مقدمة

في الفيزياء الكلاسيكية، تنشأ كمية الحركة الزاوية( الزخم الزاوي) من حركة جسم ما حول محور، سواء أكان قمة تدور أو كوكبًا يدور أو إلكترونًا يدور في الذرة. ولكن، في الفيزياء الكمية، تمتلك الجسيمات الأساسية شكلاً ذاتيا ومكمى لكمية الحركة الزاوية يُطلق عليه اسم الدوران. وتلعب هذه الخاصية دورًا حاسمًا في مختلف الظواهر الفيزيائية، بدءًا من خصائص المواد، مثل المغناطيسية، إلى التطبيقات الحديثة، مثل الحوسبة الكمية.

في هذه المسألة سوف نتعامل مع الدوران بشكل كلاسيكي، وهو ما سيؤدي إلى بعض النتائج الصحيحة نوعياً. سوف تستكشف فيزياء أنظمة الدوران من خلال التفاعلات بين الدوران والدوران، والتطور تحت المجالات المغناطيسية، والفيزياء الإحصائية لفهم ظهور موجات الدوران والانتقالات الطورية في المغناطيس.

معلومات مفيدة

$\cosh(x)\equiv \frac{e^x+e^{-x}}{2} $ $\sinh(x)\equiv \frac{e^x-e^{-x}}{2}$ ، لـ $\tanh(x)\equiv \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \approx x-\frac{1}{3}x^3$ $|x|\ll1$

يُعطَى المجال المغناطيسي الناتج عن ثنائي القطب المغناطيسي ذي العزم $\vec{\mu}$ عند موضع $\vec{r}$ بعيدًا عنه من خلال ($\mu_0$ هو نفاذية الفراغ):

$$\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\pi} \left(\frac{3(\vec{\mu}\cdot\vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right)$$

الجزء (A) السبق وتفاعلات ثنائي القطب المغناطيسي (2.1 نقطة)

افترض أن لدينا حلقة نصف قطرها $R$ ، وكتلة كلية $M$ ، وشحنة $Q>0$ موزعة بشكل منتظم. تدور الحلقة بسرعة زاوية $\omega$ حول محور عمودي يمر بمركز كتلتها.

A1  ^0.30 من الممكن كتابة العزم المغناطيسي للحلقة $\vec{\mu}$ بدلالة كمية حركتها الزاوية $\vec{L}$ على النحو $\vec{\mu}=\gamma \vec{L}$. أوجد الثابت $\gamma$ ، المسمى النسبة الجيرومغناطيسية لهذا النظام بدلالة $Q$ و $M$.

توضع الحلقة في مجال مغناطيسي منتظم ضعيف $\vec{B}=B\hat{z}$ ، مما يجعل الزاوية $\theta$ مع $\vec{\omega}$ ، انظر الشكل 1-A.

A2  ^0.40 أوجد التردد الزاوي $\omega_L$ لكمية الحركة الزاوية (ما يسمى بتردد لارمور) الناتج عن المجال المغناطيسي الخارجي بدلالة $B$ و $\gamma$. اعتبر الاتجاه الموجب عكس اتجاه عقارب الساعة بالنسبة إلى $+z$.

والآن نطفئ المجال المغناطيسي الخارجي ونضع حلقة مطابقة على مسافة أفقية $d\gg R$ من الحلقة الأصلية بحيث يصنع العزم المغناطيسي للحلقة الجديدة $\vec{\mu}_2$ زاوية $\theta$ مع $\vec{\mu}_1$ ، انظر الشكل 2-A.

A3  ^0.50 يمكن كتابة طاقة التفاعل المغناطيسي بين الحلقتين على الصورة $U=J_0 \vec{L}_1\cdot \vec{L}_2$ ، حيث $J_0$ هو ثابت و $\vec{L}_i$ هو كمية الحركة الزاوية للحلقة $i$. أوجد $J_0$ بدلالة $\gamma, d$ والثوابت الأساسية.

الجزء B. موجات الدوران (5.4 نقاط)

فيما يلي نبحث في ديناميكيات الدوران. الدوران هو جسيم له كمية حركة زاوية جوهرية $\vec{S}$ ، وله عزم مغناطيسي مصاحب $\vec{\mu}$ مرتبط بـ $\vec{S}$ عن طريق النسبة المغناطيسية المغناطيسية كما في الجزء A-1، $\vec{\mu}=\gamma \vec{S}$.

يتفاعل ثنائي القطبين المغناطيسيين للمغناطيسين مع بعضهما البعض. ومع ذلك، فإن هذا التفاعل ضئيل مقارنة بتفاعل آخر ناشئ من أصل ميكانيكي كمي غير موجود في الأنظمة الكلاسيكية. ومن المثير للاهتمام، أن الطاقة المرتبطة بهذا التفاعل الكمي لها نفس الشكل الذي وجدناه في الجزء A.3، حيث تتدرج مع $\vec{S}_1\cdot \vec{S}_2$ ، وإن كانت الإشارة معاكسة.

الآن سنلقي نظرة على سلسلة طويلة جدًا من المغازل. مواضع المغازل ثابتة على طول المحور $x$ ، مع وجود مسافة $a$ تفصل بينها، انظر الشكل1-B. سنقوم بتقريب الطاقة الكلية للنظام من خلال النظر في التفاعلات بين الجيران الأقرب فقط، بحيث يمكن كتابة الطاقة على الصورة

$$E=-J \sum_i \vec{S}_i\cdot \vec{S}_{i+1}$$

حيث $J>0$ هو قوة التفاعل، و $\vec{S}_i$ هو متجه الزخم الزاوي المغزلي لثنائي القطب $i$ثنائي القطب، مع المقدار $S$. تكون متجهات الدوران حرة الدوران في ثلاثة أبعاد. لاحظ أن إشارة الطاقة تختلف عن الجزء الأخير. هذا التفاعل ميكانيكي كمّي بحت.

B1  ^0.30 يمكن النظر إلى مصطلحات الطاقة التي تحتوي على $\vec{S}_i$ في المجموع أعلاه على أنها طاقة التفاعل بين المجال المغناطيسي الفعال $\vec{B}_{i,\text{eff}}$ والعزم المغناطيسي $\vec{S}_i$. أوجد $\vec{B}_{i,\text{eff}}$ وعبّر عن إجابتك بدلالة $J$ ، والنسبة الجيرومغناطيسية $\gamma$ ، والمغازل الأخرى $\vec{S}_j$ (حدّد المؤشرات $j$ بالنسبة إلى $i$)

B2  ^0.30 باستخدام مفهوم المجال المغناطيسي الفعّال، عبّر عن معدل تغير متجه الدوران $i$، $d\vec{S}_i/dt$ ، بدلالة $J, \vec{S}_i$ ، والمغازل الأخرى $\vec{S}_j$ (حدد المؤشرات $j$ بالنسبة إلى $i$).

بالنسبة لبقيةالجزء B، لنفترض أن النظام ممغنط بشدة على طول الاتجاه $z$ ، لذا يمكننا استخدام التقريبات $S_{i,z}\approx S$ و $dS_{i,z}/dt\approx0$ لكل دوران، انظر الشكل ب-2. في هذا النظام، تُستوفى مجموعة المعادلات التي تصف التطور الزمني للدوران من خلال حل موجة متنقلة $S_{i,x}$و $S_{i,y}$ تتميز بمتجه موجة $k$ والتردد الزاوي $\omega$.

B3  ^2.00

أوجد العلاقة بين $\omega$ و $k$ (المعروفة باسم علاقة التشتت، $\omega(k)$) لموجات الدوران بدلالة $J, S$ و $a$.

تلميح: عبّر عن موضع $i$الدوران على الصورة $x=a\cdot i$.

تحمل موجة الدوران الموصوفة أعلاه طاقة وكمية حركة. وعند الطاقات المنخفضة، تشبه العلاقة بين طاقتها وكمية حركتها علاقة الجسيم الكلاسيكي ذي الكتلة الفعالة $m_\text{eff }$ ، وهو مفهوم يُعرف بشبه الجسيم.

B4  ^0.60 بالنسبة للصغير $k$ ($k\ll1/a$)، أوجد الكتلة الفعالة $m_\text{eff}$ لموجة الدوران. عبِّر عن إجابتك بدلالة $J, S, a$ والثوابت الأساسية.

يمكن سبر موجات الدوران تجريبياً باستخدام التشتت النيوتروني غير المرن. وعلى الرغم من أن النيوترونات لها شحنة صافية صفرية، إلا أن لها دورانا محدوداً، مما يسمح لها بالتفاعل مع مغزل(snips) آخر.

B5  ^1.30 لنفترض أن جميع المغازل في السلسلة تشير في البداية على طول الاتجاه $z$. وينتقل نيوترون ذو طاقة منخفضة على المستوى $x-y$ محدثاً زاوية سقوط $\theta_{in}$ مع السلسلة ويتشتت بزاوية $\theta_{out}$ كما هو موضح في الشكل B.3. بافتراض أن النيوترون يثير موجة دوران واحدة منخفضة الموجة، أوجد الكتلة الفعالة $m_\text{eff}$ لموجة الدوران، بدلالة $\theta_\text{in}, \theta_\text{out}$ وكتلة النيوترون $m_n$. افترض أن السلسلة تبقى في حالة سكون.

الجزء C. التحولات الطورية في السلاسل الدورانية (3.4 نقطة)

بعد ذلك ننظر إلى نفس السلسلة المكونة من $N$ الدوران من الجزء B، باستثناء أن متجهات الدوران مقيدة الآن بالإشارة إما لأعلى أو لأسفل على طول المحور $z$ ، بحيث يمكن كتابة مكون الدوران على طول $z$ على النحو التالي $S_{i,z} = s_i S$ ، حيث $s_i=\pm 1$ ، انظر الشكل C.1. بالإضافة إلى تفاعلات الجوار الأقرب، يمكن أن يكون لدينا مجال مغناطيسي خارجي يشير على طول المحور $z$ بحيث تكون الطاقة الكلية للنظام معطاة بواسطة

$$E=-\tilde{J}\sum_{i} s_i s_{i+1} - h \sum_{i} s_i.$$

نفترض $\tilde{J}\geq0$ ، و $h$ ثابت يعتمد على المجال المغناطيسي. نظام الدوران في حالة توازن مع حمام حراري عند درجة حرارة $T$. تجاهل حواف السلسلة.

C1  ^0.50 لنفترض أولاً أن $\tilde{J}=0$ ، ما هي النسبة بين احتمال وجود دوران عشوائي محاذي للمجال المغناطيسي $p_\uparrow$ إلى كونه مضاداً للمجال المغناطيسي $p_\downarrow$ ؟ عبّر عن $p_\uparrow/p_\downarrow$ بدلالة $h$ ، $T$ والثوابت الأساسية.

C2  ^1.00 أوجد متوسط استقطاب النظام $\bar{s}\equiv\frac{1}{N} \sum_i s_i$ لـ $N\gg 1$ بدلالة $h$ و $T$ والثوابت الأساسية. إذا كان المجال المغناطيسي $h$ يمكن أن يتراوح من $-h_0$ إلى $h_0$ ، قم برسم $\bar{s}$ كدالة لـ $h$ للحالات $h_o\gg k_BT$ و $h_o\approx k_BT$ و $h_o\ll k_BT$.

في الأسئلة المتبقية، نقوم بإيقاف تشغيل المجال المغناطيسي، لذا $h=0$ ، ونضبط $\tilde{J}>0$.

C3  ^0.20 ما هي الطاقة $E_g$ للحالة الأرضية (أقل حالة طاقة)؟ عبّر عن إجابتك بدلالة $\tilde{J}$ و $N$.

وبدلاً من النظر في التفاعلات بين كل دوران وجيرانه، نفترض أن كل دوران يرى استقطاباً متوسطاً $\bar{s}$ من أقرب جيرانه.

C4  ^0.20 تقريبًا طاقة النظام كمجموع على جميع المغازل
$$E=-\tilde{J}_{\text{eff}} \sum_sum_{i} s_i$$والتعبير عن $\tilde{J}_{\text{eff}}$بدلالة $\tilde{J}$ و $\bar{s}$.

C5  ^1.20 باستخدام النتيجة من C.2، أوجد المعادلة التي يجب أن يحققها متوسط الاستقطاب $\bar{s}$. يعتمد عدد حلول هذه المعادلة على $T$. أوجد درجة الحرارة الحرجة $T_c$ التي يتغير عندها عدد الحلول. عبِّر عن إجابتك بدلالة $\tilde{J}$ والثوابت الأساسية.

C6  ^1.00 أوجد جميع القيم الممكنة $\bar{s}$ عندما $T<T_c$ و $T_c-T\ll T_c$. عبّر عن إجاباتك بدلالة $T$ و $T_c$. ارسم جميع القيم الممكنة لـ $\bar{s}$ لدرجة الحرارة $T$ في النطاق $0\leq T\leq 2 T_c$.

C7  ^0.20 ما هو الطور المغناطيسي للمادة عند هذه الحالة $T>T_c$؟ ماذا عن هذه الحالة $T<T_c$ ؟ اختر بين البارامغناطيسية أو المغناطيسية الحديدية.