在经典物理学中，物体绕轴运动–无论是旋转的陀螺、自转的行星，还是原子中运行的电子，就会有角动量。然而，在量子物理学中，基本粒子拥有一种内在的、量子化的角动量，称为自旋。从磁性等材料特性到量子计算等现代应用，这一特性在很多物理现象中发挥着至关重要的作用。
本题中，我们将对自旋进行处理，从而得出一些定性正确的结果。你将通过自旋-自旋相互作用、磁场中的演化和统计物理学来探索自旋系统的物理学，从而理解磁体中自旋波和相变的出现。
有用信息：
$\cosh(x)\equiv \frac{e^x+e^{-x}}{2} $,$\sinh(x)\equiv \frac{e^x-e^{-x}}{2}$,$\tanh(x)\equiv \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \approx x-\frac{1}{3}x^3$ 为$|x|\ll1$
磁矩为 $\vec{\mu}$ 的磁偶极子在离它 $\vec{r}$ 的位置处产生的磁场由以下公式给出（ $\mu_0$ 是真空磁导率）：
$$\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\pi} \left(\frac{3(\vec{\mu}\cdot\vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right)$$
考虑一个半径为$R$ 、总质量为$M$ 、电荷量为$Q>0$ 且均匀分布的圆环。圆环以角速度 $\omega$ 绕通过其质心的垂直轴旋转。
圆环放置在弱的均匀磁场 $\vec{B}=B\hat{z}$ 中，其方向与$\vec{\omega}$ 成 $\theta$ 角，见图 A.1。
现在，我们关闭外部磁场，将一个相同的圆环放置在离原先圆环水平距离 $d\gg R$ 的地方，这个新圆环的磁矩 $\vec{\mu}_2$与 $\vec{\mu}_1$ 成 $\theta$ 角 ，见图 A.2。
下面我们将研究自旋动力学。自旋是一种具有固有角动量 $\vec{S}$ 的粒子的属性，它有一个与 $\vec{S}$相关的磁矩 $\vec{\mu}$，如 A.1 部分所述，$\vec{\mu}=\gamma \vec{S}$ 。
两个自旋的磁偶极子相互影响。然而，与另一种源自量子力学的相互作用（该相互作用在经典系统中是不存在的）相比，这种相互作用可以忽略不计。有趣的是，与这种量子相互作用相关的能量与我们在 A.3 部分中得到的形式相同，与$\vec{S}_1\cdot \vec{S}_2$ 成正比，只是符号相反。
现在我们来看一条很长的自旋链。这些自旋的位置沿 $x$ 轴固定，它们之间的距离为 $a$ ，见图 B.1。我们将只考虑近邻粒子之间的相互作用来近似计算系统的总能量，因此能量可以写成
$$E=-J \sum_i \vec{S}_i\cdot \vec{S}_{i+1}$$
其中$J>0$ 是相互作用强度，$\vec{S}_i$ 是第$i$个偶极子的自旋角动量矢量，大小为$S$ 。自旋矢量可在三维空间自由旋转。注意，能量的符号与上一部分不同。这种相互作用是纯量子力学的。
对于B 部分的其余部分，假设系统沿$z$ 方向高度磁化，因此我们可以对每个自旋使用近似式：$S_{i,z}\approx S$ 和$dS_{i,z}/dt\approx0$ ，见图 B.2。在这种情况下，描述自旋时间演化的方程组满足$S_{i,x}$和$S_{i,y}$ 的行波解，可由波矢 $k$ 和角频率$\omega$来表征 。
求出自旋波的 $\omega$ 和 $k$ 之间的关系（称为色散关系）$\omega(k)$ ，用$J, S$ 和 $a$ 表示。
提示：将第 $i$ 个自旋波的位置表示为$x=a\cdot i$ 。
上述自旋波携带能量和动量。在低能量时，其能量和动量之间的关系类似于具有有效质量 $m_\text{eff }$ 的大质量经典粒子，这一概念下的粒子被称为准粒子。
自旋波可以通过非弹性中子散射进行实验探测。虽然中子的净电荷为零，但它们具有有限大小的自旋，因此可以与其他自旋相互作用。
接下来，我们考虑 B 部分中由$N$ 个自旋粒子构成的同一条链，只是自旋矢量现在被限制为沿$z$ 轴，向上或向下。因此沿$z$ 的自旋分量可以写成 $S_{i,z} = s_i S$ ，其中$s_i=\pm 1$ ，见图 C.1。除了近邻粒子相互作用外，我们还可以沿$z$ 轴设置外部磁场，这样系统的总能量为
$$E=-\tilde{J}\sum_{i} s_i s_{i+1} - h \sum_{i} s_i.$$
假设$\tilde{J}\geq0$ ，而式中 $h$ 是一个取决于磁场的常数。自旋系统与温度为 $T$ 的外部环境处于热平衡状态。忽略链的边缘。
在剩下的问题中，我们关闭磁场，因此 $h=0$ ，并设$\tilde{J}>0$ 。
每个自旋粒子与相邻自旋粒子之间的相互作用，可进行以下假设：每个自旋粒子与其最近相邻自旋粒子的作用都视为平均的，可用平均极化 $\bar{s}$ 替代。
$$E=-\tilde{J}_{\text{eff}} \sum_i s_i$$求出$\tilde{J}_{\text{eff}}$，用 $\tilde{J}$ 和 $\bar{s}$ 表示。