บทนำ

ในฟิสิกส์แบบคลาสสิก (classical physics) โมเมนตัมเชิงมุมเกิดจากการเคลื่อนที่ของวัตถุรอบแกน. ไม่ว่าจะเป็นลูกข่างหมุน, ดาวเคราะห์ที่หมุน, หรืออิเล็กตรอนที่โคจรอยู่ในอะตอม. อย่างไรก็ตาม ในฟิสิกส์ควอนตัม อนุภาคมูลฐานจะมีโมเมนตัมเชิงมุมในรูปแบบควอนตัมที่เรียกว่า สปิน (spin). คุณสมบัตินี้มีบทบาทสำคัญในปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์ต่างๆ ตั้งแต่สมบัติของวัสดุ เช่น สมบัติทางแม่เหล็ก ไปจนถึงการใช้งานสมัยใหม่ เช่น การคำนวณแบบควอนตัม (quantum computing)

ในปัญหานี้ เราจะพิจารณาสปินโดยฟิสิกส์แบบคลาสสิก ซึ่งจะนำไปสู่ผลลัพธ์เชิงคุณภาพ (qualitative result) ที่ถูกต้อง. เราจะศึกษาฟิสิกส์ของระบบสปินผ่านปรากฎการณ์ต่างๆ ซึ่งคือ อันตรกิริยาระหว่างสปินและสปิน (spin-spin interaction), การเปลี่ยนแปลงของระบบภายใต้สนามแม่เหล็ก, และฟิสิกส์เชิงสถิติ เพื่อทำความเข้าใจการเกิดขึ้นของคลื่นสปิน (spin wave) และการเปลี่ยนเฟส (phase transition) ในแม่เหล็ก.

ข้อมูลที่เป็นประโยชน์ :

$\Large\cosh(x)\equiv \frac{e^x+e^{-x}}{2} $, $\Large\sinh(x)\equiv \frac{e^x-e^{-x}}{2}$, $\Large\tanh(x)\equiv \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \approx x-\frac{1}{3}x^3$ สำหรับ $\Large |x|\ll1$

กำหนดว่า $\mu_0$ เป็นสภาพซึมผ่านได้ของสูญญากาศ (magnetic permeability of a vacuum). ไดโพลแม่เหล็กที่มีโมเมนต์ $\vec{\mu}$ ที่อยู่ที่จุดกำเนิด จะให้สนามแม่เหล็ก ณ ตำแหน่ง $\vec{r}$ ซึ่งมีค่าเป็น

$$\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\pi} \left(\frac{3(\vec{\mu}\cdot\vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right)$$

ตอน A. การหมุนควงและอันตรกิริยาของไดโพลแม่เหล็ก (1.2 คะแนน)

พิจารณาวงแหวนที่มีรัศมี $R$, มีมวล $M$, และมีประจุกระจายสม่ำเสมอ $Q>0$ ซึ่งหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุม $\omega$ รอบแกนหมุนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของวงแหวนและตั้งฉากกับระนาบของวงแหวน.

A1  ^0.30 ค่าโมเมนต์แม่เหล็ก (magnetic moment) $\vec{\mu}$ สามารถเขียนในรูปของโมเมนตัมเชิงมุม $\vec{L}$ ได้เป็น $\vec{\mu}=\gamma \vec{L}$. จงหาค่า $\gamma$, ซึ่งมีชื่อว่า อัตราส่วนไจโรแมกเนติก (gyromagnetic ratio) ของวงแหวนนี้ในรูปของ $Q$ และ $M$.

ต่อมา นำวงแหวนไปวางในสนามแม่เหล็กอ่อน ๆ แบบสม่ำเสมอ $\vec{B}=B\hat{z}$ ซึ่งทำมุม $\theta$ กับทิศทางการหมุน $\vec{\omega}$ ดัง รูป A.1.

A2  ^0.40 จงหาความถี่เชิงมุม $\omega_L$ ของการหมุนควงของโมเมนตัมเชิงมุม ซึ่งความถี่นี้เป็นที่รู้จักกันในนาม ความถี่ลาร์มอร์ (Larmor frequency) ที่เกิดจากสนามแม่เหล็กภายนอก โดยตอบในรูปของ $B$ และ $\gamma$. กำหนดว่า การหมุนที่เป็นค่าบวกคือการหมุนในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาเมื่อมองจากแกน $z$ ฝั่งบวก (ทิศทาง $+z$).

ต่อมา เราปิดสนามแม่เหล็กภายนอก และวางวงแหวนแบบเดียวกันที่ระยะทาง $d\gg R$ จากวงแหวนแรกที่วาง ณ​ จุดกำเนิด โดยให้โมเมนต์แม่เหล็กของวงแหวนที่สองนี้ซึ่งแทนด้วย $\vec{\mu}_2$ ทำมุม $\theta$ เทียบกับ $\vec{\mu}_1$ ตาม รูป A.2.

A3  ^0.50 พลังงานจากอันตรกริยา (interaction energy) ระหว่างวงแหวนสองวงสามารถเขียนเป็น $U=J_0 \,\vec{L}_1\cdot \vec{L}_2$, เมื่อ $J_0$ เป็นค่าคงตัวและ $\vec{L}_i$ เป็นโมเมนตัมเชิงมุมของวงแหวนที่ $i$. จงเขียน $J_0$ ในรูปของ $\gamma$, $​d$, และค่าคงที่ทางฟิสิกส์.

ตอน B. คลื่นของสปิน (4.5 คะแนน)

ในข้อถัดมาเราจะศึกษาพฤติกรรมของสปิน โดยให้นิยามสปินเป็นวัตถุที่มีโมเมนตัมเชิงมุมภายในตัวมันเองเป็นค่า $\vec{S}$ ซึ่งทำให้มีโมเมนต์แม่เหล็ก $\vec{\mu}$ ตามสมการใน ตอน A.1 กล่าวคือ $\vec{\mu}=\gamma \vec{S}$.

จากกลศาสตร์ควอนตัม ไดโพลโมเมนต์แม่เหล็กจากสปินสองตัวจะมีอันตรกริยา (interaction) ต่อกัน โดยมีรูปแบบคล้ายผลจาก ตอน A.3, ที่แปรผันตาม $\vec{S}_1\cdot \vec{S}_2$ เพียงแต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม.

เราจะดูสปินหลาย ๆ ตัวที่เรียงกันเป็นแถวที่ยาวมาก. กำหนดให้สปินแต่ละตัวถูกยึดไว้ตามแนวแกน $x$ โดยแต่ละตัวที่อยู่ติดกันห่างกันเป็นระยะ $a$ ตาม รูป B.1. ในการคำนวณพลังงานรวม $E$ ของระบบ เราจะพิจารณาเฉพาะอันตรกริยาระหว่างสปินที่เกิดจากสปินอื่นที่เรียงถัดกัน (nearest neighbor) ในแถวเท่านั้น ซึ่งจะได้สมการ

$$E=-J \,\sum_i \,\vec{S}_i\cdot \vec{S}_{i+1}$$

เมื่อ$J>0$ บอกถึงความแรงของอันตรกิริยา และ $\vec{S}_i$ เป็นเวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุมของสปินตัวที่ $i$ ที่มีขนาดเท่ากับ $S$. เวคเตอร์สปินนี้สามารถหมุนได้อย่างอิสระในสามมิติ. สังเกตว่า เครื่องหมายของพลังงาน $E$ นั้นแตกต่างจากพลังงาน $U$ ในตอนข้างบน. ความแตกต่างนี้เป็นผลมาจากกลศาสตร์ควอนตัมโดยแท้.

B1  ^0.30 พลังงาน $E$ ข้างต้นเป็นผลรวมที่มีพจน์ $\vec{S}_i$ ปรากฏอยู่. เราสามารถมองได้ว่า พจน์เหล่านี้คือพลังงานของอัตรกิริยาระหว่างสนามแม่เหล็กยังผล $\vec{B}_{i,\text{eff}}$ ที่สปินตัวที่ $i$ ได้รับกับโมเมนต์แม่เหล็ก $\vec{S}_i$ ของสปินนี้. จงเขียน $\vec{B}_{i,\text{eff}}$ ในรูปของ $J$, อัตราส่วนไจโรแมกเนติก $\gamma$, และสปิน $\vec{S}_j$ ตัวอื่น ๆ (ให้ระบุด้วยว่า $j$ เกี่ยวข้องกับ $i$ อย่างไร)

B2  ^0.30 ใช้แนวคิดในเรื่องของสนามแม่เหล็กยังผลเพื่อเขียนอัตราการเปลี่ยนแปลงของสปินเวกเตอร์ตัวที่ $i$ หรือ $d\vec{S}_i/dt$ ในรูปของ $J$, $\vec{S}_i$, และสปิน $\vec{S}_j$ ตัวอื่น ๆ (ให้ระบุด้วยว่า $j$ เกี่ยวข้องกับ $i$ อย่างไร).

สำหรับข้อที่เหลือใน ตอน B สมมติว่าระบบมีภาวะความเป็นแม่เหล็กสูงมากในทิศทาง $z$ เพื่อประมาณว่า $S_{i,z}\approx S$ และ $dS_{i,z}/dt\approx0$ สำหรับสปินแต่ละตัว ดัง รูป B.2. ในการประมาณนี้ ระบบสมการที่ใช้อธิบายการเปลี่ยนแปลงของสปินไปตามเวลาสำหรับ $S_{i,x}$และ $S_{i,y}$ จะมีผลเฉลยเป็นคลื่นจร (traveling wave) ที่มีเลขคลื่น $k$ และความถี่เชิงมุม $\omega$.

B3  ^2.00

จงหาความสัมพันธ์ระหว่าง $\omega$ และ $k$. กล่าวคือ ให้หาความสัมพันธ์การกระจาย (dispersion relation) $\omega(k)$ สำหรับคลื่นสปิน. ให้ตอบในรูปของ $J$, $S$, และ $a$.

คำแนะนำ: เขียนตำแหน่งของสปินตัวที่ $i$ เป็น $x=a\cdot i$.

คลื่นสปินที่ได้ในข้อข้างบนนั้นมีทั้งพลังงานและโมเมนตัม. ที่ระดับพลังงานต่ำ ๆ ความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานและโมเมนตัมจะเป็นไปตามกลศาสตร์แบบนิวตัน เสมือนว่าคลื่นดังกล่าวเป็นอนุภาคที่มีมวลที่เรียกว่า อนุภาคเสมือน (quasi-particle) ซึ่งมีมวลยังผลเป็น $m_{\text{eff}}$.

B4  ^0.60 สำหรับค่า $k$ น้อย ๆ ($k\ll1/a$) จงหามวลยังผล $m_\text{eff}$ ของคลื่นสปิน. ให้เขียนคำตอบในรูปของ $J$, $S$, $a$, และค่าคงตัวทางฟิสิกส์

เราสามารถทำการทดลองเพื่อวัดคลื่นสปินได้จากการกระเจิงแบบไม่ยืดหยุ่นของนิวตรอน ( inelastic neutron scattering). แม้ว่านิวตรอนจะไม่มีประจุ แต่มันมีสปินซึ่งทำให้เกิดอัตรกิริยากับสปินตัวอื่น ๆ ได้.

B5  ^1.30 กำหนดให้สปินทั้งหมดในแถวชี้ไปทิศทาง $z$. มีนิวตรอนพลังงานต่ำตัวหนึ่งเดินทางมาตามระนาบ $x$- $y$โดยนิวตรอนนี้ทำมุมตกกระทบ (incident angle) $\theta_\text{in}$ กับแถวสปินและกระเจิงไปด้วยมุม $\theta_\text{out}$ ดัง รูป B.3. สมมติว่า นิวตรอนนี้กระตุ้นให้เกิดคลื่นสปินที่มีเลขคลื่นน้อย ๆ ค่าหนึ่ง. จงหามวลยังผล $m_\text{eff}$ ของคลื่นสปิน. ให้ตอบในรูปของ $\theta_\text{in}$, $\theta_\text{out}$, และมวลของนิวตรอน $m_n$. กำหนดให้แถวสปินอยู่นิ่งกับที่ตลอดการกระเจิง.

ตอน C. การเปลี่ยนเฟส (phase transition) ของแถวสปิน (4.3 คะแนน)

พิจารณาแถวของสปิน $N$ ตัวจาก ตอน B แต่กำหนดให้ทิศทางเวกเตอร์ของสปินสามารถมีค่าแค่สองทิศคือ ชี้ขึ้นหรือชี้ลงตามแนวแกน $z$ ดัง รูป C.1. ดังนั้น ค่าสปินตามแนว $z$ สามารถเขียนได้เป็น $S_{i,z} = s_i S$ เมื่อ $s_i=\pm 1$. นอกเหนือไปจากอันตรกิริยาระหว่างสปินตัวที่ติดกัน ( nearest neighbor interaction) เราสามารถเพิ่มสนามแม่เหล็กภายนอกที่มีทิศทางตามแกน $z$ ทำให้พลังงานรวม $E$ เป็นไปตามสมการ

$$E=-\tilde{J}\,\sum_{i}\, s_i s_{i+1} - h\, \sum_{i}\, s_i.$$

กำหนดให้ $\tilde{J}\geq0$ และ $h$ เป็นค่าคงตัวที่ขึ้นกับสนามแม่เหล็ก. ให้ระบบสปินนี้อยู่ในสมดุลความร้อนที่อุณหภูมิ $T$. ไม่ต้องคำนึงถึงตำแหน่งปลายของแถวสปิน.

C1  ^0.50 เบื้องต้น กำหนดให้ $\tilde{J}=0$. จงหาอัตราส่วนระหว่าง ความน่าจะเป็นที่สปินจะชี้ขึ้นไปตามทิศทางสนามแม่เหล็ก $p_\uparrow$ ต่อความน่าจะเป็นที่สปินจะชี้ลง $p_\downarrow$ (ซึ่งชี้จะสวนทางกับสนามแม่เหล็ก). ให้เขียน $p_\uparrow/p_\downarrow$ ในรูปของ $h$, $T$, และค่าคงตัวทางฟิสิกส์.

C2  ^1.00 จงหาค่าเฉลี่ยของโพลาไรเซชั่นของระบบ $\bar{s}\equiv\frac{1}{N} \sum_i s_i$ สำหรับ $N\gg 1$. ให้ตอบในรูปของ $h$, $T$, และค่าคงตัวทางฟิสิกส์. ในกรณีที่เราสามารถเปลี่ยนค่าสนามแม่เหล็ก $h$ จาก $-h_0$ ไป $h_0$ ให้สเก็ตช์กราฟของ $\bar{s}$ ให้เป็นฟังก์ชันของ $h$ สำหรับกรณีที่
 


- $h_o\gg k_BT$,


 


- $h_o\approx k_BT$ , และ


 


- $h_o\ll k_BT$.

สำหรับคำถามส่วนที่เหลือ เราจะปิดสนามแม่เหล็ก. นั่นคือ $h=0$. นอกจากนี้ กำหนดว่า $\tilde{J}>0$.

C3  ^0.20 พลังงานของสภาวะพื้น (ground state energy) $E_g$ ซึ่งเป็นพลังงานที่ตำ่ที่สุดที่เป็นไปได้ของระบบนี้มีค่าเท่าใด. ให้ตอบในรูปของ $\tilde{J}$ และ $N$.

จากนี้ไป ให้สมมติว่า สปินทุกตัวรับรู้ถึงโพลาไรเซชั่นของสปินตัวอื่นแต่ละตัวที่อยู่ถัดกันเป็น $\bar{s}$ ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยของระบบ.

C4  ^0.20 ให้ประมาณพลังงาน $E$ ของระบบโดยการรวมพลังงานของสปินทุกตัว. กล่าวคือ
$$E=-\tilde{J}_{\text{eff}} \sum_{i} s_i.$$จงเขียน $\tilde{J}_{\text{eff}}$ในรูปของ $\tilde{J}$ และ $\bar{s}$.

C5  ^1.20

ใช้ผลจากข้อ C.2 เพื่อหาสมการที่ใช้หาค่าของ $\bar{s}$. จำนวนของคำตอบของสมการดังกล่าวจะขึ้นกับค่าของ $T$.

นอกจากนี้ จงหาอุณหภูมิวิกฤต $T_c$ ที่ทำให้จำนวนของคำตอบเปลี่ยนไป. ให้เขียนคำตอบในรูปของ $\tilde{J}$ และค่าคงตัวทางฟิสิกส์.

C6  ^1.00 จงหาค่า $\bar{s}$ ทุกค่าที่เป็นไปได้ในกรณีต่อไปนี้
 


- $T<T_c$ และ


 


- $T_c-T\ll T_c$.


ให้เขียนคำตอบในรูปของ $T$ และ $T_c$. นอกจากนี้ จงสเก็ตช์กราฟของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $\bar{s}$ สำหรับแต่ละอุณหภูมิ $T$ ในช่วง $0\leq T\leq 2 T_c$.

C7  ^0.20 เฟสแม่เหล็กของสสารเมื่อ $T>T_c$ เป็นอย่างไร และเฟสเมื่อ $T<T_c$ เป็นอย่างไร. เลือกคำตอบเป็น
 


- พาราแมกเนติก (paramagnetic) หรือ


 


- แฟร์โรแมกเนติก (ferromagnetic).