vec{S}_i$, и другие моменты импульса $\vec{S}_j$ (выразите индексы $j$ через $i$).

1 Записана производная $\vec{S}$ через эффективное магнитное поле	0.10
2 Верное уравнение $$ \frac{d \vec{S}_i}{dt} = J \vec{S}_i \times \left(\vec{S}_{i-1} + \vec{S}_{i+1} \right) $$	0.20

B3 ^2.00 Найдите соотношение между $\omega$ и $k$ (то есть дисперсионное соотношение $\omega(k)$) для спиновых волн. Выразите ответ через $J, S$ и $a$. Подсказка: координата $i$-го спина равна $x=a\cdot i$.

1 Записаны бегущие волны как функции от $kx \pm \omega t$ (любой знак годится, можно использовать как комплексные экспоненты, так и тригонометрические функции)	0.30
2 Одинаковые амплитуды у $S_x$ и $S_y$	0.20
3 Правильная разность фаз между $S_x$ и $S_y$ (равная $\pi/2$)	0.30
4 Явно записано уравнение движения для $S_x$ или $S_y$	0.50
5 Явно использовано $S_z \approx S$	0.20
6 Верный ответ (допустим знак $\pm$) $$ \omega(k) = 2 JS (1 - \cos(ka)) $$	0.50

B4 ^0.60 Для малых $k$ ($k\ll1/a$), найдите эффективную массу $m_\text{eff}$ спиновой волны. Выразите ответ через $J, S, a$ и физические постоянные.

1 Правильное разложение частоты в ряд Тейлора	0.20
2 Правильное соотношение между импульсом и волновым вектором	0.10
3 Правильное соотношение между энергией и частотой	0.10
4 Правильное значение эффективной массы $m_\text{eff} = \hbar/2JSa^2$	0.20

B5 ^1.30 Пусть изначально все магнитные моменты в цепочке направлены вдоль оси $z$. Нейтрон с малой энергией движется в плоскости $x-y$. Угол падения нейтрона на спиновую цепочку равен $\theta_{in}$, после рассеяния угол становится $\theta_{out}$ (см. рис. B.3). Считая, что нейтрон возбуждает одну спиновую волну, определите эффективную массу спиновой волны, выразите ответ через $\theta_\text{in}, \theta_\text{out}$ и массу нейтрона $m_n$. Изначально спины покоятся.

1 Сохранение проекции импульса на ось $y$	0.40
2 Сохранение проекции импульса на ось $x$	0.30
3 Сохранение энергии	0.20
4 Соотношение между $E_{out}$ и $E_{in}$	0.10
5 Правильный окончательный ответ (должен быть в одной из форм, указанных ниже) $$ m_{\text{eff}} = \frac{\sin^2(\theta_{\text{in}} - \theta_\text{out})}{\cos^2 \theta_\text{out} - \cos^2 \theta_\text{in}} m_n = \frac{\sin(\theta_\text{in} - \theta_\text{out})}{\sin(\theta_\text{in} + \theta_\text{out})} m_n $$	0.30
6 Окончательный ответ верен, но записан в другой форме	0.20

C1 ^0.50 Пусть $\tilde{J}=0$. Найдите отношение вероятности того, что некоторый спин направлен вдоль магнитного поля $p_\uparrow$, к вероятности того, что он направлен против поля $p_\downarrow$. Выразите $p_\uparrow/p_\downarrow$ через $h$, $T$ и физические постоянные.

1 Использовано распределение Больцмана $p \sim e^{-E/k_BT}$	0.20
2 Правильные экспоненты для спинов, направленных вверх и вниз(0.1 each)	2 × 0.10
3 Правильный ответ для отношения $p_\uparrow/p_\downarrow = e^{2h/k_B T}$	0.10

C2 ^1.00 Найдите средний спин системы $\bar{s}\equiv\frac{1}{N} \sum_i s_i$ при $N\gg 1$, выразите ответ через $T$ и физические постоянные. Нарисуйте график зависимости $\bar{s}$ от $h$ в пределах от $-h_0$ до $h_0$ для случаев $h_o\gg k_BT$, $h_o\approx k_BT$ и $h_o\ll k_BT$.

1 Получено $\overline{s} = p_\uparrow - p_\downarrow$	0.20
2 Условие нормировки $p_\uparrow + p_\downarrow = 1$	0.10
3 Ответ для $\overline{s} = \tanh\left( \dfrac{h}{k_B T}\right)$	0.10
4 Правильные графики (0.2 балла за каждый)	3 × 0.20

C3 ^0.20 Чему равна энергия $E_g$ основного состояния системы (состояния с минимальной энергией). Выразите ответ через $\tilde{J}$ и $N$.

1 Указано, что энергия минимальна, когда все спины направлены в одну сторону	0.10
2 Ответ $E = - \tilde{J} N$ (подходят коэффиценты $N −1$ и $N$)	0.10

C4 ^0.20 Получите приближенное выражение для энергии в виде суммы по всем спинам
$$E=-\tilde{J}_{\text{eff}} \sum_{i} s_i$$ и выразите $\tilde{J}_{\text{eff}}$ через $\tilde{J}$ и $\bar{s}$.

1 Указано, что $s_{i+1}$ можно заменить на $\overline{s}$	0.10
2 Правильный ответ $\tilde{J}_\text{eff} = \tilde{J} \overline{s}$	0.10

C5 ^1.20 Аналогично пункту C.2, получите уравнение, которому удовлетворяет среднее значение спина $\bar{s}$. Количество решений этого уравнения зависит от $T$. Найдите критическую температуру $T_c$, при которой количество решений меняется. Выразите ответ через $\tilde{J}$ и физические постоянные.

1 Указано $\overline{s} = \tanh (\tilde{J}_\text{eff}/k_BT)$	0.10
2 Замена $J_\text{eff}$ на $h$ в $\overline{s}$ из C.2	0.20
3 Указано, что при $\tilde{J} \ll k_B T$ есть одно тривиальное решение	0.20
4 Указано, что при $\tilde{J} \gg k_B T$ есть два нетривиальных решения	0.20
5 Явно указано условие. при котором меняется количество решений	0.30
6 Ответ $T_c = \tilde{J}/k_B$	0.20

C6 ^1.00 Найдите все возможные значения $\bar{s}$ при $T<T_c$ и $T_c-T\ll T_c$. Выразите ответ через $T$ и $T_c$. Нарисуйте график всех возможных значений $\bar{s}$ в зависимости от температуры $T$ в диапазоне $0\leq T\leq 2 T_c$.

1 Использовано разложение для $\tanh$	0.10
2 Привильные нетривиальные решения (возможно неупрощенные, 0.1 балла за каждое) $$\overline{s} = \pm \sqrt{3 \frac{T_c - T}{T}}$$	2 × 0.10
3 На графике $\overline{s}$ только одно решение при $T>T_c$	0.10
4 Касательная к графикам нетривиальных решений вертикальна при $T_c$	0.20
5 $\overline{s} = 0$ нарисована на графике при $T < T_c$	0.10
6 Нетривиальные решения монотонно возрастают (по модулю) до $\pm 1$ при $T = 0$ (0.1 each)	2 × 0.10
7 Касательная к графикам нетривиальных решений горизонтальна при $T = 0$.	0.10

C7 ^0.20 Какой магнитной фазе отвечает случай $T>T_c$, а какой $T<T_c$? Выберите из парамагнитной и ферромагнитной фаз.

1 При $T > T_c$ парамагнетик	0.10
2 При $T < T_c$ ферромагнетик	0.10

Волны и фазовые переходы в спиновых системах

Разбалловка