Pho.rs: Дифференциальные уравнения

1 ^?? $(x^2 - 1)y' + 2xy^2 = 0$, начальное условие: $y(0) = 1$

2 ^?? $y' \mathrm {ctg}~ x + y = 2$, граничное условие: $y(x) \to -1$ при $x \to 0$

3 ^?? $y' - xy^2 = 2xy$

4 ^?? $z' = 10^{x+z}$

5 ^?? $3y^2y' + 16x = 2xy^3$, граничное условие: $y(x)$ ограничено при $x \to +\infty$

1 ^?? $(x - y) + (x + y)y' = 0$

2 ^?? $(y^2 - 2xy) + x^2y' = 0$

3 ^?? $xy' = y - xe^{y/x}$

4 ^?? $(y + \sqrt{xy}) = x \cdot y'$

1 ^?? $(2x + 1)y' = 4x + 2y$

2 ^?? $(xy + e^x) - x \cdot y' = 0$

3 ^?? $y = x(y' - x \cos x)$

4 ^?? $y' = \dfrac{y}{3x - y^2}$

5 ^?? $y' + 2y = y^2 e^x$

6 ^?? $(x + 1)(y' + y^2) = -y$

7 ^?? $y' = y^4 \cos x + y \cdot \operatorname{tg} x$

8 ^?? $xy^2 y' = x^2 + y^3$

9 ^?? $xy \cdot y' = (y^2 + x)$

10 ^?? $xy' - 2x^2 \sqrt{y} = 4y$

11 ^?? $xy' + 2y + x^5 y^3 e^x = 0$

12 ^?? $2y' - \dfrac{x}{y} = \dfrac{xy}{x^2 - 1}$

H1 Выразите зависимость $x(y)$.

13 ^?? $y' x^3 \sin y = xy' - 2y$

14 ^?? $(2x^2 y \ln y - x) y' = y$

1 ^?? $x^2 y'' = y'^2$

H1 Возможно, вам пригодится запись $p=y'$.

2 ^?? $y^3 y'' = 1$

3 ^?? $y'' + y'^2 = 2e^{-y}$

4 ^?? $y'' (2y' + x) = 1$

1 ^?? $y' = \dfrac{x}{z}, \quad z' = -\dfrac{x}{y}$

H1 Необязательно выражать ответы через $x$.

2 ^?? $y' = \dfrac{y^2}{z - x}, \quad z' = y + 1$

3 ^?? $y' = \dfrac{z}{x}, \quad z' = \dfrac{z(y + 2z - 1)}{x(y - 1)}$

4 ^?? $y' = y^2 z, \quad z' = \dfrac{z}{x} - y z^2$

5 ^?? $2 z y' = y^2 - z^2 + 1, \quad z' = z + y$

1 ^?? $xy \dfrac{\partial z}{\partial x} + xz \dfrac{\partial z}{\partial y} = yz, \quad z = 1 + y^2$ при $x = 1$

2 ^?? $\dfrac{\partial z}{\partial x} + (z - x^2) \dfrac{\partial z}{\partial y} = 2x,\quad z = x^2 + x$ при $y = 2x^2$

3 ^?? $y \dfrac{\partial z}{\partial x} + xz \dfrac{\partial z}{\partial y} = yz, \quad z = -y^2$ при $x = 0$

4 ^?? $xz \dfrac{\partial z}{\partial x} + yz \dfrac{\partial z}{\partial y} = x^3 + y, \quad z = 4y^3$ при $x = 3y^2$

5 ^?? Волновое уравнение $\dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}$

1 ^?? $\ddot{x} - 4\dot{x} + 3x = 0$

2 ^?? $\ddot{x} + 2\dot{x} + 5x = 0$

3 ^?? $\ddot{x} - \dot{x} - 2x = 0$

4 ^?? $\ddot{x} + 2\dot{x} + \dot{x}^2 + x = 0$

5 ^?? $\ddot{x} + \dot{x} + 2x - x^2 = 0$

6 ^?? $\ddot{x} + \dot{x}^2 - x^2 + 1 = 0$

1.1 ^?? Найдите период колебаний \[ \ddot{x} + x^{3/2} = 0\] с амплитудой $A$. Ответ можно выразить через интеграл, содержащий непараметризованный интеграл.

Подсказка: используйте соотношение \[ {\ddot x} \, \mathrm dx = \dot{x} \, \mathrm d\dot{x}. \]

2.1 ^?? Какое расстояние она пройдет к моменту достижения максимальной скорости? Радиус окружности $ R $. Ответ может содержать безразмерный непараметризованный интеграл.

H1 Постарайтесь избавиться от зависимостей от времени

3.1 ^?? Найдите закон движения тела $ h(t), \, t \in \mathbb{R} $, на которое действует сила сопротивления воздуха \[ \vec{F} = -kv\vec{v}. \] В момент времени $t = 0$: \[\, h = \dot{h} = 0 \]

H1 Рассмотрение случая отрицательных времен можно свести к переобозначению $g$.

3.2 ^?? Тело брошено со скоростью $ v $ под углом $ \theta $ к горизонту. На него действуют сила тяжести $ m\vec{g} $ и сопротивление воздуха $ -k\vec{v} $. Найдите траекторию тела $ y(x) $.

4.1 ^?? Запишите выражение для периода колебаний маятника после установления движения. Постройте качественный график, укажите на нём важные точки. Вязкостью воздуха можно пренебречь, $m=g=l=1$.

H1 Воспользуйтесь законом сохранения энергии.

4.2 ^?? Найдите период колебаний маятника через достаточное большое (но не очень большое =)) время. Ответ может содержать невычисленные интегралы.

5.1 ^?? Определите уравнение кривой $x(y)$.

Дифференциальные уравнения

Подсказки