Giriş

Klassiki fizikada, impulsyň momenti (angular momentum) jisimiň okuň töwereginde aýlanmagy netijesinde döreýär: meselem pyrlanýan malçok, aýlanýan planeta ýa-da atomda aýlanýan elektron. Emma, kwant mehanikasynda, fundamental bölejikler spin diýlip atlandyrylýan impulsyň momentiniň tebigy (intrinsic) we kwantlanan görnüşine eýedirler. Bu häsiýet magnetizmden başlap, kwant kompýuterleri ýaly dürli fiziki hadysalarda möhüm rol oýnaýar.

Bu meselede biz spine klassiki tarapdan seredip, hil taýdan dogry bolan käbir netijelere geleris. Siz spin-spin täsirleşmesi, onuň magnit meýdanyndaky ewolusiýasy arkaly spin sistemalarynyň fizikasyny öwrenersiňiz we spin sistemasynyň ýüze çykmagyna, magnitlerdäki faza geçişlerine düşünmek üçin statistiki fizikany öwrenersiňiz.

Peýdaly maglumatlar:

$\cosh(x)\equiv \frac{e^x+e^{-x}}{2} $ ,$\sinh(x)\equiv \frac{e^x-e^{-x}}{2}$ ,$\tanh(x)\equiv \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \approx x-\frac{1}{3}x^3$ üçin$|x|\ll1$

$\vec{\mu}$ magnit dipolynyň ondan $\vec{r}$ uzaklykdaky nokatda döredýän magnit meýdany ($\mu_0$ magnit hemişeligi):

$$\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\pi} \left(\frac{3(\vec{\mu}\cdot\vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right)$$

Bölüm A. Magnit dipollaryň presessiýasy we özara täsirleri (1,2 bal)

Radiusy $R$, massasy $M$, zarýady $Q>0$ deňölçegli paýlanan halkany göz öňüne getiriň. Halka massa merkezinden geçýän perpendikulýar ok bounça $\omega$ burç tizligi bilen aýlanýar.

A1  ^0.30 Halkanyň $\vec{\mu}$ magnit momentini onuň $\vec{L}$ impulsynyň momenti arkaly şeýle ýazmak mümkin: $\vec{\mu}=\gamma \vec{L}$. Giromagnit gatnaşygy diýlip atlandyrylýan $\gamma$ hemişeligi, $Q$ we $M$ arkaly aňladyň.

Halka birhilli, gowşak $\vec{B}=B\hat{z}$ magnit meýdanynda $\vec{\omega}$ bilen $\theta$ burç emele getirer ýaly şekilde goýuldy, A.1 surata serediň.

A2  ^0.40 Daşky magnit meýdany netijesinde ýüze çykýan impulsyň momentiniň presessiýasynyň $\omega_L$ burç tizligini (oňa Larmor ýygylygy hem diýilýär) $B$ we $\gamma$ arkaly tapyň. $+z$-e görä sagat diliniň tersine ugry položitel diýip alyň.

Indi bolsa, daşky magnit meýdanyny öçürýäris we halkadan gorizontal $d\gg R$ uzaklykda başga birmeňzeş halka goýýarys, netijede täze halkanyň $\vec{\mu}_2$ magnit momenti $\vec{\mu}_1$ bilen $\theta$ burç emele getirýär, A.2 surata seret.

A3  ^0.50 Iki halkanyň arasyndaky täsirleşme energiýasyny şeýle ýazmak mümkin: $U = J_0 \vec{L}_1 \cdot \vec{L}_2$, bu ýerde $J_0$ hemişelik, $\vec{L}_i$ bolsa $i$-nji halkanyň impulsynyň momenti. $J_0$-y $\gamma$, $d$ we fundamental hemişelikler arkaly aňladyň.

Bölüm B. Spin tolkunlary (4,5 bal)

Aşakda spinleriň dinamikasy öwreniler. Spin - bu tebigy impulsynyň momenti $\vec{S}$ bolan bölejikdir, A.1-de tapylyşy ýaly, onuň $\vec{\mu}$ magnit momenti $\vec{S}$ bilen giromagnit gatnaşyk arkaly baglanyşýar: $\vec{\mu} = \gamma \vec{S}$.

Iki spiniň magnit dipollary biri-birleri bilen täsirleşýärler. Emma bu täsirleşme asly kwant mehanikasyndan gelýän täsirleşmä garaňda ujypsyzdyr, kwant mehaniki täsirleşmäniň klassiki sistemalarda meňzeşi (analogy) ýokdur. Täsin ýeri, bu kwant täsirleşme energiýasynyň görnüşi A.3-de tapylan bilen meňzeşdir, alamaty ters bosa-da, $\vec{S}_1 \cdot \vec{S}_2$-ä baglydyr.

Indi bolsa biz spinleriň örän uzyn zynjyryna serederis. Spinleriň orunlary (pozisiýalary) $x$ ok boýunça berkidilen, aralary $a$ uzaklyk bilen bölünen, B.1 surata seret. Biz sistemanyň energiýasyny diňe iň ýakyn goňşular täsirleşýär diýip hasaplarys, onda sistemanyň energiýasyny şeýle ýazyp bolýar

$$E=-J \sum_i \vec{S}_i\cdot \vec{S}_{i+1}$$

bu ýerde$J>0$ täsirleşme güýjenmesi, $\vec{S}_i$ bolsa $i$-nji spin wektory, san bahasy $S$. Spin wektorlary üç ugur boýunça hem erkin aýlanyp bilýärler. Energiýanyň alamaty soňky ýumuşdan tapawutlydygyna üns beriň. Täsirleşmeler arassa kwant mehanikidir.

B1  ^0.30 Özünde $\vec{S}_i$ saklaýan ýokardaky jemiň energiýa agzalary, $\vec{B}_{i,\text{eff}}$ effektiw magnit meýdany bilen $\vec{S}_i$-niň magnit momentiniň täsirleşme energiýasy hökmünde seredilip biliner. $\vec{B}_{i,\text{eff}}$-i tapyň we jogabyňyzy $J$, $\gamma$ giromagnit hemişeligi, we beýleki $\vec{S}_j$ spinleriň käbiri arkaly aňladyň ($j$ indeksi $i$ bilen baglanyşdyryň).

B2  ^0.30 Effektiw magnit meýdany düşünjesini peýdalanyp, $d\vec{S}_i/dt$-ni, $i$-nji spin wektorynyň üýtgeme tizligini $J, \vec{S}_i$ we beýleki $\vec{S}_j$ spinleriň käbirleriniň üsti bilen aňladyň ($j$ indeksi $i$ bilen baglanyşdyryň).

B Bölümiň galan bölegi üçin, sistema $z$ ugurda güýçli magnitlenen, netijede biz her spin üçin $S_{i,z}\approx S$ we $dS_{i,z}/dt\approx0$ ýakynlaşmalary ulanyp bileris, B.2 surata serediň. Bu režimde, $S_{i,x}$ we $S_{i,y}$ spinleriň wagt boýunça üýtgeýişini beýan edýän deňlemeler sistemasyny tolkun deňlemesiniň çözüwi kanagatlandyrýar, ony $k$ tolkun wektory we $\omega$ burç ýygylygy arkaly häsiýetlendirilýär.

B3  ^2.00

Spin tolkunlar üçin ($\omega(k)$ dispersion gatnaşyk ady bilen belli bolan) $\omega$ we $k$-nyň arasyndaky baglanyşygy $J, S$ we $a$ arkaly tapyň.

Maslahat : $i$-nji spiniň orny şeýle aňladylýar: $x=a\cdot i$.

Ýokarda beýan edilen spin tolkunyň energiýasy we impulsy bar. Kiçi energiýalarda onuň energiýasy bilen impulsynyň arasyndaky baglanyşyk massasy $m_\text{eff }$ bolan klassiki bölejigiňkä meňzeýär, bu düşünje kwazi-bölejik hökmünde bellidir.

B4  ^0.60 Kiçi $k$ üçin ($k\ll1/a$), spin tolkunynyň $m_\text{eff}$ effektiw massasyny tapyň. Jogabyňyzy $J, S, a$ we fundamental hemişelikler arkaly aňladyň.

Maýyşgak däl neýtron pytramasyny ulanyp spin tolkunlaryny eksperimental barlap bileris. Umumy zarýady nol bolsa hem neýtronlaryň spini bardyr, bu bolsa olaryň beýleki spinler bilen täsileşmelerine mümkinçilik berýär.

B5  ^1.30 Ilkibaşda zynjyrdaky ähli spinler $z$ ugra gönükdirilen diýip hasap ediň. Pes energiýaly neýtron $x-y$ tekizlikde zynjyr bilen $\theta_{in}$ düşme burç ýasap hereket edýär we $\theta_{out}$ burç bilen dargatýar (döwülýär), B.3-nji suratda görkezilişi ýaly. Neýtron ýekeje pes tolkun wektorly spin tolkunyny oýandyrýar diýip hasap edip, spin tolkunynyň $m_\text{eff}$ effektiw massasyny $\theta_\text{in}, \theta_\text{out}$ we $m_n$ neýtronyň massasy arkaly tapyň. Zynjyr hereketsiz galýar diýip hasap ediň.

Bölüm C. Spin zynjyrlarynda faza geçişleri (4.3 bal)

B Bölümdäki ýaly $N$ sany spinden ýasalan zynjyry göz öňüne getiriň, ýöne indi geçenkiden tapawutly ýeri, spin wektorlary diňe $z$ ok boýunça ýa aşak ýa-da ýokaryk bolup bilýär, netijede spiniň $z$ boýunça düzüjisi şeýle ýazylyp biliner: $S_{i,z} = s_i S$, bu ýerde $s_i=\pm 1$, C.1 surata serediň. Iň ýakyn goňşular bilen täsirleşmeden başga-da, $z$ ok boýunça ugrukdyrylan magnit meýdany hem bolup bilýär, şeýlelikde sistemanyň doly energiýasy şu görnüşe eýe bolýar:

$$E=-\tilde{J}\sum_i s_i s_{i+1} - h \sum_i s_i.$$

Biz $\tilde{J}\geq0$ diýip hasap edýäris, we $h$ magnit meýdanyna bagly hemişelik. Spin sistemasy $T$ temperaturaly ýylylyk wannasy bilen deňagramlylykda. Zynjyryň gyralaryna ähmiýet bermäň.

C1  ^0.50 Ilki bilen $\tilde{J}=0$ diýip kabul ediň, magnit meýdanynyň ugruna ugrukdyrylan spini tapmaklygyň $p_\uparrow$ ählimallygynyň onuň garşysyna ugrukdyrylan spini tapmaklygyň $p_\downarrow$ ähtimallygyna bolan gatnaşygy näme? $p_\uparrow/p_\downarrow$ gatbaşygy $h$, $T$ we fundamental hemişelikler arkaly aňladyň.

C2  ^1.00 $N\gg 1$ ýagdaý üçin sistemanyň ortaça $\bar{s}\equiv\frac{1}{N} \sum_i s_i$ polýarlaşmasyny $h$, $T$ we fundamental hemişelikler arkaly aňladyň. Eger $h$ magnit hemişeligi $-h_0$ we $h_0$ aralykda bolup bilýän bolsa, $\bar{s}$-iň $h$-a baglylyk grafigini $h_o\gg k_BT$, $h_o\approx k_BT$ we$h_o\ll k_BT$ ýagdaýlar üçin çyzyň.

Galan soraglarda magnit meýdanyny öçürýäris, şeýlelikde $h=0$ we $\tilde{J}>0$ bolar ýaly edýäris.

C3  ^0.20 Esasy halda (iň pes energiýa halda) $E_g$ energiýa näçe? Jogabyňyzy $\tilde{J}$ we $N$ arkaly aňladyň.

Her spin bilen goňşularynyň arasyndaky özaratäsirleri göz öňünde tutmagyň deregine, her spin iň ýakyn goňşularyndan $\bar{s}$ ortaça polýarlaşma görýär diýip hasap edýäris.

C4  ^0.20 Sistemanyň energiýasy ähli spinler boýunça jeme deňdir diýip hasap ediň
$$E = - \ tilde {J} _ {\ tekst {eff}} \ sum_i s_i$$we $\tilde{J}_{\text{eff}}$-i $\tilde{J}$ we $\bar{s}$ arkaly aňladyň.

C5  ^1.20 C.2- de alan netijäňizi ulanyp, $\bar{s}$ ortaça polýarizasiýany kanagatlandyrjak deňlemäni ýazyň. Bu deňlemäniň çözüwleriniň sany $T$ baglydyr. Çözüwleriň sany üýtgeýän $T_c$ kritiki temperaturany tapyň. Jogabyňyzy $\tilde{J}$ we fundamental hemişelikler arkaly aňladyň.

C6  ^1.00 $T<T_c$ bolanda we $T_c-T\ll T_c$ bolanda $\bar{s}$-iň mümkin bolan ähli bahasyny tapyň. Jogaplaryňyzy $T$ we $T_c$ arklay aňladyň. $0\leq T\leq 2 T_c$ aralykdaky $T$ temperatura üçin $\bar{s}$-iň ähli mümkin bolan bahalary çyzyň.

C7  ^0.20 $T>T_c$ maddanyň magnit fazasynyň haýsysyna gabat gelýär?$T<T_c$ maddanyň magnit fazasynyň haýsysyna gabat gelýär? Paramagnetikmi ýa-da ferromagnetikmi.