În fizica clasică, momentul cinetic provine din mișcarea unui corp în jurul unei axe - fie că este vorba de un giroscop care se învârte, o planetă care se rotește sau un electron care orbitează în atom. Cu toate acestea, în fizica cuantică, particulele fundamentale posedă un moment cinetic intrinsec și cuantificat, numit spin. Această proprietate joacă un rol crucial în diverse fenomene fizice, de la proprietățile materialelor, cum ar fi magnetismul, la aplicații moderne, cum ar fi calculul cuantic.
În această problemă vom trata spinul în mod clasic, ceea ce va conduce la unele rezultate calitativ corecte. Veți explora fizica sistemelor de spini prin intermediul interacțiunilor spin-spin, evoluția în câmpuri magnetice și fizica statistică, pentru a înțelege apariția undelor de spin și a tranzițiilor de fază în magneți.
Informații utile:
$\cosh(x)\equiv \frac{e^x+e^{-x}}{2} $, $\sinh(x)\equiv \frac{e^x-e^{-x}}{2}$, $\tanh(x)\equiv \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \approx x-\frac{1}{3}x^3$ pentru $|x|\ll1$
Câmpul magnetic datorat unui dipol magnetic de moment $\vec{\mu}$ într-un punct descris de vectorul de poziție $\vec{r}$ față de dipol este dat de ($\mu_0$ este permeabilitatea magnetică a vidului):
$$\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\pi} \left(\frac{3(\vec{\mu}\cdot\vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right)$$
Considerați un inel cu raza $R$, masa totală $M$ și sarcina $Q>0$ distribuită uniform. Inelul se rotește cu o viteză unghiulară $\omega$ în jurul axei perpendiculare pe planul său, care trece prin centrul său de masă.
Inelul este plasat într-un câmp magnetic uniform, slab, $\vec{B}=B\hat{z}$, formând un unghi $\theta$ cu $\vec{\omega}$, vezi Figura A.1.
Acum întrerupem câmpul magnetic extern și plasăm un inel identic la o distanță orizontală $d\gg R$ de primul inel, astfel încât momentul magnetic $\vec{\mu}_2$ al noului inel formează un unghi $\theta$ cu $\vec{\mu}_1$, a se vedea Figura A.2.
În cele ce urmează vom studia dinamica spinilor. Un spin este reprezentarea unei particulă cu moment cinetic intrinsec $\vec{S}$, care are un moment magnetic asociat $\vec{\mu}$ legat de $\vec{S}$ prin intermediul raportului giromagnetic, $\vec{\mu}=\gamma \vec{S}$, ca în Partea A.1.
Dipolii magnetici ai spinilor interacționează între ei. Totuși, această interacțiune este neglijabilă, în comparație cu cele de origine pur cuantică, care nu sunt prezente în sistemele clasice. Interesant este faptul că energia asociată acestei interacțiuni cuantice are aceeași formă pe care am determinat-o în partea A.3,proporțională cu $\vec{S}_1\cdot \vec{S}_2$, dar cu semn opus.
Acum vom analiza un lanț foarte lung de spini. Pozițiile spinilor sunt fixate de-a lungul axei $x$, cu o distanță $a$ care îi separă, a se vedea Figura B.1. Vom aproxima energia totală a sistemului luând în considerare doar interacțiunile dintre cei mai apropiați vecini, astfel încât energia poate fi scrisă ca
$$E=-J \sum_i \vec{S}_i\cdot \vec{S}_{i+1}$$
unde $J>0$ este tăria interacțiunii, iar $\vec{S}_i$ este vectorul moment cinetic de spin al celui de-al $i$-lea dipol, cu modulul $S$. Vectorii de spin sunt liberi să se rotească în trei dimensiuni. Observați că semnul energiei este diferit față de ultima parte. Această interacțiune este de natură pur cuantică.
Pentru restul Părții B, presupunem că sistemul este puternic magnetizat de-a lungul direcției $z$, astfel încât să putem utiliza aproximațiile $S_{i,z}\approx S$ și $dS_{i,z}/dt\approx0$ pentru fiecare spin (v. Figura B.2). În acest regim, setul de ecuații care descrie evoluția în timp a spinilor este satisfăcut de o soluție sub forma unei unde progresive pentru $S_{i,x}$ și $S_{i,y}$ , caracterizată de un număr de undă $k$ și o frecvență unghiulară $\omega$.
Deduceți relația dintre $\omega$ și $k$ (cunoscută sub numele de relația de dispersie, $\omega(k)$) pentru undele de spin, în funcție de $J, S$ și $a$.
Indicație: exprimați poziția celui de-al $i$-lea spin ca $x=a\cdot i$.
Unda de spin descrisă mai sus transferă energie și impuls. La energii mici, relația dintre energie și impuls se aseamănă cu cea a unei particule clasice masive cu o masă efectivă $m_\text{eff }$, un concept cunoscut sub numele de cvasi-particulă.
Undele de spin pot fi examinate experimental prin împrăștierea inelastică a neutronilor de către aceste unde. Deși neutronii au sarcină electrică netă zero, ei au un spin finit, ceea ce le permite să interacționeze cu alți spini.
În continuare, considerăm același lanț format din $N$ spini din partea B, cu excepția faptului că vectorii de spin sunt acum restricționați de-a lungul axei $z$, având sensul în sus sau în jos, astfel încât componenta de spin de-a lungul $z$ poate fi scrisă ca $S_{i,z} = s_i S$, unde $s_i=\pm 1$ (v. Figura C.1). În plus față de interacțiunile celor mai apropiați vecini, am putea avea un câmp magnetic extern orientat de-a lungul axei $z$, astfel încât energia totală a sistemului să fie dată de
$$E=-\tilde{J}\sum_i s_i s_{i+1} - h \sum_i s_i.$$
Presupunem $\tilde{J}\geq0$, iar $h$ este o constantă dependentă de câmpul magnetic. Sistemul de spini este în echilibru cu un termostat, aflat la temperatura $T$. Ignorați marginile lanțului.
În toate sarcinile de lucru care urmează, câmpul magnetic este înlăturat, deci $h=0$, și stabilim $\tilde{J}>0$.
În loc să luăm în considerare interacțiunile dintre fiecare spin și vecinii săi, presupunem că fiecare spin „simte” o polarizare medie $\bar{s}$ de la vecinii săi cei mai apropiați.
$$E=-\tilde{J}_{\text{eff}} \sum_i s_i$$și exprimați $\tilde{J}_{\text{eff}}$ în funcție de $\tilde{J}$ și de $\bar{s}$.