Klassik fizikada impuls momenti cismin ox ətrafında hərəkətindən (istər fırlanan fırfıra, istər fırlanan planet, istərsə də atomda orbitdə fırlanan elektron) yaranır . Bununla belə, kvant fizikasında fundemental zərrəciklər spin adlanan impuls momentinin daxili və kvantlaşdırılmış formasına malikdirlər. Bu xüsusiyyət, maqnitizm kimi material xüsusiyyətlərindən tutmuş kvant hesablamaları kimi müasir tətbiqlərə qədər müxtəlif fiziki hadisələrdə həlledici rol oynayır.
Bu məsələdə biz spinə klassik şəkildə baxacağıq ki, bu da keyfiyyətcə düzgün nəticələrə gətirib çıxaracaq. Siz spin-spin qarşılıqlı təsirləri, maqnit sahəsinin təsiri ilə onların davranışı və statistik fizika vasitəsilə spin sistemlərinin fizikasını araşdıracaq, maqnitlərdə spin dalğalarının və faza keçidlərinin meydana gəlməsini başa düşəcəksiniz.
Faydalı məlumat:
$\cosh(x)\equiv \frac{e^x+e^{-x}}{2} $ , $\sinh(x)\equiv \frac{e^x-e^{-x}}{2}$ , $|x|\ll1$ üçün $\tanh(x)\equiv \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \approx x-\frac{1}{3}x^3$
Dipol momenti $\vec{\mu}$ olan maqnit dipolundan $\vec{r}$ məsafədə sahənin induksiyası aşağıdakı kimidir ($\mu_0$ vakuumun maqnit nüfuzluluğudur):
$$\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\pi} \left(\frac{3(\vec{\mu}\cdot\vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right)$$
Ümumi kütləsi $M$, radiusu $R$ olan bir halqa təsəvvür edin. Onun $Q>0$ yükü bərabər paylanmışdır. Halqa kütlə mərkəzindən keçən perpendikulyar ox ətrafında $\omega$ bucaq sürəti ilə fırlanır.
Halqa zəif, induksiysı $\vec{B}=B\hat{z}$ olan bircins maqnit sahəsinə yerləşdirilir. Belə ki, $\vec{\omega}$ vektoru $z$ oxu ilə $\theta$ bucağı əmələ gətirir (bax: Şəkil A.1).
İndi xarici maqnit sahəsini söndürürük və ilkin halqadan $d\gg R$ qədər üfüqi məsafədə onunla eyni olan ikinci halqanı yerləşdiririk. Belə ki, yeni halqanın $\vec{\mu}_2$ maqnit momenti $\vec{\mu}_1$ ilə $\theta$ bucağı əmələ gətirir (bax: Şəkil A.2).
İndi isə spinlərin dinamikasını araşdırırıq. Spin daxili impuls momenti $\vec{S}$olan hissəcikdir və ona uyğun gələn $\vec{\mu}$maqnit momenti, A.1 hissəsində olduğu kimi $\vec{\mu}=\gamma \vec{S}$ ilə verilir.
İki spinin maqnit dipolları bir-biri ilə qarşılıqlı təsirdə olurlar. Lakin bu qarşılıqlı təsir, klassik sistemlərdə olmayan, kvant mənşəli başqa bir qarşılıqlı təsirlə müqayisədə nəzərəçarpacaq dərəcədə zəifdir. Maraqlıdır ki, bu kvant qarşılıqlı təsirin enerjisi A.3 hissəsindəki kimi $\vec{S}_1\cdot \vec{S}_2$ formasında ifadə olunur, lakin əksi işarə ilə.
İndi isə $x$ oxu boyunca düzülmüş çox uzun bir spin zəncirinə baxacağıq. Spinlərin mövqeləri sabitdir və aralarındakı məsafə $a$-dır (bax: Şəkil B.1). Sistemin enerjisini yalnız ən yaxın qonşular arasındakı qarşılıqlı təsirə əsaslanaraq təqribi olaraq hesablayaq. Bu zaman enerji aşağıdakı kimi yazıla bilər:
$$E=-J \sum_i \vec{S}_i\cdot \vec{S}_{i+1}$$
Burada $J>0$ qarşılıqlı təsir əmsalı, $\vec{S}_i$ isə $i$-ci dipolun spin impuls momenti vektorudur və modulu $S$-dir. Spin vektorları üçölçülü fəzada sərbəst şəkildə fırlana bilər. Qeyd edək ki, bu ifadədə enerjinin işarəsi əvvəlki hissədən fərqlidir. Bu qarşılıqlı təsir sırf kvant mənşəlidir.
B1
0.30
Yuxarıdakı cəmdə $\vec{S}_i$ spinini ehtiva edən enerji termləri, $\vec{B}_{i,\text{eff}}$ effektiv maqnit sahəsi ilə $\vec{S}_i$-nin maqnit momenti arasındakı qarşılıqlı təsir enerjisi kimi başa düşülə bilər.
$\vec{B}_{i,\text{eff}}$-i tapın və cavabı $J$, $\gamma$ və $\vec{S}_j$-digər spinlər ilə ifadə edin ($j$-nin $i$ ilə əlaqəsini göstərin).
B hissəsinin qalan hissəsində fərz edin ki, sistem $z$ istiqamətində güclü maqnitləşib. Bu halda hər bir spin üçün $S_{i,z}\approx S$ və $dS_{i,z}/dt\approx0$ yaxınlaşdırmalarından istifadə edə bilərik (bax: Şəkil B.2). Bu rejimdə spinlərin zamanla dəyişməsini təsvir edən $S_{i,x}$ və $S_{i,y}$ tənlikləri $k$-dalğa vektoruna və $\omega$- bucaq tezliyinə malik olan dalğa ilə xarakterizə olunur.
Yuxarıda təsvir edilən spin dalğası həm enerji, həm də impuls daşıyır. Aşağı enerjilərdə enerji-impuls əlaqəsi onu $m_\text{eff }$-effektik kütləyə malik klassik hissəcik kimi xarakterizə etməyə imkan verir və bu anlayışa kvazi-hissəcik (quasi-particle) deyilir.
Spin dalğaları eksperimental olaraq qeyri-elastik neytron səpilməsi ilə öyrənilə bilər. Neytronlar xalis yükləri sıfır olsa da, spinə malik olduqları üçün digər spinlərlə qarşılıqlı təsirə girə bilirlər.
B5
1.30
Tutaq ki, spin zənciri əvvəlcə $z$ istiqamətində tam maqnitləşib. Aşağı enerjili neytron $x-y$ müstəvisində $\theta_{in}$ bucağı ilə zəncirə daxil olur və $\theta_{out}$ bucağı ilə səpilir (bax: Şəkil B.3). Neytronun kiçik dalğa vektorlu tək bir spin dalğasını həyəcanlandırdığını fərz edərək, bu spin dalğasının $m_\text{eff}$-effektiv kütləsini $\theta_\text{in}, \theta_\text{out}$və $m_n$-neytronun kütləsi ilə ifadə edin. Qəbul edin ki, zəncir hərəkətsiz qalır.
İndi isə B hissəsindəki ilə eyni $N$ sayda spindən ibarət zənciri nəzərdən keçiririk, fərq ondadır ki, bu dəfə spin vektorları yalnız $z$ oxu boyunca yuxarı və ya aşağı istiqamətlənə bilər. Beləliklə, $z$ istiqamətindəki spin komponenti $S_{i,z} = s_i S$ şəklində yazılır, hansı ki, $s_i=\pm 1$ -dir (bax: Şəkil C.1). Ən yaxın qonşular arasındakı qarşılıqlı təsirə əlavə olaraq $z$ oxu istiqamətində xarici maqnit sahəsi də ola bilər. Beləliklə, sistemin ümumi enerjisi aşağıdakı kimidir:
$$E=-\tilde{J}\sum_i s_i s_{i+1} - h \sum_i s_i.$$
Burada $\tilde{J}\geq0$, $h$ isə maqnit sahəsindən asılı sabitdir. Spin sistemi temperaturu $T$ olan bir istilik vannası ilə tarazlıq halındadır. Zəncirin uclarını nəzərə almayın.
C2
1.00
$N\gg 1$ halında sistem üçün $\bar{s}\equiv\frac{1}{N} \sum_i s_i$-orta maqnitlənmə ifadəsini $h$, $T$ və fundamental sabitlərlə ifadə edin. Əgər maqnit sahəsi $-h_0$ ilə $h_0$ arasında dəyişə bilirsə,
$h_o\gg k_BT$, $h_o\approx k_BT$ və $h_o\ll k_BT$ halları üçün $\bar{s}$-in $h$-dan asılılıq qrafikini çəkin.
Bundan sonrakı suallarda maqnit sahəsini söndürürük ($h=0$) və $\tilde{J}>0$ qəbul edirik.
Spinlərin bir-biri ilə qarşılıqlı təsirini ayrıca nəzərə almaqdansa, hər spinin yaxın qonşularından gördüyü orta maqnitlənməni $\bar{s}$ kimi qəbul edək.