Giriş

Klasik fizikte, açısal momentum bir nesnenin bir eksen etrafındaki hareketinden kaynaklanır - ister dönen bir topaç, ister dönen bir gezegen, isterse atomdaki yörüngede dönen bir elektron olsun. Ancak, kuantum fiziğinde, temel parçacıklar spin adı verilen içsel ve kuantize edilmiş bir açısal momentum biçimine sahiptir. Bu özellik, manyetizma gibi malzeme özelliklerinden kuantum hesaplama gibi modern uygulamalara kadar çeşitli fiziksel olgularda önemli bir rol oynar.

Bu problemde spini klasik olarak ele alacağız, bu da niteliksel olarak doğru bazı sonuçlara yol açacaktır. Spin-spin etkileşimleri, manyetik alanlar altında evrim ve istatistiksel fizik yoluyla spin sistemlerinin fiziğini keşfederek mıknatıslardaki spin dalgalarının ve faz geçişlerinin ortaya çıkışını anlayacaksınız.

Yararlı bilgiler:

$\cosh(x)\equiv \frac{e^x+e^{-x}}{2} $, $\sinh(x)\equiv \frac{e^x-e^{-x}}{2}$, $\tanh(x)\equiv \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \approx x-\frac{1}{3}x^3$ for $|x|\ll1$

$\vec{\mu}$ magnetik dipol momentinin, kendisinden $\vec{r}$ kadar uzaklıkta oluşturduğu magnetik alan şu şekilde verilir:

$$\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\pi} \left(\frac{3(\vec{\mu}\cdot\vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right)$$

Part A. Manyetik dipollerin presesyonu ve etkileşimleri (1.2 points)

Yarıçapı $R$ olan, toplam kütlesi $M$ olan ve düzgün dağılmış yükü $Q>0$ olan bir halka düşünün. Halka, kütle merkezinden geçen dik bir eksen etrafında $\omega$ açısal hızıyla döner.

A1  ^0.30 Halkanın manyetik momentini $\vec{\mu}$açısal momentumu $\vec{L}$ cinsinden $\vec{\mu}=\gamma \vec{L}$ şeklinde yazmak mümkündür. Bu sistemin jiromagnetik (gyromagnetic ratio) oranı olarak adlandırılan sabit $\gamma$'yi $Q$ve$M$ cinsinden bulun.

Halka $\vec{B}=B\hat{z}$ zayıf magnetik alanı içerisinde ve $\vec{\omega}$ile $\theta$ açısı yapacak şekilde bulunmaktadır, Şekil A.1'e bakınız.

A2  ^0.40 Spin precessionunun Larmor açısal frekansı $\omega_L$ için $B$ ve $\gamma$terimleri cinsinden bir ifade bulun. Pozitif yönü $+z$'ye göre saat yönünün tersine olacak şekilde alın.

Şimdi dış manyetik alanı kapatıyoruz ve orijinal halkadan yatay olarak $d\gg R$ uzaklıkta, yeni halkanın manyetik momenti $\vec{\mu}_2$ ile $\vec{\mu}_1$
arasında θ açısı yapacak şekilde özdeş bir halka yerleştiriyoruz, bkz. Şekil A.2.

A3  ^0.50 İki halka arasındaki manyetik etkileşim enerjisi $U=J_0 \vec{L}_1\cdot \vec{L}_2$

olarak yazılabilir, burada $J_0$ bir sabittir ve $\vec{L}_i$'inci halkanın açısal momentumudur. $J_0$'ı $\gamma, d$, ve temel sabitler açısından bulun.

Part B. Spin Dalgaları (4.5 points)

Aşağıda spinlerin dinamiklerini araştırıyoruz. Bir spin, içsel açısal momentumu $\vec{S}$ olan bir parçacıktır ve bu parçacık, Part A.1'de olduğu gibi jiromagnetik oran üzerinden $\vec{S}$ ile ilişkili bir manyetik momente $\vec{\mu}$ sahiptir, $\vec{\mu}=\gamma \vec{S}$ .

İki spinin manyetik dipolleri birbirleriyle etkileşime girer. Ancak bu etkileşim, klasik sistemlerde bulunmayan kuantum mekanik kökenli başka bir etkileşime kıyasla ihmal edilebilir düzeydedir. İlginç bir şekilde, bu kuantum etkileşimiyle ilişkili enerji, Part A.3'de bulduğumuzla aynı forma sahiptir ve $\vec{S}_1\cdot \vec{S}_2$
ile ölçeklenir, ancak ters işaretlidir.

Şimdi çok uzun bir spin zincirine bakacağız. Spinlerin konumları $x$
ekseni boyunca sabittir ve bunları ayıran bir mesafe $a$
vardır, bkz. Şekil B.1. Sistemin toplam enerjisini yalnızca en yakın komşular arasındaki etkileşimleri dikkate alarak yaklaşık olarak hesaplayacağız, böylece enerji şu şekilde yazılabilir:

$$E=-J \sum_i \vec{S}_i\cdot \vec{S}_{i+1}$$

burada $J>0$ etkileşim kuvvetidir ve $\vec{S}_i$'inci dipolün spin açısal momentum vektörüdür, büyüklüğü $S$'dir. Spin vektörleri üç boyutta serbestçe dönebilir. Enerjinin işaretinin son kısımdan farklı olduğuna dikkat edin. Bu etkileşim tamamen kuantum mekaniktir.

B1  ^0.30 $i$'inci spin $\vec{S}_i$ i tarafından hissedilen etkin manyetik alan $\vec{B}_{i,\text{eff}}$

nedir? Cevabınızı $J$, jiromanyetik oran $\gamma$ ve diğer spinler $\vec{S}_j$

($i$'ye göre $j$ endekslerini belirtin) açısından ifade edin.

B2  ^0.30 Etkili manyetik alan kavramını kullanarak, $i$'inci spin vektörünün, $d\vec{S}_i/dt$, değişim oranını $J, \vec{S}_i$ ve diğer spinler $\vec{S}_j$ ($i$'ye göre $j$ endekslerini belirtin) cinsinden ifade edin.

Part B'nin geri kalanı için, sistemin $z$ yönünde oldukça mıknatıslanmış olduğunu varsayalım, böylece her spin için $S_{i,z}\approx S$ ve $dS_{i,z}/dt\approx0$ yaklaşımlarını kullanabiliriz, bkz. Şekil B.2. Bu rejimde, spin zaman evrimini tanımlayan denklemler kümesi, $k$ dalga vektörü ve $\omega$ açısal frekansı ile karakterize edilen $S_{i,x}$
ve $S_{i,y}$ için bir ilerleyen dalga çözümü ile karşılanır.

B3  ^2.00 Spin dalgaları için $\omega$ ve $k$ arasındaki ilişkiyi (dağılım (dispersion) ilişkisi, $\omega(k)$ olarak bilinir) $J, S$ ve $a$cinsinden bulun.

İpucu: $i$'inci spinin konumunu $x=a\cdot i$ olarak ifade edin.

Yukarıda tanımlanan spin dalgası enerji ve momentum taşır. Düşük enerjilerde bu davranış, efektif kütleye sahip büyük klasik bir parçacığın davranışına benzemektedir; bu kavram, kuazi-parçacık olarak bilinir.

B4  ^0.60 Küçük $k$ ($k\ll1/a$)'ler için spin dalgasının efektif kütlesi $m_\text{eff}$'i bulunuz. Cevabınızı $J, S, a$ ve temel sabitler cinsinden ifade ediniz.

Spin dalgaları, inelastic nötron saçılması kullanılarak deneysel olarak ölçülebilir. Nötronların sıfır net yükü olmasına rağmen, sonlu spinleri vardır böylece diğer spinlerle etkileşebilirler.

B5  ^1.30 İlk başta spin zincirinin $z$ yönünde tamamen manyetize olduğunu varsayınız. $x-y$ düzleminde hareket eden düşük enerjili bir nötron, zincirle $\theta_{in}$ açısı yaparak gelip $\theta_{out}$ açısı yaparak Şekil B.3'te gösterildiği gibi saçılmaktadır. Nötronun bir tane düşük dalga vektörlü spin dalgasını etkilediğini varsayarak spin dalgasının efektif kütlesi $m_\text{eff}$'i $\theta_\text{in}, \theta_\text{out}$ ve nötronun kütlesi $m_n$ cinsinden bulunuz.

Part C. Spin zincirlerinde faz geçişleri

Şimdi, Part B'deki $N$ spinden oluşan zinciri ele alıyoruz ancak burada spin vektörleri $z$ eksenine göre sadece yukarı veya aşağı yönde bulunacak şekilde kısıtlanmıştır öyle ki $z$ yönündeki spin vektörü $S_{i,z} = s_i S$ şeklinde yazılabilir, burada $s_i=\pm 1$'dir (bkz. Şekil C.1.). En yakın komşu etkileşimlerine ek olarak $z$ ekseni yönüne bakan dış bir manyetik alan da bulunabilir, böylece sistemin toplam enerjisi şu şekilde verilir

$$E=-\tilde{J}\sum_{i} s_i s_{i+1} - h \sum_{i} s_i.$$

$\tilde{J}\geq0$ ve $h$'nin manyetik alana bağlı bir sabit olduğunu varsayıyoruz. Bu spin sistemi $T$ sıcaklığındaki bir ısı banyosuyla dengededir. Zincirin uçlarını ihmal ediniz.

C1  ^0.50 İlk olarak $\tilde{J}=0$ varsınız, herhangi bir spinin manyetik alanla aynı yönde bulunma olasılığı $p_\uparrow$'nin manyetik alana zıt yönde bulunma olsaılığı $p_\downarrow$'na oranı nedir? $p_\uparrow/p_\downarrow$ cevabınızı $h$, $T$ ve temel sabitler cinsinden veriniz.

C2  ^1.00 $h$, $T$ ve temel sabitler cinsinden $N\gg 1$ için sistemin ortalama polarizasyonu $\bar{s}\equiv\frac{1}{N} \sum_i s_i$'i bulunuz. Manyetik alan $h$, $-h_0$ ile $h_0$ aralığında olabiliyorsa $\bar{s}$'i $h$'nin fonksiyonu olarak $h_o\gg k_BT$, $h_o\approx k_BT$ ve $h_o\ll k_BT$ durumları için çiziniz.

Şimdi manyetik alanı kapatıyoruz, yani $h=0$, ve $\tilde{J}>0$ alıyoruz.

C3  ^0.20 Temel enerji seviyesi $E_g$, minimum enerji seviyesi nedir? Cevabınızı $\tilde{J}$ ve $N$ cinsinden veriniz.

Tüm spinler arasındaki ve komşularındaki etkileşimleri düşünmektense her bir spinin en yakın komşularının ortalama polarizasyonunun $\bar{s}$ olarak göreceğini varsayabiliriz.

C4  ^0.20 Tüm spinler üzerinden toplam alarak sistemin enerjisini yaklaşık olarak bulunuz.
$$E=-\tilde{J}_{\text{eff}} \sum_{i} s_i$$ve $\tilde{J}_{\text{eff}}$'i $\tilde{J}$ ve $\bar{s}$ cinsinden ifade ediniz.

C5  ^1.20 C.2'deki sonucunuzu kullanarak ortalama polarizasyon $\bar{s}$'in sağlaması gereken şart için bir denklem bulunuz. Bu denklemin çözüm sayısı $T$'ye bağlıdır. Çözüm sayısının değişeceği kritik sıcaklık $T_c$'yi bulunuz. Cevabınızı $\tilde{J}$ ve temel sabitler cinsinden veriniz.

C6  ^1.00 $T<T_c$ iken ve $T_c-T\ll T_c$ iken $\bar{s}$'nin alabileceği tüm değerleri bulunuz. Cevabınızı $T$ ve $T_c$ cinsinden veriniz. $\bar{s}(T)$'yi $0\leq T\leq 2 T_c$ aralıklarında çiziniz.

C7  ^0.20 $T>T_c$ hangi manyetik faza tekabül etmektedir? $T<T_c$ hangi faza tekabül etmektedir? Paramanyetik ve ferromanyetik arasından seçiniz.