Klassik fizikada impuls momenti obyektning bir o‘q atrofidagi harakatidan kelib chiqadi, bunga aylanuvchi urchuq, aylanayotgan sayyora yoki atomdagi orbita bo'ylab aylanayotgan elektronni misol qilish mumkin. Biroq, kvant fizikada elementar zarrachalar o‘ziga xos va kvantlangan shakldagi impuls momentiga ega bo‘ladi, bu spin deb ataladi. Bu xususiyat turli fizik hodisalarda — masalan, moddalarning magnit xossalarida — hamda kvant kompyuterlari kabi zamonaviy qurilmalarda muhim rol o‘ynaydi.
Ushbu masalada biz spinni klassik tarzda ko‘rib chiqamiz, bu esa sifat jihatdan to‘g‘ri bo‘lgan ba’zi natijalarga olib keladi. Siz spin tizimlarining fizikasi bilan tanishasiz — spinlararo o‘zaro ta’sirlar, magnit maydonlar ta'siridagi dinamika va statistik fizika orqali spin to‘lqinlari va magnitlardagi fazaviy o‘tishlarning paydo bo‘lishini tushunasiz.
Foydali ma'lumotlar:
$\cosh(x)\equiv \frac{e^x+e^{-x}}{2} $ , $\sinh(x)\equiv \frac{e^x-e^{-x}}{2}$ , agar $|x|\ll1$ bo'lsa $\tanh(x)\equiv \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \approx x-\frac{1}{3}x^3$
Dipol momenti $\vec{\mu}$ bo‘lgan dipoldan $\vec{r}$ masofadagi nuqtada dipol tomonidan hosil qilinadigan magnit maydon quyidagi formula orqali berilgan ($\mu_0$ magnit doimiysi):
$$\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi} \left(\frac{3(\vec{\mu}\cdot\vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right)$$
Massasi $M$ bo'lgan va bir jinsli taqsimlangan $Q>0$ zaryad bilan zaryadlangan $R$ radiusli halqa berilgan. Halqa massa markazidan o'tuvchi va halqa tekisligiga perpendikulyar bo'lgan o'q atrofida $\omega$ burchak tezlik bilan aylanadi.
Halqa bir jinsli kuchsiz $\vec{B}=B\hat{z}$ magnit maydonga joylashtirilgan, maydon va $\vec{\omega}$ orasidagi burchak $\theta$ ga teng (A.1-rasmga qarang).
Endi tashqi magnit maydonni o‘chiramiz va xuddi shunday boshqa halqani birinchi halqadan gorizontal $d\gg R$ masofada joylashtiramiz, shunda yangi halqaning magnit momenti $\vec{\mu}_2$ eski halqaning magnit momenti $\vec{\mu}_1$ bilan $\theta$ burchak ostida joylashadi (A.2-rasmga qarang).
Quyida biz bu yog'iga spin deb nomlaydigan zarrachalarning dinamikasini o‘rganamiz. Spin — bu o‘ziga xos ichki impuls momenti $\vec{S}$ ga ega bo‘lgan zarracha bo‘lib, unga mos keluvchi magnit moment $\vec{\mu}$ mavjud. Bu magnit moment giromagnit nisbat orqali $\vec{S}$ bilan bog‘langan: $\vec{\mu}=\gamma \vec{S}$ (bu A.1-qismda ko‘rsatilgan formulaga o‘xshash).
Ikki spinning magnit dipollari bir-biri bilan o‘zaro ta’sirlashadi. Biroq, bu ta’sir kuchi kvant mexanikasiga xos bo‘lgan boshqa bir ta’sirga nisbatan juda kichikdir va bu turdagi o‘zaro ta’sir klassik tizimlarda mavjud emas. Qizig‘i shundaki, ushbu kvant ta’sirga mos energiya A.3-qismda topilgan ifodaga o‘xshash shaklga ega bo‘lib, $\vec{S}_1\cdot \vec{S}_2$ ga proporsional o‘zgaradi, ammo qarama-qarshi ishoraga ega bo‘ladi.
Endi biz juda uzun spinlar zanjirini ko‘rib chiqamiz. Spinlarning joylashuvi $x$-o‘qi bo‘ylab qat’iy belgilangan bo‘lib, ular orasidagi masofa $a$ ga teng (B.1-rasmga qarang). Biz tizimning umumiy energiyasini faqat eng yaqin qo‘shni spinlar orasidagi o‘zaro ta’sirlarni hisobga olgan holda taqribiy hisoblashimiz mumkin, shunday qilib, umumiy energiyani quyidagicha ifodalash mumkin bo‘ladi:
$$E=-J \sum_i \vec{S}_i\cdot \vec{S}_{i+1}$$
Bu yerda $J>0$ o‘zaro ta’sir kattaligi bo‘lib, $\vec{S}_i$ esa $i$-dipolning spin impuls momenti vektori bo'lib, uning moduli $S$ ga teng. Spin vektorlari uch o‘lchamli fazoda erkin aylanishi mumkin. Bu yerda, energiyaning ishorasi oldingi qismdagidan farq qiladi. Ushbu o‘zaro ta’sir butunlay kvant mexanikasiga xosdir.
B qismining qolgan qismi uchun faraz qilamizki, tizim $z$ yo‘nalishi bo‘ylab kuchli magnitlangan, shuning uchun har bir spin uchun quyidagi yaqinlashuvlarni ishlatish mumkin: $S_{i,z}\approx S$ va $dS_{i,z}/dt\approx0$ (B.2 -rasmga qarang). Bu holatda spinlarning vaqt bo‘yicha evolyutsiyasini ifodalovchi tenglamalar to‘plami uchun $S_{i,x}$ va $S_{i,y}$ komponentlari bo‘yicha harakatlanuvchi to‘lqinli yechim mavjud bo‘ladi. Bu to‘lqin to‘lqin vektori $k$ va burchak tezlik $\omega$ bilan xarakterlanadi.
$\omega$ bilan $k$ orasidagi bog‘liqlikni, ya’ni dispersiya munosabati $\omega(k)$ni spin to‘lqinlari uchun J, S va a orqali toping.
Ishora: i-spinning koordinatasini quyidagicha ifoda eting: $x=a\cdot i$
Yuqorida tasvirlangan spin to‘lqini energiyaga va impulsga ega. Kichik energiyalarda uning energiyasi va impulsi o‘rtasidagi bog‘liqlik massaga ega klassik zarrachanikiga o‘xshaydi. Bu zarracha kvazizarracha deb nomlanadi va uning massasi $m_\text{eff }$deb belgilanadi.
Spin to'lqinlar tajribada noelastik neytron bilan to'qnashuvlar orqali tekshirilishi mumkin. Neytronlar zaryadsiz zarralar va chekli spinga ega bo'lib uning boshqa spinlar bilan ta'sirlashuviga imkon beradi.
Endi B qismdagi kabi $N$ ta spindan iborat xuddi o'sha zanjirni ko‘rib chiqamiz, biroq bu safar spin vektorlari faqat z o‘qi bo‘yicha yuqoriga yoki pastga yo'nalgan bo'lishi mumkin. Shuning uchun spinning $z$ yo‘nalishidagi tashkil etuvchisi quyidagicha ifodalanadi:$S_{i,z} = s_i S$ , bu yerda $s_i=\pm 1$ qiymatlarni qabul qilishi mumkin (C.1-rasmga qarang). Eng yaqin qo'shnilarning o'zaro ta'siridan tashqari, bizda $z$ o'qi bo'ylab yo'naltirilgan tashqi magnit maydon bo'lishi mumkin, shunday qilib, tizimning umumiy energiyasi quyidagicha ifodalanadi
$$E=-\tilde{J}\sum_{i} s_i s_{i+1} - h \sum_{i} s_i.$$
Biz $\tilde{J}\geq0$ deb taxmin qilamiz, $h$ esa magnit maydonga bog'liq doimiy. Spin tizimi $T$ haroratda issiqlik muvozanati holatida turibdi. Zanjirning chetki qismlarini hisobga olmang.
Savolning qolgan qismlarida biz tashqi magnit maydonni yo'q deb hisoblaymiz ya'ni $h=0$ va $\tilde{J}>0$ deb olamiz
Har bir spinning qo‘shnilari bilan individual o‘zaro ta’sirini ko‘rib chiqish o‘rniga, biz har bir spin eng yaqin qo‘shnilaridan keladigan $\bar{s}$ o‘rtacha qutblanishni sezadi, deb faraz qilamiz.
$$E=-\tilde{J}_{\text{eff}} \sum_{i} s_i$$va $\tilde{J}_{\text{eff}}$ ni $\tilde{J}$ va $\bar{s}$ orqali ifodalang.