مقدمه

در فیزیک کلاسیک، حرکت یک جسم به دور یک محور مانند فرفره چرخان، سیاره چرخان و یا چرخش یک الکترون در اتم، تکانه زاویه ای ایجاد می کند. اما در فیزیک کوانتومی، ذرات بنیادی دارای یک شکل ذاتی و کوانتیزه از تکانه زاویه‌ای به نام اسپین هستند. این ویژگی نقش مهمی در پدیده‌های فیزیکی مختلف، مانند خواص مواد مغناطیسی و همچنین محاسبات کوانتومی دارد.

در این مسئله، ما اسپین را به صورت کلاسیکی بررسی خواهیم کرد که منجر به نتایج کیفی صحیحی خواهد شد. شما فیزیک سیستم‌های اسپینی را از طریق برهمکنش‌های اسپین-اسپین، تاثیر میدان‌های مغناطیسی و فیزیک آماری بررسی خواهید کرد تا وجود امواج اسپینی و گذار فاز را در مواد مغناطیسی درک کنید.

اطلاعات مفید:

$\cosh(x)\equiv\frac{e^x+e^{-x}}{2},\:\:\:\:\:\:\:$ $\sinh(x)\equiv \frac{e^x-e^{-x}}{2}$

برای $|x|\ll1$ داریم: $\tanh(x)\equiv \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \approx x-\frac{1}{3}x^3$

میدان مغناطیسی ناشی از یک گشتاور دوقطبی مغناطیسی $\vec{\mu}$ در یک نقطه ی$\vec{r}$ در فاصله دور از آن به صورت زیر داده می شود:

$$\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\pi} \left(\frac{3(\vec{\mu}\cdot\vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right)$$

بخش A. حرکت تقدیمی و برهمکنش‌های دوقطبی‌های مغناطیسی (2.1 نمره)

یک حلقه به شعاع $R$، جرم کل M و بار الکتریکی $Q>0$ با توزیع یکنواخت در نظر بگیرید. حلقه با سرعت زاویه‌ای $\omega$ حول محور عمود بر صفحه ی حلقه که از مرکز جرم آن می‌گذرد می‌چرخد.

A1  ^0.30 گشتاور مغناطیسی حلقه $\vec{\mu}$ را می توان بر حسب تکانه زاویه‌ای آن$\vec{L}$ به صورت$\vec{\mu}=\gamma \vec{L}$ نوشت. ثابت $\gamma$ که به آن نسبت ژیرومغناطیسی این سیستم نیز می گویند را بر حسب $Q$ و $M$ پیدا کنید.

مطابق شکل A.1 حلقه در یک میدان مغناطیسی یکنواخت ضعیف $\vec{B}=B\hat{z}$ قرار دارد و زاویه محور $\vec{\omega}$ با امتداد میدان مغناطیسی $\theta$ است .

A2  ^0.40 سرعت زاویه‌ای حرکت تقدیمی بردار تکانه زاویه‌ای $\omega_L$ (که به آن فرکانس لارمور می‌گویند) ناشی از میدان مغناطیسی خارجی را بر حسب $B$ و$\gamma$ به دست آورید. راستای مثبت را نسبت به محور $+z$ در خلاف جهت عقربه‌های ساعت در نظر بگیرید.

حال میدان مغناطیسی خارجی را خاموش می‌کنیم و یک حلقه‌ی یکسان را در فاصله‌ی افقی $d\gg R$ از حلقه اصلی قرار می‌دهیم به طوری که گشتاور مغناطیسی حلقه جدید$\vec{\mu}_2$ مطابق شکل A.2 با $\vec{\mu}_1$ زاویه $\theta$ می سازد.

A3  ^0.50 انرژی برهمکنش مغناطیسی بین دو حلقه را می‌توان به صورت $U=J_0 \vec{L}_1\cdot \vec{L}_2$ نوشت به طوری که $J_0$ یک مقدار ثابت و $\vec{L}_i$ تکانه زاویه‌ای حلقه ی $i$ام است. $J_0$ را برحسب $\gamma, d$ و ثابت‌های بنیادی پیدا کنید.

بخش B. امواج اسپینی (5.4 نمره)

در ادامه، دینامیک اسپین‌ها را بررسی می‌کنیم. اسپین ذره‌ای با تکانه زاویه‌ای ذاتی$\vec{S}$ است، مشابه بخش A.1 می توان به آن یک گشتاور مغناطیسی $\vec{\mu}$ به صورت $\vec{\mu}=\gamma \vec{S}$ نسبت داد.

دوقطبی‌های مغناطیسی دو اسپین با یکدیگر برهمکنش می‌کنند. با این حال، این برهمکنش در مقایسه با برهمکنش دیگری که منشأ مکانیک کوانتومی دارد و در سیستم‌های کلاسیک وجود ندارد، ناچیز است. انرژی مربوط به این برهمکنش کوانتومی مشابه برهمکنش ذکر شده در بخش A.3 ، به فرم $\vec{S}_1\cdot \vec{S}_2$ اما با علامت منفی است.

حالا یک زنجیره بسیار طولانی از اسپین‌ها را در نظر بگیرید. مطابق شکل B.1 مکان اسپین‌ها در امتداد محور $x$ و فاصله بین آنها ثابت و برابر $a$ است. با تقریب خوبی می توان فقط برهمکنش‌ هر اسپین با اولین همسایه‌هایش را در نظر گرفت. در این حالت انرژی کل سیستم مورد نظر به صورت زیر نوشته می شود:

$$E=-J \sum_i \vec{S}_i\cdot \vec{S}_{i+1}$$

به طوری که $J>0$ شدت برهمکنش است، و $\vec{S}_i$ بردار تکانه زاویه‌ای اسپینی دوقطبی $i$ام با مقدار $S$ است. بردارهای اسپین آزادند که در سه بعد بچرخند. توجه داشته باشید که علامت انرژی با بخش قبلی متفاوت است. این برهمکنش کاملاً کوانتومی است.

B1  ^0.30 میدان مغناطیسی مؤثر $\vec{B}_{i,\text{eff}}$ که اسپین $i$ ام حس می کند چقدر است؟ پاسخ تان را بر حسب $J$ ، $\gamma$ نسبت ژیرومغناطیسی و سایر اسپین ها$\vec{S}_j$ بیان کنید (اندیس های $j$ را نسبت به اندیس های $i$ مشخص کنید).

B2  ^0.30 تغییرات زمانی بردار اسیپینی$i$ام، $d\vec{S}_i/dt$ ، را بر حسب $J, \vec{S}_i$ و سایر اسپین ها $\vec{S}_j$ بیان کنید (اندیس های $j$ را نسبت به اندیس های $i$ مشخص کنید).

برای بقیه بخش B ، فرض کنید که سیستم در امتداد $z$ به شدت مغناطیده شده است به طوری که می‌توان از تقریب‌های $S_{i,z}\approx S$ و $dS_{i,z}/dt\approx0$ برای هر اسپین استفاده کرد. شکل B.2 را ببینید. در این حالت، برای مجموعه معادلات توصیف‌کننده‌ی تحول زمانی اسپین‌ها، یک حل موج رونده برای $S_{i,x}$ و$S_{i,y}$ با بردار موج $k$ و فرکانس زاویه‌ای $\omega$ مشخص می‌شود.

B3  ^2.00

رابطه بین $\omega$ و$k$ را برای امواج اسپینی بر حسب $J, S$ و $a$ پیدا کنید (به رابطه پاشندگی $\omega(k)$ می گویند).

راهنمایی : مکان اسپین $i$ ام را به صورت $x=a\cdot i$ در نظر بگیرید.

موج اسپینی که در بالا توضیح داده شد، حامل انرژی و تکانه است. در انرژی‌های پایین، رابطه بین انرژی و تکانه آن شبیه به یک ذره کلاسیک جرم‌دار با جرم مؤثر $m_\text{eff }$ است که به عنوان یک شبه ذره شناخته می‌شود.

B4  ^0.60 برای $k$ کوچک ($k\ll1/a$ ) ، جرم مؤثر موج اسپینی $m_\text{eff}$ را بیابید. پاسخ خود را بر حسب $J, S, a$ و ثابت‌های بنیادی بیان کنید.

امواج اسپینی را می‌توان به صورت تجربی با استفاده از پراکندگی غیرالاستیک نوترونی بررسی کرد. اگرچه نوترون‌ها بار خالص صفر دارند، اما اسپین محدودی دارند که به آنها اجازه می‌دهد با اسپین‌های دیگر برهمکنش داشته باشند.

B5  ^1.30 فرض کنید در ابتدا، تمام اسپین‌های زنجیره در امتداد جهت $z$ قرار دارند. یک نوترون با انرژی کم در صفحه $x-y$ با زاویه فرودی $\theta_{in}$ به زنجیره برخورد می کند و مطابق شکل B.3 با زاویه$\theta_{out}$ پراکنده می شود. با فرض اینکه نوترون یک موج اسپینی با بردار پایین را تحریک می‌کند، جرم مؤثر $m_\text{eff}$ موج اسپینی را بر حسب$\theta_\text{in}, \theta_\text{out}$ و جرم نوترون$m_n$ پیدا کنید. فرض کنید که زنجیره در حالت سکون باقی می‌ماند.

بخش C. گذارهای فاز در زنجیره‌های اسپینی (3.4 نمره)

در مرحله بعد، همان زنجیره بخش B را فرض کنید که از $N$ اسپین‌ ساخته شده است با این تفاوت که بردارهای اسپینی این بار محدود به جهت‌گیری به سمت بالا یا پایین در امتداد محور $z$ است. با توجه به شکل C.1 مولفه اسپین در امتداد $z$ را می‌توان به صورت $S_{i,z} = s_i S$ نوشت به طوری که $s_i=\pm 1$ . علاوه بر برهمکنش‌های اسپین ها با یکدیگر (فقط نزدیکترین همسایه ها)، می‌توان یک میدان مغناطیسی خارجی نیز در امتداد محور $z$ در نظر گرفت به طوری که انرژی کل سیستم با عبارت زیر داده می شود:

$$E=-\tilde{J}\sum_{i} s_i s_{i+1} - h \sum_{i} s_i.$$

در اینجا فرض کنید $\tilde{J}\geq0$ ، و$h$ یک ثابت وابسته به میدان مغناطیسی است. سیستم اسپینی در تعادل با یک منبع گرمایی در دمای $T$ است. از اثرات لبه‌های زنجیر چشمپوشی کنید.

C1  ^0.50 با فرض اینکه در ابتدا $\tilde{J}=0$ باشد نسبت بین احتمال یافتن یک اسپین دلخواه همسو با میدان مغناطیسی $p_\uparrow$ به احتمال یافتن یک اسپین غیر همسو با میدان مغناطیسی$p_\downarrow$ چیست؟ عبارت $p_\uparrow/p_\downarrow$ را بر حسب $h$ ،$T$ و ثابت‌های بنیادی تعیین کنید.

C2  ^1.00 میانگین قطبش سیستم $\bar{s}\equiv\frac{1}{N} \sum_i s_i$ را برای حالتی که $N\gg 1$ باشد بر حسب $h$ ،$T$ و ثابت‌های بنیادی به دست آورید. اگر میدان مغناطیسی$h$ بتواند از$-h_0$ به$h_0$ تغییر کند، نمودار $\bar{s}$ را بر حسب تابعی از $h$ برای حالت های $h_o\gg k_BT$ ،$h_o\approx k_BT$ و $h_o\ll k_BT$ رسم کنید.

در ادامه سئوال میدان مغناطیسی را خاموش، پس بنابراین $h=0$ است وفرض می کنیم $\tilde{J}>0$ .

C3  ^0.20 انرژی $E_g$ حالت پایه سیستم (کمترین حالت انرژی) را بر حسب$\tilde{J}$ و$N$ به دست آورید.

به جای در نظر گرفتن برهمکنش‌های بین هر اسپین و همسایگانش، فرض کنید که هر اسپین حس می کند نزدیکترین همسایه هایش قطبش میانگین $\bar{s}$ دارند.

C4  ^0.20 انرژی سیستم را به صورت مجموع تمام اسپین‌ها تقریب بزنید.
$$E=-\tilde{J}_{\text{eff}} \sum_{i} s_i$$و $\tilde{J}_{\text{eff}}$ را بر حسب$\tilde{J}$ و$\bar{s}$ بیان کنید.

C5  ^1.20 با استفاده از نتیجه C.2 ، معادله‌ای را بیابید که حاکم بر میانگین قطبش$\bar{s}$ است. تعداد جواب‌های این معادله بستگی به$T$ دارد. دمای بحرانی $T_c$ را پیدا کنید که در آن دما تعداد جواب‌ها تغییر می‌کند. پاسخ خود را بر حسب $\tilde{J}$ و ثابت‌های بنیادی بیان کنید.

C6  ^1.00 تمام مقادیر ممکن $\bar{s}$ را وقتی که $T<T_c$ و$T_c-T\ll T_c$ پیدا کنید. پاسخ‌های خود را بر حسب $T$ و$T_c$ بیان کنید. نمودار تمام مقادیر ممکن $\bar{s}(T)$ را در محدوده دمایی $0\leq T\leq 2 T_c$ رسم کنید.

C7  ^0.20 در حالت $T>T_c$ ، ماده در چه فاز مغناطیسی است؟ در حالت $T<T_c$ چطور؟ پاسخ شما برای این دو محدوده باید فاز پارامغناطیس یا فرومغناطیس باشد.