Танилцуулга

Классик физикт ээрүүлээс авахуулаад, тэнхлэгээ тойрон эргэж буй гараг байна уу, эсвэл атом дотор эргэлдэх электрон байна уу хамаагүй, аливаа биетийн хувьд ямар нэгэн тэнхлэгийг тойрон эргэлдэх үед л импульсийн момент гэх ойлголтыг хэрэглэдэг. Гэвч квант физикт, эгэл бөөмс нь спин гэж нэрлэгддэг, квантчилагдсан, хувийн импульсын моменттой байдаг. Энэ шинж чанар нь материалын соронзон шинж чанараас эхлээд, квант тооцоолол гэх мэт орчин үеийн хэрэглээн дэх янз бүрийн физик үзэгдлүүдэд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.

Энэ бодлогод спинийн классик аргаар судлах бөгөөд энэ нь чанарын хувьд зөв үр дүнд хүргэх болно. Спин-спиний харилцан үйлчлэл, соронзон орны нөлөөн дэх хувьсал, статистик физикийг судлах замаар спиний системийн физикийг судалж, спиний долгионы үүсэл болон соронзон материал дахь фазын шилжилтийг ойлгож мэдэх болно.

Хэрэгцээт мэдээлэл:

$\cosh(x)\equiv \frac{e^x+e^{-x}}{2} $ ,$\sinh(x)\equiv \frac{e^x-e^{-x}}{2}$ ,$\tanh(x)\equiv \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \approx x-\frac{1}{3}x^3$ энд$|x|\ll1$

$\vec{\mu}$ момент бүхий соронзон диполиос $\vec{r}$ зайд, уг диполын үүсгэх соронзон орон дараах байдлаар тодорхойлогдоно (соронзон тогтмолыг $\mu_0$-ээр тэмдэглэнэ):

$$\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\pi} \left(\frac{3(\vec{\mu}\cdot\vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right)$$

А хэсэг. Соронзон диполын прецесс ба харилцан үйлчлэл (1.2 оноо)

Жигд түгсэн $Q>0$ цэнэг, $M$ масс, $R$ радиус бүхий цагариг авч үзье. Цагариг массын төвийг нь дайрсан, перпендикуляр тэнхлэгийг тойрон, $\omega$ өнцөг хурдтай эргэнэ.

A1  ^0.30 Цагаригийн соронзон момент $\vec{\mu}$-г түүний импульсын момент $\vec{L}$ -ээр илэрхийлэн, $\vec{\mu}=\gamma \vec{L}$ гэж бичих боломжтой. Гиросоронзон харьцаа гэж нэрлэдэг $\gamma$ тогтмолыг, энэхүү системийн хувьд олж, $Q$ болон $M$-ээр илэрхийлж бич.

Нэгэн төрлийн $\vec{B}=B\hat{z}$ сул соронзон оронд, $\vec{\omega}$ нь уг оронтой $\theta$ өнцөг үүсгэж байхаар цагаригийг байрлуулав. Зураг А.1-ийг үзнэ үү.

A2  ^0.40 Гадны соронзон орны улмаас импульсийн моментийн хийх прецессийн тойрох давтамж (Ларморын давтамж гэж нэрлэгддэг) $\omega_L$-ийг олж, $B$ ба $\gamma$-аар илэрхийлж бич. $+z$ талаас харахад цагийн зүүний-эсрэг эргэж байвал эерэг чиглэлтэй гэж аваарай.

Одоо гадны соронзон орныг унтраагаад, анхны цагаригаас хэвтээ чиглэлд $d\gg R$ зайд, түүнтэй яг ижилхэн хоёрдогч цагаригийг, соронзон момент $\vec{\mu}_2$ нь $\vec{\mu}_1$-тэй $\theta$ өнцөг үүсгэж байхаар байрлуулъя, Зураг А.2-ыг үзнэ үү.

A3  ^0.50 Хоёр цагариг хоорондын соронзон харилцан үйлчлэлийн энергийг $U=J_0 \vec{L}_1\cdot \vec{L}_2$ гэж бичиж болох ба үүний $J_0$ тогтмол, $\vec{L}_i$ нь $i$-р цагаригийн импульсын момент. $J_0$-ийг $\gamma, d$ болон физикийн үндсэн тогтмолуудаар илэрхийлж бич.

Б хэсэг. Спиний долгион (4.5 оноо)

Энэ хэсэгт бид спиний динамикийг судлах болно. Спин гэдэг нь $\vec{S}$ хувийн импульсын момент бүхий бөөм бөгөөд, А.1-д гарсан шиг $\vec{S}$-тэйгээ гиросоронзон харьцаагаар $\vec{\mu}=\gamma \vec{S}$ гэж холбогдох, $\vec{\mu}$ соронзон моменттой байна.

Хоёр спиний соронзон диполууд хоорондоо харилцан үйлчлэх боловч үүнийг классик онолоор тооцоолвол, квант механикаар тооцоологдох жинхэнэ утгатай харьцуулахад тооцохооргүй бага гардаг. Гэвч сонирхолтой нь, энэхүү квант механик харилцан үйлчлэлийн энерги нь, эсрэг тэмдэгтэй боловч, $\vec{S}_1\cdot \vec{S}_2$-тэй шууд хамааралтай буюу А.3 хэсэгт гаргасантай ижил хэлбэртэй байдаг.

Одоо маш урт, спинүүдээс тогтох гинж авч үзье. Спинүүдийг $x$ -тэнхлэгийн дагуу, хоорондоо $a$ зайтайгаар байрлуулна. Зураг B.1-ийг үзнэ үү. Системийн нийт энергийг ойролцоогоор тооцоолоход, зөвхөн хамгийн ойрын хөршүүдийн харилцан үйлчлэлийг харгалзаж үзэх бөгөөд ингэснээр нийт энергийг дараах байдлаар бичиж болно.

$$E=-J \sum_i \vec{S}_i\cdot \vec{S}_{i+1}$$

үүний $J>0$ нь харилцан үйлчлэлийн хүч, $\vec{S}_i$ нь мөн $i$ -р диполийн спиний импульсын моментийн вектор бөгөөд хэмжээ нь $S$ байна. Энэхүү спиний векторууд гурван хэмжээст огторгуйд чөлөөтэй эргэх боломжтой. Энергийн илэрхийллийн тэмдэг нь өмнөх даалгаврынхаас ялгаатай болохыг анхаарна уу. Энэ нь цэвэр квант механик харилцан үйлчлэл юм.

B1  ^0.30 Дээрх энергийн нийлбэрийн томьёон дахь, $\vec{S}_i$-г агуулсан гишүүд нь, $\vec{B}_{i,\text{eff}}$ эффектив соронзон орон ба соронзон момент $\vec{S}_i$ хоорондын харилцан үйлчлэлийн энерги гэж үзэж болно. Эффектив $\vec{B}_{i,\text{eff}}$-ийг олоод хариултаа $J$, гиросоронзон харьцаа $\gamma$ болон бусад $\vec{S}_j$ спинээр ($j$ индексээ $i$-тэй харьцангуйгаар тодорхой бичиж) илэрхийлнэ үү.

B2  ^0.30 Эффектив соронзон орны тухай ойлголтоо ашиглан $i$ -р спиний векторын өөрчлөлтийн хурд $d\vec{S}_i/dt$-г $J, \vec{S}_i$, болон бусад $\vec{S}_j$ спинээр ($j$ индексээ $i$-тэй харьцангуйгаар тодорхой бичиж) илэрхийлнэ үү.

В-ийн үлдсэн хэсэгт систем нь $z$- ийн чиглэлд маш хүчтэй соронзлогдсон гэж үзье. Ингэснээр спин бүрийн хувьд $S_{i,z}\approx S$ болон $dS_{i,z}/dt\approx0$ гэсэн ойролцоолол ашиглаж болно. Зураг B.2-ыг үзнэ үү. Энэ тохиолдолд, спинүүдийн хугацаанаас хамаарч хувьсах тэгшитгэлүүдийн шийдийг спиний долгион функц $S_{i,x}$, $S_{i,y}$ хангах бөгөөд эдгээр нь $k$ долгион тоо, $\omega$ өнцөг давтамжаар илэрхийлэгдэнэ.

B3  ^2.00

Спиний долгионы $\omega$ болон $k$ хоорондын (буюу дисперсийн хамаарал, $\omega(k)$​​​​​​) хамаарлыг $J, S$ болон $a$ -аар илэрхийлж бич. Зөвлөмж: $i$ -р спиний байрлалыг $x=a\cdot i$ гэж илэрхийл.

Дээр тодорхойлсон спиний долгион нь энерги болон импульс зөөвөрлөнө. Бага энергитэй тохиолдолд энэхүү зөөвөрлөгдөж буй энерги ба импульсын хоорондын хамаарал нь, хүнд $m_\text{eff }$ масстай классик бөөмийнхэй адилхан байдаг, үүнээс квази-бөөм гэх ойлголт урган гардаг.

B4  ^0.60 $k$- ийн бага утгатай үед ($k\ll1/a$ ), спиний долгионы $m_\text{eff}$ эффектив массыг ол. Хариугаа $J, S, a$ ба үндсэн тогтмолуудаар илэрхийл.

Нейтроны харимхай бус сарнилыг ашиглан спиний долгионыг туршилтаар шалгаж болно. Хэдийгээр нейтрон нь цэнэггүй боловч тодорхой спинтэй байдаг нь бусад спинүүдтэй харилцан үйлчлэх боломжийг олгодог.

B5  ^1.30 Эхний ээлжинд спиний гинжин хэлхээний бүх спинүүд нь $z$тэнхлэгийн дагуу чиглэж байна гэж үз. $x-y$ хавтгай дээр хөдөлж буй бага энергитэй нейтрон, Зураг B.3- т үзүүлснээр $\theta_{in}$ тусгалын өнцөгтэйгөөр гинжин дээр тусч, $\theta_{out}$ өнцгөөр сарнина. Нейтрон нь ганц спинийг өдөөж, спиний сул долгион үүсгэнэ гэж үзээд энэхүү долгионы $m_\text{eff}$ эффектив массыг олж, $\theta_\text{in}, \theta_\text{out}$ ба нейтроны масс $m_n$-ээр илэрхийлж бич. Гинж нь хөдөлгөөнгүй, тайван байдалдаа байна гэж үзээрэй.

Хэсэг C. Спиний гинж дэх фазын шилжилт (4.3 оноо)

Одоо $N$ тооны спинээс тогтох гинж авч үзье. Энэ гинж нь В хэсэгтэй ижил боловч спин векторуудын чиглэл нь $z$-тэнхлэг дагуу, нэг бол дээш эсвэл доош чиглэлтэй байхаар хязгаарлагдсан буюу спиний $z$байгуулагч нь $S_{i,z} = s_i S$ , үүний $s_i=\pm 1$ хэлбэртэй бичигдэнэ, Зураг C.1- ийг үзнэ үү. Хамгийн ойрын хөршийн харилцан үйлчлэлээс гадна $z$-тэнхлэг дагуу чиглэлтэй нэмэлт соронзон орны үйлчлэлийг тооцсон, системийн нийт энергийг дараах бичиж болно.

$$E=-\tilde{J}\sum_i s_i s_{i+1} - h \sum_i s_i.$$

$\tilde{J}\geq0$ бөгөөд $h$ нь соронзон орноос хамаардаг тогтмол гэж үзье. Спин систем нь $T$ температур бүхий дулааны сантай холбогдсон. Гинжний төгсгөлийн эффектийг үл тооцно.

C1  ^0.50 Эхлээд $\tilde{J}=0$ гэж үзье. Дурын спиний соронзон орны дагуу чиглэсэн байх магадлал $p_\uparrow$, эсрэг чиглэсэн байх магадлал $p_\downarrow$ -н харьцаа ямар байх вэ? $p_\uparrow/p_\downarrow$-ийг $h$ ,$T$ болон үндсэн тогтмолуудаар илэрхийл.

C2  ^1.00 Системийн $\bar{s}\equiv\frac{1}{N} \sum_i s_i$ дундаж туйлшралыг $N\gg 1$тохиолдолд $h$ ,$T$ болон үндсэн тогтмолуудаар илэрхийл. Хэрэв $h$ соронзон орон нь $-h_0$-аас $h_0$ хооронд утга авах бол, дараах тохиолдлуудад $\bar{s}$ функцийн $h$-аас хамаарах тойм графикийг зур: $h_o\gg k_BT$ , $h_o\approx k_BT$ болон $h_o\ll k_BT$ тохиолдолд.

Үлдсэн даалгавруудад соронзон орныг тэг гэж үзье, өөрөөр хэлбэл $h=0$ , ба $\tilde{J}>0$ .

C3  ^0.20 (Хамгийн бага энергийн төлөв буюу) үндсэн төлвийн энерги $E_g$ ямар байх вэ? Хариугаа $\tilde{J}$ болон$N$ -ээр илэрхийл.

Спин бүрийн хөрштэйгээ үүсгэх харилцан үйлчлэлийг тооцохын оронд, спин бүрийг $\bar{s}$ дундаж туйлшралтай харилцан үйлчилнэ гэж үзье.

C4  ^0.20 Системийн энергийг бүх спиний нийлбэрээр ойролцоолж
$$E=-\tilde{J}_{\text{eff}} \sum_i s_i$$$\tilde{J}_{\text{eff}}$-ийг $\tilde{J}$ болон $\bar{s}$-ээр илэрхийл.

C5  ^1.20

C.2- ын үр дүнг ашиглан дундаж туйлшрал $\bar{s}$ хангах тэгшитгэлийг бич. Энэ тэгшитгэлийн шийдийн тоон нь $T$-ээс хамаарна. Шийдийн тоо өөрчлөгдөх критик температур $T_c$-ийг ол. Хариугаа $\tilde{J}$ ба үндсэн тогтмолуудаар илэрхийл.

C6  ^1.00 $T<T_c$ ба $T_c-T\ll T_c$ тохиолдлуудад $\bar{s}$ -н бүх боломжит утгыг ол. Хариугаа $T$ ба $T_c$ -ээр илэрхийл. $\bar{s}$ -ийн боломжит утгуудыг $T$ ээс хамааруулан $0\leq T\leq 2 T_c$ мужид зурж дүрслээрэй.

C7  ^0.20 $T>T_c$ температурт материйн ямар соронзон фаз харгалзах вэ? Харин $T<T_c$ тохиолдол нь? Парамагнит эсвэл ферромагнет фазын аль нь болохыг тус тус сонго.