고전 물리학에서 각운동량은 회전하는 팽이, 회전하는 행성, 원자 궤도를 도는 전자 등과 같이 축을 중심으로 회전하는 물체의 운동에서 발생합니다. 그러나 양자 물리학에서는 기본 입자들이 스핀이라고 하는 내재적이고 양자화된 형태의 각운동량을 가지고 있습니다. 이 속성은 자성과 같은 물질의 성질부터 양자 컴퓨팅과 같은 최신 응용 분야에 이르기까지 다양한 물리적 현상에서 중요한 역할을 합니다.
이 문제에서는 스핀을 고전적으로 다루지만 질적으로는 올바른 결과를 도출할 것입니다. 스핀-스핀 상호작용, 자기장 안에서의 스핀의 시간에 따른 변화, 그리고 통계 물리학을 통해서 우리는 스핀 시스템의 물리학을 탐구하며 자석에서 스핀 파의 출현과 상전이를 이해할 것입니다.
유용한 정보:
$\cosh(x)\equiv \frac{e^x+e^{-x}}{2} $, $\sinh(x)\equiv \frac{e^x-e^{-x}}{2}$, $\tanh(x)\equiv \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \approx x-\frac{1}{3}x^3$, $|x|\ll1$
자기 쌍극자 모멘트 $\vec{\mu}$에 의한 자기장은 쌍극자로부터 $\vec{r}$만큼 떨어진 곳에서 다음과 같이 주어집니다 ($\mu_0$은 진공 투과성):
$$\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\pi} \left(\frac{3(\vec{\mu}\cdot\vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right)$$
반지름이 $R$이고, 총 질량이 $M$인, 전하 $Q>0$ 가 균일하게 분포된 원형 고리를 생각해 봅시다. 고리는 질량 중심을 통과하는 수직 축을 중심으로 각속도 $\omega$ 로 회전합니다.
고리가 균일한 약한 자기장 $\vec{B}=B\hat{z}$ 에 놓인 경우를 고려합시다. 이 때 $\vec{\omega}$가 자기장과 각도 $\theta$를 이루고 있습니다 (그림 A.1 참조).
이제 외부 자기장을 끄고, 동일한 원형 고리를 원래 고리와 수평 거리 $d\gg R$ 에 배치합니다. 새 고리의 자기 모멘트 $\vec{\mu}_2$ 가 $\vec{\mu}_1$과 각도 $\theta$를 이루도록 합니다( 그림 A.2 참조).
다음으로 스핀의 역학에 대해 알아보겠습니다. 스핀은 고유 각운동량( $\vec{S}$)을 가진 입자로, 파트 A.1, $\vec{\mu}=\gamma \vec{S}$ 에서와 같이 자기 회전 비율을 통해 $\vec{S}$ 와 관련된 자기모멘트( $\vec{\mu}$ )를 갖습니다.
두 스핀의 자기 쌍극자는 서로 상호작용합니다. 두 스핀 간에는 고전 시스템에는 존재하지 않는 양자역학적 기원에서 발생하는 다른 종류의 스핀 상호작용이 존재하는데, 이의 세기는 고전적 쌍극자 사이의 상호작용 세기 보다 큽니다. 흥미롭게도 이 양자 상호작용과 관련된 에너지는 부호가 반대이긴 하지만 파트 A.3에서 발견한 것과 동일한 형태, 즉, $\vec{S}_1\cdot \vec{S}_2$ 에 비례하는 형태를 가지고 있습니다.
이제 우리는 많은 수의 스핀이 직선 상에 배열된, 긴 스핀 사슬을 살펴볼 것입니다. 스핀의 위치는 $x$-축을 따라 고정되어 있으며, 인접한 두 스핀은 거리 $a$ 로 떨어져 있습니다 (그림 B.1 참조). 가장 가까운 이웃, 즉 바로 옆 스핀과의 상호 작용만 고려하여 시스템의 총 에너지를 근사하여 에너지를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$E=-J \sum_i \vec{S}_i\cdot \vec{S}_{i+1}$$
여기서 $J>0$ 은 상호작용 강도를 나타내는 상수이며, $\vec{S}_i$ 은 $i$번째 쌍극자의 스핀 각운동량 벡터로, 크기는 $S$ 입니다. 스핀 벡터는 3차원에서 자유롭게 회전할 수 있습니다. 여기서 에너지의 부호가 앞선 문제의 경우와 다르다는 것을 주의하기 바랍니다. 이 상호 작용은 순전히 양자 역학적인 기원을 갖고 있습니다.
파트 B의 나머지 부분에서는 시스템이 $z$ 방향을 따라 강하게 자화되어 있어서 각 스핀에 대해 근사치 $S_{i,z}\approx S$ 및 $dS_{i,z}/dt\approx0$ 를 사용할 수 있다고 가정합니다( 그림 B.2 참조). 이러한 상황에서 스핀의 시간 변화를 설명하는 방정식들을 살펴보면, $S_{i,x}$및 $S_{i,y}$ 에 대해 파동 벡터 $k$ 와 진동수 $\omega$ 를 갖는 진행파 (travelling wave) 해가 만족하는 것을 확인할 수 있습니다.
이 스핀 파동에 대해서 $\omega$와 $k$ 사이의 관계(분산 관계, $\omega(k)$)를 $J, S$와 $a$의 식으로 구하시오.
힌트: $i$번째 스핀의 위치를 $x=a\cdot i$ 로 표현합니다.
위에서 설명한 스핀파(spin wave)는 에너지와 운동량을 갖고 있습니다. 스핀파의 에너지가 작을 때, 스핀파의 에너지와 운동량 사이의 관계는 유효 질량 $m_\text{eff }$을 가진 고전적인 입자(준입자라고 알려진 개념)의 에너지-운동량 관계와 유사합니다.
중성자의 비탄성 산란을 이용하여 스핀파를 실험적으로 조사할 수 있습니다. 중성자는 전기 전하가 0이지만 0이 아닌 스핀을 갖고 있기 때문에 다른 스핀과 상호작용을 할 수 있습니다.
파트 B의 $N$ 스핀으로 이루어진 동일한 사슬을 고려하되, 이제는 스핀 벡터가 $z$-축을 따라 위 또는 아래를 가리키도록 제한되어 $z$ 방향 스핀 성분을 $S_{i,z} = s_i S$ (여기서 $s_i=\pm 1$, 그림 C.1 참조)로 쓸 수 있다고 하자. 바로 옆 스핀과의 상호작용과 함께 $z$-축 방향으로 가해진 외부 자기장에 따른 에너지를 포함해서 시스템의 총 에너지는 다음과 같이 주어집니다.
$$E=-\tilde{J}\sum_{i} s_i s_{i+1} - h \sum_{i} s_i.$$
여기서 $\tilde{J}\geq0$이며 $h$는 자기장에 따라 달라지는 상수라고 가정합니다. 스핀 시스템은 온도 $T$ 를 갖는 열저장체와 열적 평형을 이루고 있습니다. 스핀 사슬의 가장자리는 무시합니다.
이제 자기장을 끄고 (즉, $h=0$ ), $\tilde{J}>0$ 인 경우를 살펴봅니다.
이제 각 스핀과 이웃 스핀 사이의 상호작용을 고려하는 대신, 각 스핀이 이웃하는 스핀들로부터 각각 평균 편광( $\bar{s}$ )을 본다고 가정합니다.
$$E=-\tilde{J}_{\text{eff}} \sum_{i} s_i$$$\tilde{J}_{\text{eff}}$를 $\tilde{J}$ 및 $\bar{s}$ 의 식으로 구하시오.