古典物理学では、角運動量は、回転するコマ、回転する惑星、原子の軌道を回る電子など、軸を中心とした物体の運動から生じる。しかし量子物理学では、基本粒子はスピンと呼ばれる固有の量子化された角運動量を持っている。この性質は、磁性などの物質的性質から量子コンピューティングなどの現代的応用に至るまで、様々な物理現象において重要な役割を果たしている。
この問題ではスピンを古典的に扱い、定性的には正しい結果を導く。スピン-スピン相互作用、磁場下での運動、統計物理学を通してスピン系の物理を探求し、磁石におけるスピン波や相転移の出現を理解する。
有用な情報：
$\cosh(x)\equiv \frac{e^x+e^{-x}}{2} $, $\sinh(x)\equiv \frac{e^x-e^{-x}}{2}$, $|x|\ll1$ においては、$\tanh(x)\equiv \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \approx x-\frac{1}{3}x^3$と近似できる。
モーメント$\vec{\mu}$ の磁気双極子から$\vec{r}$ 離れた位置での磁場は次式で与えられる ($\mu_0$ は真空の透磁率)：
$$\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\pi} \left(\frac{3(\vec{\mu}\cdot\vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right)$$
半径$R$ 、全質量$M$ 、電荷$Q>0$ が一様に分布したリングを考える。リングは質量中心を通る垂直軸の周りを角速度$\omega$ で回転する。
リングは弱い一様磁場$\vec{B}=B\hat{z}$ の中に置かれ、$\vec{\omega}$ と角度$\theta$ をなす（図A.1参照）。
ここで外部磁場をオフにして、新しいリングの磁気モーメント$\vec{\mu}_2$ が$\vec{\mu}_1$ と角度$\theta$ をなすように、元のリングから水平距離$d\gg R$ のところに同じリングを配置する（図A.2参照）。
以下ではスピンのダイナミクスを調べる。スピンとは、固有の角運動量$\vec{S}$ を持つ粒子であり、パートA.1と同様に磁気回転比 を介して$\vec{\mu}=\gamma \vec{S}$ で決まる磁気モーメント$\vec{\mu}$ を持つ。
2つのスピンの磁気双極子は互いに相互作用する。しかし、この相互作用は、古典系には存在しない量子力学的な起源から生じる別の相互作用に比べれば無視できる。興味深いことに、この量子相互作用のエネルギーは、A.3部で見いだしたのと同じ形をしており、$\vec{S}_1\cdot \vec{S}_2$ に比例するが、符号は逆である。
次に、非常に長いスピンの鎖を考えよう。図B.1のように、スピンの位置は$x$-軸に沿って固定され、互いの距離は$a$ である。最近接スピン間の相互作用のみを考慮することで、系の全エネルギーを次のように近似する。
$$E=-J \sum_i \vec{S}_i\cdot \vec{S}_{i+1}$$
ここで、$J>0$ は相互作用の強さ、$\vec{S}_i$ は$i$番目のスピンの角運動量ベクトルで、大きさは$S$ である。スピンベクトルは3次元空間で自由に回転する。エネルギーの符号が前のパートと異なることに注意せよ。この相互作用は純粋に量子力学的なものである。
パートBの残りの部分では、系が$z$ 方向に強く磁化されていると仮定する。そのため、図B.2のように、各スピンに対して近似値$S_{i,z}\approx S$ と$dS_{i,z}/dt\approx0$ を使用する。この前提のもとでは、スピンの時間発展を記述する方程式のセットは、波数ベクトル$k$ と角周波数$\omega$ によって特徴づけられる$S_{i,x}$と$S_{i,y}$ の進行波解によって満たされる。
$J, S$ と$a$ を用いて、スピン波の$\omega$ と$k$ の関係（分散関係として知られる、$\omega(k)$ ）を求めよ。
ヒント：$i$番目のスピンの位置を$x=a\cdot i$ として表現する。
上記のスピン波はエネルギーと運動量を運ぶ。低エネルギーでは、そのエネルギーと運動量の関係は、有効質量$m_\text{eff }$の古典粒子での関係に似ており、準粒子としてとらえられる。
スピン波は、中性子非弾性散乱を用いて実験的に調べることができる。中性子は正味の電荷はゼロだが、有限のスピンを持っており、他のスピンと相互作用することができる。
次に、スピンベクトルが$z$-軸に沿って上下どちらかを指すように制限されていることを除いて、パートBと同じ$N$ スピンからなる鎖を考える。$z$ に沿ったスピン成分は$S_{i,z} = s_i S$ 、ここで$s_i=\pm 1$ 、図C.1を参照せよ。最近接相互作用に加えて、$z$-軸に沿った外部磁場があり、系の全エネルギーは次式で与えられる。
$$E=-\tilde{J}\sum_i s_i s_{i+1} - h \sum_i s_i.$$
$\tilde{J}\geq0$ を仮定し、$h$ は外部磁場に依存する定数である。スピン系は温度$T$ の熱浴と平衡にある。鎖の端は無視する。
残りの質問では、磁場をオフにするので、$h=0$ そして$\tilde{J}>0$ とせよ。
各スピンとその両隣りのスピンとの相互作用を考える代わりに、各スピンはその近傍の平均磁化$\bar{s}$ と関係つける。
$$E=-\tilde{J}_{\text{eff}} \sum_i s_i$$$\tilde{J}_{\text{eff}}$を$\tilde{J}$ と$\bar{s}$ で表せ。