Если уравнение можно представить в виде $f(x)\,\mathrm dx = g(y)\, \mathrm dy$, то уравнение решается интегрированием левой и правой частей. Константа интегрирования определяется из начального/граничного условия.
Если при замене $x\to \lambda x$, $y\to \lambda y$ уравнение переходит в себя же, то подстановкой $y(x) = t(x)\cdot x$ оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Производная \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) находится в этом случае как \( y'(x) = t'(x) \cdot x + t(x) \).
Если уравнение представимо в виде \( P(x)y' + Q(x)y = R(x) \), то оно называется линейным. Если при этом ещё \( R(x) \equiv 0 \), уравнение называется однородным. Сумма решений линейного однородного уравнения также является его решением. Любое решение неоднородного уравнения (с произвольным \( R(x) \)) представляет собой сумму частного решения и некоторого решения однородного уравнения, определяемого начальными условиями. Решение неоднородного уравнения можно найти с помощью метода вариации постоянной.
Решим однородное линейное уравнение \( P(x)y' + Q(x)y =0\):\[\dfrac{\mathrm dy}{y}=-\dfrac{Q(x)}{P(x)}\,\mathrm dx\]\[y(x)=C\cdot \exp\left(-\int \dfrac{Q(x)}{P(x)}\,\mathrm dx\right)\]Это позволяет нам упростить задачу, если искать решение в виде:\[y(x)=C(x)\cdot \exp\left(-\int \dfrac{Q(x)}{P(x)}\,\mathrm dx\right),\]и тогда уравнение сводится к\[P(x)C'(x) \exp\left(-\int \dfrac{Q(x)}{P(x)}\,\mathrm dx\right)=R(x).\]Отсюда можно найти зависимость $C(x)$:\[C(x)=\int\dfrac{R(x)}{P(x)}\exp\left(\int \dfrac{Q(x)}{P(x)}\,\mathrm dx\right)\,\mathrm dx+\operatorname{const},\]где $\operatorname{const}$ определяется из начальных условий.
Если в уравнении явно отсутствует функция \( y \), его можно решать относительно её производной \( y' \). Если в уравнении явно отсутствует переменная \( x \), то необходимо использовать замену \[ y' = z(y) \] (здесь \( z \) — функция \( y \), это важно!). Тогда производная \[ \dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dx} = \dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dy} \cdot \dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = \dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dy} \cdot z. \] Решаем диффур на \( z(y) \), после чего решаем диффур \[ \dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = z(y). \]
Для решения системы дифференциальных уравнений полезно получить выражение, которое можно проинтегрировать по одной из переменных.
Дифференциальные уравнения можно обобщить на функции нескольких переменных. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями в частных производных. Решать такие уравнения зачастую гораздо сложнее, чем обыкновенные.
Самый простой тип дифференциальных уравнений в частных производных – линейные. Они имеют вид:\[\sum_iA_i(x_j,f)\dfrac{\partial f}{\partial x_i}=0,\tag{#}\]где $A_i(x_j,f)$ – некоторые заданные коэффициенты, $x_i$ – $n$ независимых переменных. С геометрической точки зрения это можно рассматривать как условие перпендикулярности вектора $\displaystyle\sum_iA_i(x_j,f)\hat x_i$ градиенту $f$. Таким образом, задачу можно свести к построению семейства кривых, перпендикулярных градиенту $f$, на которых $f$ постоянна. Эти кривые называют характеристическими. Приращения переменных $\mathrm dx_i$ вдоль характеристической кривой связаны соотношениями:\[\dfrac{\mathrm dx_1}{A_1(x_j,f)}=\dfrac{\mathrm dx_2}{A_2(x_j,f)}=\ldots=\dfrac{\mathrm dx_n}{A_n(x_j,f)}\]Решая эту систему, можно в общем случае получить $n-1$ комбинаций $\Phi_\alpha(x_i)$, таких что $\mathrm d\Phi_\alpha(x_i)=0$. Такие комбинации называют первыми интегралами системы. Непосредственной подстановкой несложно убедиться, что любая функция первых интегралов $F(\Phi_\alpha(x_i))$ будет являться решением исходного уравнения $(\#)$.
Также часто встречаются дифференциальные уравнения в частных производных в виде:\[\sum_iA_i(x_j,f)\dfrac{\partial f}{\partial x_i}=A_{n+1}(x_j,f)\tag{##}\]Они называются квазилинейными. Для их решения нужно решить вспомогательное уравнение\[\sum_iA_i(x_j,f)\dfrac{\partial g}{\partial x_i}+A_{n+1}(x_j,f)\dfrac{\partial g}{\partial f}=0,\]где $g(x_i,f)$ – некоторая новая функция, а $f$ считается независимой переменной. Тогда несложно проверить, что исходное уравнение $(\#\#)$ можно решить, выразив $f(x_i)$ из уравнения $g(x_i,f)=0$.
В аналитической механике и статистической физике необходим инструмент для сведения дифференциальных уравнений второго порядка (например, второго закона Ньютона) к системам уравнений первого порядка. Для этого обычному пространству $\vec r$ ставится в соответствие фазовое пространство $(\vec r,\vec p)$, в котором импульс считается независимой переменной. Тогда уравнение $\ddot{\vec r}=\vec F(\vec r,\dot{\vec r})$ сводится к системе:\[\begin{cases}\dot{\vec r}=\vec p\\\dot{\vec p}=\vec F(\vec r,\vec p)\end{cases}\]В некотором смысле точка $(\vec r,\vec p)$ фазового пространства, описывающая состояние системы, движется в нём со «скоростью» $\left(\dot{\vec r},\dot{\vec p}\right)=\left(\vec p,\vec F\right)$. В простейшем одномерном случае точка $(x,\dot x)$ движется в двумерном фазовом пространстве со «скоростью» $(\dot x,\ddot x)$, где $\ddot x$ определяется из уравнения движения.
Для качественного анализа систем уравнений первого порядка используются фазовые диаграммы: семейства интегральных кривых векторного поля скоростей точек в фазовом пространстве.
Нарисуйте фазовые диаграммы для следующих уравнений. Явно найдите точки, в которых система находится в положении равновесия в фазовом пространстве, и линеаризуйте приведённую систему в окрестностях этих точек. По линеаризованному виду сделайте вывод о поведении диаграммы в окрестностях положений равновесия.
Несколько различных физических задач, где нужно «уметь» в диффуры.
Частица начинает двигаться по окружности с постоянным по модулю ускорением.
Покоящемуся маятнику, подвешенному на нити, мгновенно придают скоростью $v_0$.
Теперь считайте силу сопротивления воздуха равной $-k\vec v$, где $k>0$.
Вода налита в достаточно широкую кастрюлю. Плотность воды $\rho$, поверхностное натяжение $\sigma$, ускорение свободного падения $g$, угол смачивания $\theta$. Горизонтальную координату будем отсчитывать вдоль оси $x$ в сторону кастрюли, вертикальную – вниз вдоль оси $y$. Начало координат – в верхней точке жидкости.