引言

在经典物理学中，物体绕轴运动–无论是旋转的陀螺、自转的行星，还是原子中运行的电子，就会有角动量。然而，在量子物理学中，基本粒子拥有一种内在的、量子化的角动量，称为自旋。从磁性等材料特性到量子计算等现代应用，这一特性在很多物理现象中发挥着至关重要的作用。

本题中，我们将对自旋进行处理，从而得出一些定性正确的结果。你将通过自旋-自旋相互作用、磁场中的演化和统计物理学来探索自旋系统的物理学，从而理解磁体中自旋波和相变的出现。

有用信息：

$\cosh(x)\equiv \frac{e^x+e^{-x}}{2} $,$\sinh(x)\equiv \frac{e^x-e^{-x}}{2}$,$\tanh(x)\equiv \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \approx x-\frac{1}{3}x^3$ 为$|x|\ll1$

磁矩为 $\vec{\mu}$ 的磁偶极子在离它 $\vec{r}$ 的位置处产生的磁场由以下公式给出（ $\mu_0$ 是真空磁导率）：

$$\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\pi} \left(\frac{3(\vec{\mu}\cdot\vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right)$$

A 部分. 磁偶极子的进动和相互作用（1.2 分）

考虑一个半径为$R$ 、总质量为$M$ 、电荷量为$Q>0$ 且均匀分布的圆环。圆环以角速度 $\omega$ 绕通过其质心的垂直轴旋转。

A1  ^0.30 可以将磁环的磁矩 $\vec{\mu}$ 用其角动量 $\vec{L}$表达为： $\vec{\mu}=\gamma \vec{L}$ ，常数 $\gamma$ 称为旋磁比。求出该系统的常数 $\gamma$，以 $Q$ 和$M$ 表示。

圆环放置在弱的均匀磁场 $\vec{B}=B\hat{z}$ 中，其方向与$\vec{\omega}$ 成 $\theta$ 角，见图 A.1。

A2  ^0.40 求出外部磁场引起的角动量进动的角频率 $\omega_L$ （即所谓的拉莫尔频率），用 $B$ 和 $\gamma$ 表示。将正方向设为相对于$+z$ 的逆时针方向。

现在，我们关闭外部磁场，将一个相同的圆环放置在离原先圆环水平距离 $d\gg R$ 的地方，这个新圆环的磁矩 $\vec{\mu}_2$与 $\vec{\mu}_1$ 成 $\theta$ 角 ，见图 A.2。

A3  ^0.50 两个圆环之间的相互作用磁能可以写成$U=J_0 \vec{L}_1\cdot \vec{L}_2$ ，其中$J_0$ 是一个常数，$\vec{L}_i$ 是第 $i$ 个圆环的角动量。求出$J_0$，用 $\gamma, d$ 和基本常数表示。

B 部分：自旋波（4.5 分）

下面我们将研究自旋动力学。自旋是一种具有固有角动量 $\vec{S}$ 的粒子的属性，它有一个与 $\vec{S}$相关的磁矩 $\vec{\mu}$，如 A.1 部分所述，$\vec{\mu}=\gamma \vec{S}$ 。

两个自旋的磁偶极子相互影响。然而，与另一种源自量子力学的相互作用（该相互作用在经典系统中是不存在的）相比，这种相互作用可以忽略不计。有趣的是，与这种量子相互作用相关的能量与我们在 A.3 部分中得到的形式相同，与$\vec{S}_1\cdot \vec{S}_2$ 成正比，只是符号相反。

现在我们来看一条很长的自旋链。这些自旋的位置沿 $x$ 轴固定，它们之间的距离为 $a$ ，见图 B.1。我们将只考虑近邻粒子之间的相互作用来近似计算系统的总能量，因此能量可以写成

$$E=-J \sum_i \vec{S}_i\cdot \vec{S}_{i+1}$$

其中$J>0$ 是相互作用强度，$\vec{S}_i$ 是第$i$个偶极子的自旋角动量矢量，大小为$S$ 。自旋矢量可在三维空间自由旋转。注意，能量的符号与上一部分不同。这种相互作用是纯量子力学的。

B1  ^0.30 上述求和公式中包含 $\vec{S}_i$ 的能量项，可视为有效磁场$\vec{B}_{i,\text{eff}}$ 与$\vec{S}_i$ 的磁矩之间的相互作用能。求出 $\vec{B}_{i,\text{eff}}$ ，用 $J$ 、旋磁比 $\gamma$ 和其他自旋$\vec{S}_j$ 来表示答案（请指明下标 $j$与 $i$ 的关系 ）。

B2  ^0.30 利用有效磁场的概念，求出第$i$个自旋矢量 $d\vec{S}_i/dt$ 的变化率，用 $J, \vec{S}_i$ 和其他自旋 $\vec{S}_j$ 来表示答案（请指明下标 $j$ 与 $i$的关系 ）。

对于B 部分的其余部分，假设系统沿$z$ 方向高度磁化，因此我们可以对每个自旋使用近似式：$S_{i,z}\approx S$ 和$dS_{i,z}/dt\approx0$ ，见图 B.2。在这种情况下，描述自旋时间演化的方程组满足$S_{i,x}$和$S_{i,y}$ 的行波解，可由波矢 $k$ 和角频率$\omega$来表征 。

B3  ^2.00

求出自旋波的 $\omega$ 和 $k$ 之间的关系（称为色散关系）$\omega(k)$ ，用$J, S$ 和 $a$ 表示。

提示：将第 $i$ 个自旋波的位置表示为$x=a\cdot i$ 。

上述自旋波携带能量和动量。在低能量时，其能量和动量之间的关系类似于具有有效质量 $m_\text{eff }$ 的大质量经典粒子，这一概念下的粒子被称为准粒子。

B4  ^0.60 对于较小的 $k$ ($k\ll1/a$)，求自旋波的有效质量 $m_\text{eff}$ ，用$J, S, a$ 和基本常数表示。

自旋波可以通过非弹性中子散射进行实验探测。虽然中子的净电荷为零，但它们具有有限大小的自旋，因此可以与其他自旋相互作用。

B5  ^1.30 假设链中的所有自旋方向最初都沿 $z$ 方向。如图 B.3 所示，一个低能量的中子在 $x-y$ 平面上运动，与链成 $\theta_{in}$角 入射，并以 $\theta_{out}$ 的角度散射。假设中子激发了单个低波矢自旋波，求出自旋波的有效质量 $m_\text{eff}$ ，由 $\theta_\text{in}, \theta_\text{out}$ 和中子质量$m_n$ 表示。假设链条保持静止。

C 部分：自旋链中的相变（4.3 分）

接下来，我们考虑 B 部分中由$N$ 个自旋粒子构成的同一条链，只是自旋矢量现在被限制为沿$z$ 轴，向上或向下。因此沿$z$ 的自旋分量可以写成 $S_{i,z} = s_i S$ ，其中$s_i=\pm 1$ ，见图 C.1。除了近邻粒子相互作用外，我们还可以沿$z$ 轴设置外部磁场，这样系统的总能量为

$$E=-\tilde{J}\sum_{i} s_i s_{i+1} - h \sum_{i} s_i.$$

假设$\tilde{J}\geq0$ ，而式中 $h$ 是一个取决于磁场的常数。自旋系统与温度为 $T$ 的外部环境处于热平衡状态。忽略链的边缘。

C1  ^0.50 首先假设$\tilde{J}=0$ ，自旋与磁场同方向的概率为 $p_\uparrow$，与磁场反方向的概率为 $p_\downarrow$，这两个概率的比值 $p_\uparrow/p_\downarrow$ 是多少？用 $h$ 、$T$ 和基本常数表示。

C2  ^1.00 对于$N\gg 1$ ，求出系统的平均极化 $\bar{s}\equiv\frac{1}{N} \sum_i s_i$ ，用 $h$、$T$ 和基本常数来表示。如果磁场$h$ 的范围从$-h_0$ 到$h_0$ ，在$h_o\gg k_BT$ 、$h_o\approx k_BT$ 和$h_o\ll k_BT$ 这三种情况下，分别画出这三种情况下$\bar{s}$关于$h$ 的函数关系图。

在剩下的问题中，我们关闭磁场，因此 $h=0$ ，并设$\tilde{J}>0$ 。

C3  ^0.20 基态（最低能态）的能量$E_g$ 是多少？用$\tilde{J}$ 和 $N$ 表示答案。

每个自旋粒子与相邻自旋粒子之间的相互作用，可进行以下假设：每个自旋粒子与其最近相邻自旋粒子的作用都视为平均的，可用平均极化 $\bar{s}$ 替代。

C4  ^0.20 将系统能量近似为所有自旋粒子的总和
$$E=-\tilde{J}_{\text{eff}} \sum_i s_i$$求出$\tilde{J}_{\text{eff}}$，用 $\tilde{J}$ 和 $\bar{s}$ 表示。

C5  ^1.20 利用C.2 中的结果，求出平均极化 $\bar{s}$ 必须满足的方程。该方程有几个解，取决于$T$ 。求出解的数目发生变化的临界温度$T_c$ ，用$\tilde{J}$ 和基本常数表示答案。

C6  ^1.00 求出$\bar{s}$ 在$T<T_c$ 和$T_c-T\ll T_c$ 时的所有可能值。用$T$ 和$T_c$ 表示答案。温度 $T$ 时，T位于$0\leq T\leq 2 T_c$ 范围内，画出$\bar{s}$关于T的草图并求出$\bar{s}$的所有可能值。

C7  ^0.20 $T>T_c$对应的是物质的哪种磁相？$T<T_c$ 对应的是物质的哪种磁相？从顺磁性还是铁磁性进行选择。