Pendahuluan

Dalam fisika klasik, momentum sudut muncul dari gerakan sebuah objek terhadap suatu sumbu - apakah itu gasing yang berputar, planet yang berputar, atau elektron yang mengorbit di dalam atom. Namun, dalam fisika kuantum, partikel fundamental memiliki bentuk momentum sudut intrinsik dan terkuantisasi yang disebut spin. Sifat ini memainkan peran penting dalam berbagai fenomena fisika, mulai dari sifat material, seperti magnet, hingga aplikasi modern, seperti komputasi kuantum.

Dalam soal ini kita akan memperlakukan spin secara klasik, yang akan menghasilkan beberapa hasil yang benar secara kualitatif. Anda akan menjelajahi fisika sistem spin melalui interaksi spin-spin, dinamikanya di dalam medan magnet, dan fisika statistik untuk memahami kemunculan gelombang spin dan transisi fase pada magnet.

Informasi yang berguna:

$\cosh(x)\equiv \frac{e^x+e^{-x}}{2} $, $\sinh(x)\equiv \frac{e^x-e^{-x}}{2}$, $\tanh(x)\equiv \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \approx x-\frac{1}{3}x^3$ untuk $|x|\ll1$

Medan magnet akibat momen dipol magnet $\vec{\mu}$ pada posisi $\vec{r}$ yang jauh darinya diberikan oleh ($\mu_0$ adalah permeabilitas vakum):

$$\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\pi} \left(\frac{3(\vec{\mu}\cdot\vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right)$$

Bagian A. Presesi dan interaksi dipol magnetik (1,2 poin)

Pertimbangkan sebuah cincin dengan jari-jari $R$, massa total $M$, dan muatan $Q>0$ yang terdistribusi secara seragam. Cincin berputar dengan kecepatan sudut $\omega$ mengelilingi sumbu tegak lurus yang melewati pusat massanya.

A1  ^0.30 Momen magnetik cincin $\vec{\mu}$ dapat dituliskan dalam bentuk momentum sudutnya $\vec{L}$ sebagai $\vec{\mu}=\gamma \vec{L}$. Tentukan konstanta $\gamma$, yang disebut rasio giromagnetik, dari sistem ini dalam $Q$ dan $M$.

Cincin ditempatkan dalam medan magnet seragam yang lemah $\vec{B}=B\hat{z}$, membentuk sudut $\theta$ terhadap arah $\vec{\omega}$, lihat Gambar A.1.

A2  ^0.40 Tentukan frekuensi sudut $\omega_L$ dari presesi momentum sudut (yang disebut frekuensi Larmor). Nyatakan dalam medan magnet eksternal $B$ dan $\gamma$. Ambil arah putaran berlawanan arah jarum jam sebagai arah positif dilihat dari sumbu $+z$.

Sekarang kita matikan medan magnet eksternal dan tempatkan cincin yang identik pada jarak horizontal $d\gg R$ dari cincin awal sehingga momen magnetik cincin baru $\vec{\mu}_2$ membentuk sudut $\theta$ terhadap $\vec{\mu}_1$, lihat Gambar A.2.

A3  ^0.50 Energi interaksi magnetik antara dua cincin dapat ditulis dalam bentuk $U=J_0 \vec{L}_1\cdot \vec{L}_2$, di mana $J_0$ adalah konstanta dan $\vec{L}_i$ adalah momentum sudut cincin ke $i$. Tentukan $J_0$ dalam $\gamma, d$ dan konstanta fundamental.

Bagian B. Gelombang Spin (4,5 poin)

Pada bagian ini kita akan menyelidiki dinamika spin. Spin adalah momentum sudut intrinsik $\vec{S}$ dari suatu partikel, dengan $\vec{S}$menghasilkan momen magnetik $\vec{\mu}$ melalui rasio giromagnetik seperti pada Bagian A.1, $\vec{\mu}=\gamma \vec{S}$.

Dipol magnetik dari dua spin berinteraksi satu sama lain. Namun, interaksi ini dapat diabaikan dibandingkan dengan interaksi lain yang berasal dari mekanika kuantum, yang tidak ada dalam sistem klasik. Menariknya, energi yang terkait dengan interaksi kuantum ini memiliki bentuk yang sama dengan yang kita temukan di Bagian A.3, sebanding dengan $\vec{S}_1\cdot \vec{S}_2$, meskipun dengan tanda yang berlawanan.

Sekarang kita akan melihat rantai partikel berspin yang sangat panjang. Posisi partikel ditetapkan di sepanjang sumbu $x$, dengan jarak $a$ yang memisahkannya, lihat Gambar B.1. Kita akan mengestimasi energi total sistem dengan mempertimbangkan interaksi antara tetangga terdekat saja, sehingga energinya dapat dituliskan sebagai

$$E=-J \sum_i \vec{S}_i\cdot \vec{S}_{i+1}$$

di mana $J>0$ adalah kekuatan interaksi, dan $\vec{S}_i$ adalah vektor momentum sudut spin dari dipol ke- $i$, dengan besar $S$. Vektor spin bebas berputar dalam tiga dimensi. Perhatikan bahwa tanda energinya berbeda dari bagian terakhir. Interaksi ini murni mekanika kuantum.

B1  ^0.30 Pada persamaan energi yang mengandung $\vec{S}_i$ dalam penjumlahan di atas dapat dipandang sebagai energi interaksi antara medan magnet efektif $\vec{B}_{i,\text{eff}}$ oleh tetangganya pada momen magnetik yang berspin $\vec{S}_i$ . Tentukan $\vec{B}_{i,\text{eff}}$ dan nyatakan jawaban Anda dalam $J$, rasio gyromagnetik $\gamma$, dan Spin lainnya $\vec{S}_j$ (tentukan indeks $j$ dalam kaitannya dengan $i$)

B2  ^0.30 Dengan menggunakan konsep medan magnet efektif di atas, nyatakan laju perubahan vektor spin ke $i$, $d\vec{S}_i/dt$, dalam $J, \vec{S}_i$, dan spin lainnya $\vec{S}_j$ (tentukan indeks $j$ dalam kaitannya dengan $i$).

Untuk sisa Bagian B, asumsikan bahwa sistem sangat termagnetisasi sepanjang arah $z$, sehingga kita dapat menggunakan pendekatan $S_{i,z}\approx S$ dan $dS_{i,z}/dt\approx0$ untuk setiap spin, sementara spin $S_{i,x}$dan $S_{i,y}$ kecil, lihat Gambar B.2. Dengan aproksimasi ini, diperoleh himpunan persamaan yang menggambarkan evolusi waktu spin $S_{i,x}$dan $S_{i,y}$ yang membentuk solusi gelombang berjalan yang dicirikan oleh vektor bilangan gelombang $k$ dan frekuensi sudut $\omega$.

B3  ^2.00

Tentukan hubungan antara $\omega$ dan $k$ (dikenal sebagai hubungan dispersi, $\omega(k)$) untuk gelombang spin dalam $J, S$ dan $a$.

Petunjuk: nyatakan posisi spin ke- $i$ sebagai $x=a\cdot i$.

Gelombang spin yang dijelaskan di atas membawa energi dan momentum. Pada energi rendah, hubungan antara energi dan momentumnya menyerupai partikel klasik masif dengan massa efektif $m_\text{eff }$, sebuah konsep yang dikenal sebagai partikel semu (quasi-particle).

B4  ^0.60 Untuk $k$ kecil ($k\ll1/a$), cari massa efektif $m_\text{eff}$ dari gelombang spin. Nyatakan jawaban Anda dalam $J, S, a$ dan konstanta fundamental lainnya.

Gelombang spin dapat diselidiki secara eksperimental dengan menggunakan hamburan neutron. Meskipun neutron tidak memiliki muatan total, neutron memiliki spin, sehingga memungkinkan mereka untuk berinteraksi dengan spin lainnya.

B5  ^1.30 Anggaplah bahwa pada awalnya, semua spin dalam rantai mengarah ke arah $z$. Sebuah neutron dengan energi rendah bergerak pada bidang $x-y$ membuat sudut datang $\theta_{in}$ dengan rantai dan terhambur dengan sudut $\theta_{out}$ seperti yang ditunjukkan pada Gambar B.3. Dengan mengasumsikan neutron tersebut mengeksitasi satu gelombang spin vektor dengan nilai bilangan gelombang kecil, tentukan massa efektif $m_\text{eff}$ dari gelombang spin, nyatakan dalam $\theta_\text{in}, \theta_\text{out}$ dan massa neutron $m_n$. Asumsikan bahwa posisi rantai tidak berubah.

Bagian C. Transisi fase dalam rantai spin (4,3 pts)

Selanjutnya kita pertimbangkan rantai yang sama yang terbuat dari $N$ spin dari Bagian B, namun vektor spin sekarang dibatasi untuk mengarah ke atas atau ke bawah di sepanjang sumbu $z$, sehingga komponen spin di sepanjang $z$ dapat dituliskan sebagai $S_{i,z} = s_i S$, di mana $s_i=\pm 1$, lihat Gambar C.1. Selain interaksi tetangga terdekat, kita dapat memiliki medan magnet eksternal yang mengarah sepanjang sumbu $z$ sehingga energi total sistem diberikan oleh

$$E=-\tilde{J}\sum_{i} s_i s_{i+1} - h \sum_{i} s_i.$$

Kita asumsikan $\tilde{J}\geq0$, dan $h$ adalah konstanta yang bergantung pada medan magnet. Sistem spin berada pada kesetimbangan termal pada suhu $T$. Abaikan ujung rantai.

C1  ^0.50 Asumsikan terlebih dahulu bahwa $\tilde{J}=0$, berapakah rasio antara probabilitas untuk menemukan spin sembarang yang sejajar dengan medan magnet $p_\uparrow$ dan yang berlawanan dengan medan magnet $p_\downarrow$? Nyatakan $p_\uparrow/p_\downarrow$ dalam $h$, $T$ dan konstanta fundamental.

C2  ^1.00 Tentukan polarisasi rata-rata sistem $\bar{s}\equiv\frac{1}{N} \sum_i s_i$ untuk $N\gg 1$, nyatakan dalam $h$, $T$ dan konstanta fundamental. Jika medan magnet $h$ dapat berkisar dari $-h_0$ ke $h_0$, buatlah sketsa $\bar{s}$ sebagai fungsi dari $h$ untuk kasus-kasus $h_o\gg k_BT$, $h_o\approx k_BT$ dan $h_o\ll k_BT$.

Pada pertanyaan yang tersisa, kita matikan medan magnet, jadi $h=0$, dan atur $\tilde{J}>0$.

C3  ^0.20 Berapakah energi $E_g$ dari keadaan dasar (keadaan energi terendah)? Nyatakan jawaban Anda dalam bentuk $\tilde{J}$ dan $N$.

Alih-alih mempertimbangkan interaksi antara setiap spin dan tetangganya, kita asumsikan bahwa setiap spin merasakan polarisasi rata-rata $\bar{s}$ dari tetangga terdekatnya.

C4  ^0.20 Perkirakan energi sistem sebagai jumlah dari tiap spin
$$E=-\tilde{J}_{\text{eff}} \sum_{i} s_i$$dan ekspresikan $\tilde{J}_{\text{eff}}$ dalam bentuk $\tilde{J}$ dan $\bar{s}$.

C5  ^1.20 Dengan menggunakan hasil yang diperoleh dari C.2, tentukan persamaan yang harus dipenuhi oleh polarisasi rata-rata $\bar{s}$. Jumlah solusi untuk persamaan ini bergantung pada $T$. Tentukan suhu kritis $T_c$ di mana jumlah solusi untuk $\bar{s}$ berubah. Nyatakan jawaban Anda dalam bentuk $\tilde{J}$ dan konstanta fundamental.

C6  ^1.00 Tentukan semua nilai yang mungkin dari $\bar{s}$ jika $T<T_c$, dimana $T_c-T\ll T_c$. Nyatakan jawaban Anda dalam bentuk $T$ dan $T_c$. Buatlah sketsa semua nilai yang mungkin dari $\bar{s}$ untuk suhu $T$ dalam rentang $0\leq T\leq 2 T_c$.

C7  ^0.20 Fase magnetik materi apa yang berhubungan dengan $T>T_c$? Bagaimana jika $T<T_c$? Pilih antara paramagnetik atau feromagnetik.