Trong vật lý cổ điển, mômen động lượng sinh ra từ chuyển động của một vật quanh một trục – ví dụ như con quay đang quay, hành tinh đang quay, hoặc electron quay quanh hạt nhân. Tuy nhiên, trong vật lý lượng tử, các hạt cơ bản lại sở hữu một loại mômen động lượng riêng, dạng lượng tử hóa gọi là spin. Spin đóng vai trò quan trọng trong nhiều hiện tượng vật lý, từ tính chất từ của vật liệu, cho đến các ứng dụng hiện đại như máy tính lượng tử.
Trong bài toán này, chúng ta sẽ xem xét spin theo quan điểm cổ điển để rút ra một số kết quả mang tính định tính. Em sẽ khám phá đặc tính vật lý của hệ spin thông qua tương tác giữa các spin, sự thay đổi dần của spin dưới tác động từ trường, sử dụng vật lý thống kê để tìm hiểu sự hình thành sóng spin và chuyển pha trong vật liệu từ.
Thông tin hữu ích:
$\cosh(x)\equiv \frac{e^x+e^{-x}}{2} $, $\sinh(x)\equiv \frac{e^x-e^{-x}}{2}$, $\tanh(x)\equiv \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \approx x-\frac{1}{3}x^3$ với $|x|\ll1$
Từ trường do một lưỡng cực từ có mômen từ $\vec{\mu}$ gây ra tại điểm cách nó một khoảng $\vec{r}$ là ($\mu_0$ là độ từ thẩm của chân không):
$$\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\pi} \left(\frac{3(\vec{\mu}\cdot\vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right)$$
Xét một vòng dây có bán kính $R$, khối lượng $M$, và mang điện tích $Q>0$ phân bố đều. Vòng dây quay với tốc độ góc $\omega$ quanh một trục vuông góc với mặt phẳng vòng dây và đi qua tâm vòng dây.
Vòng dây được đặt vào một từ trường đều yếu $\vec{B}=B\hat{z}$, tạo một góc $\theta$ với $\vec{\omega}$, xem Hình A.1.
Bây giờ, ta tắt từ trường ngoài và đặt một vòng dây giống hệt cách vòng dây đầu tiên một khoảng $d\gg R$ theo phương ngang sao cho mômen từ của vòng thứ hai $\vec{\mu}_2$ tạo một góc $\theta$ với $\vec{\mu}_1$, xem Hình A.2.
Trong phần tiếp theo, ta sẽ khảo sát động lực học của các spin. Spin là một hạt có mômen động lượng riêng $\vec{S}$, mômen từ $\vec{\mu}$ được liên hệ với $\vec{S}$ thông qua tỷ số từ chuyển (gyromagnetic ratio) như đã trình bày ở Phần A.1, $\vec{\mu}=\gamma \vec{S}$.
Lưỡng cực từ (magnetic dipole) của hai spin có thể tương tác với nhau. Tuy nhiên, tương tác này có thể bỏ qua so với một loại tương tác khác có nguồn gốc lượng tử, không xuất hiện trong các hệ cổ điển. Điều thú vị là năng lượng của tương tác lượng tử này có dạng tương tự như biểu thức ở Phần A.3, tỷ lệ với $\vec{S}_1\cdot \vec{S}_2$, nhưng dấu thì ngược lại.
Bây giờ ta xét một chuỗi rất dài các spin, các spin này có vị trí cố định dọc theo trục $x$, và khoảng cách giữa các spin liên tiếp là $a$, xem Hình B.1. Làm gần đúng tổng năng lượng của hệ bằng cách chỉ xét tương tác giữa các spin lân cận gần nhất, khi đó năng lượng được viết dưới dạng:
$$E=-J \sum_i \vec{S}_i\cdot \vec{S}_{i+1}$$
trong đó, $J>0$ là cường độ tương tác, và $\vec{S}_i$ là vector mômen động lượng spin của lưỡng cực thứ $i$, có độ lớn $S$. Các vector spin này có thể quay tự do trong không gian ba chiều. Lưu ý rằng dấu của năng lượng trong biểu thức này ngược lại với phần trước. Tương tác này là hoàn toàn có nguồn gốc lượng tử.
Trong nội dung còn lại của Phần B, giả sử rằng hệ spin được từ hóa mạnh theo phương $z$ do đó ta có thể sử dụng các xấp xỉ sau cho mỗi spin $S_{i,z}\approx S$ và $dS_{i,z}/dt\approx0$, xem Hình B.2. Trong điều kiện này, hệ phương trình mô tả sự thay đổi theo thời gian của các spin có nghiệm dưới dạng sóng lan truyền cho hai thành phần $S_{i,x}$and $S_{i,y}$ được đặc trưng bằng một vector sóng $k$ và tần số góc $\omega$.
Hãy tìm mối liên hệ giữa $\omega$ và $k$ (được biết đến là mối liên hệ tán sắc, $\omega(k)$) cho các sóng spins theo các đại lượng $J, S$ và $a$.
Gợi ý: Biểu diễn vị trí của spin thứ $i$ là $x=a\cdot i$.
Sóng spin được mô tả ở trên mang theo năng lượng và động lượng. Ở các mức năng lượng thấp, mối quan hệ giữa năng lượng và động lượng của nó giống như với một hạt cổ điển có khối lượng hiệu dụng $m_\text{eff }$, một khái niệm được gọi là chuẩn hạt (quasi-particle).
Các sóng spin có thể được kiểm nghiệm bằng thực nghiệm thông qua kỹ thuật tán xạ neutron không đàn hồi. Mặc dù các neutron không mang điện tích, nhưng chúng có spin hữu hạn, cho phép chúng tương tác với các spin khác.
Bây giờ ta xét lại chuỗi gồm $N$ spin như trong Phần B nhưng các vector spin giờ đây chỉ được phép hướng lên hoặc hướng xuống theo trục $z$, do đó, thành phần $z$ của mỗi spin được viết $S_{i,z} = s_i S$, trong đó, $s_i=\pm 1$, xem Hình C.1. Ngoài tương tác với các spin lân cận gần nhất, giả sử còn có từ trường ngoài hướng theo trục $z$, khi đó, tổng năng lượng của hệ được cho bởi:
$$E=-\tilde{J}\sum_{i} s_i s_{i+1} - h \sum_{i} s_i.$$
Ta giả sử rằng $\tilde{J}\geq0$, và $h$ là một hằng số phụ thuộc vào từ trường ngoài. Hệ spin đang ở trạng thái cân bằng nhiệt với một bể nhiệt tại nhiệt độ $T$. Bỏ qua hiệu ứng biên của chuỗi.
Trong các câu hỏi còn lại, chúng ta tắt từ trường ngoài, vì vậy $h=0$ và đặt $\tilde{J}>0$.
Thay vì xét các tương tác giữa mỗi spin với các spin lân cận của nó, ta giả sử rằng mỗi spin thấy spin lân cận có độ phân cực trung bình là $\bar{s}$.
$$E=-\tilde{J}_{\text{eff}} \sum_i s_i$$hãy viết biểu thức $\tilde{J}_{\text{eff}}$ theo $\tilde{J}$ và $\bar{s}$.