Pho.rs: Дифференциальные уравнения

1 ^?? $(x^2 - 1)y' + 2xy^2 = 0$, начальное условие: $y(0) = 1$

Ответ: \[
y = \frac{1}{\ln|x^2 - 1| + 1}
\]

2 ^?? $y' \mathrm {ctg}~ x + y = 2$, граничное условие: $y(x) \to -1$ при $x \to 0$

Ответ: \[
y = 2 - 3 \cos x
\]

3 ^?? $y' - xy^2 = 2xy$

Ответ: \[
y = \frac{1}{ -\frac{1}{2} + C e^{-x^2} }
\]

4 ^?? $z' = 10^{x+z}$

Ответ: \[
z = -\log_{10}(C - 10^{x})
\]

5 ^?? $3y^2y' + 16x = 2xy^3$, граничное условие: $y(x)$ ограничено при $x \to +\infty$

Ответ: \[
y =2
\]

1 ^?? $(x - y) + (x + y)y' = 0$

Ответ: \[
\arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) - \ln|x| = C
\]

2 ^?? $(y^2 - 2xy) + x^2y' = 0$

Ответ: \[
y = \frac{C x^2}{1 + C x}
\]

3 ^?? $xy' = y - xe^{y/x}$

Ответ: \[
e^{-\frac{y}{x}} = \ln|x| + C
\]

4 ^?? $(y + \sqrt{xy}) = x \cdot y'$

Ответ: \[
2 \sqrt{\frac{y}{x}} - \ln|x| = C
\]

1 ^?? $(2x + 1)y' = 4x + 2y$

Ответ: \[
y = (2x + 1)\ln|2x + 1| + 1 + C(2x + 1)
\]

2 ^?? $(xy + e^x) - x \cdot y' = 0$

Ответ: \[
y = e^x (\ln|x| + C)
\]

3 ^?? $y = x(y' - x \cos x)$

Ответ: \[
y = x (\sin x + C)
\]

4 ^?? $y' = \dfrac{y}{3x - y^2}$

Ответ: \[
x = y^2 + C y^3
\]

5 ^?? $y' + 2y = y^2 e^x$

Ответ: \[
y = \frac{1}{e^{x} + C e^{2x}}
\]

6 ^?? $(x + 1)(y' + y^2) = -y$

Ответ: \[
y = \frac{1}{C(x + 1) - 1}
\]

7 ^?? $y' = y^4 \cos x + y \cdot \operatorname{tg} x$

Ответ: \[
y=-\dfrac{1}{\cos x\sqrt[3]{3(\mathrm {tg} x+C})}
\]

8 ^?? $xy^2 y' = x^2 + y^3$

Ответ: \[
y^3 = -3 x^2 + C x^3
\]

9 ^?? $xy \cdot y' = (y^2 + x)$

Ответ: \[
y = \sqrt{C x^2 - 2 x}
\]

10 ^?? $xy' - 2x^2 \sqrt{y} = 4y$

Ответ: \[
y = x^4 (\ln|x| + C)^2
\]

11 ^?? $xy' + 2y + x^5 y^3 e^x = 0$

Ответ: \[
y = \frac{1}{x^2 \sqrt{2 e^x + C}}
\]

12 ^?? $2y' - \dfrac{x}{y} = \dfrac{xy}{x^2 - 1}$

Ответ: \[
y=\sqrt{x^2-1+C\sqrt{x^2-1}}
\]

13 ^?? $y' x^3 \sin y = xy' - 2y$

Ответ: \[x=\sqrt{\dfrac{y}{C-\cos y}}\]

14 ^?? $(2x^2 y \ln y - x) y' = y$

Ответ: \[x=\dfrac{1}{y(C-\ln^2 y)}\]

1 ^?? $x^2 y'' = y'^2$

Ответ: \[
y = -\frac{1}{C_1^2} \ln|1 + C_1 x| + \frac{x}{C_1} + C_2.
\]

2 ^?? $y^3 y'' = 1$

\[
x=\sqrt{C_1 y^2-1}+C_2
\]

3 ^?? $y'' + y'^2 = 2e^{-y}$

Ответ: \[x=\sqrt{e^y+C_1}+C_2\]

4 ^?? $y'' (2y' + x) = 1$

\[y = \frac{\sqrt 2}{3} (x + C_1)^{\frac{3}{2}} - \frac{x^2}{4} + C_2\]

1 ^?? $y' = \dfrac{x}{z}, \quad z' = -\dfrac{x}{y}$

\[
y = \frac{C_1}{x} , \quad z =-\frac {x^3}{3C_1}+C_2.
\]

2 ^?? $y' = \dfrac{y^2}{z - x}, \quad z' = y + 1$

Ответ: \[
y = C_1 C_2 e^{C_1 x}, \quad z = x + C_2 e^{C_1 x}
\]

3 ^?? $y' = \dfrac{z}{x}, \quad z' = \dfrac{z(y + 2z - 1)}{x(y - 1)}$

Ответ: \[z=C_1(y-1)^2-(y-1), \quad x=C_2\frac{C_1(y-1)-1}{y-1}\]

4 ^?? $y' = y^2 z, \quad z' = \dfrac{z}{x} - y z^2$

Ответ: \[
\begin{cases}
y(x) = \dfrac{1}{C_1 x - \ln|x| + C_2}, \\
z(x) = \dfrac{C_1 x}{C_1 x - \ln|x| + C_2},
\end{cases}
\]

5 ^?? $2 z y' = y^2 - z^2 + 1, \quad z' = z + y$

\[
\begin{cases}
z(x) = \dfrac{(C (x + D)/2)^2 + 1}{C}, \\
y(x) = \dfrac{C (x + D)}{2} - \dfrac{(C (x + D)/2)^2 + 1}{C}
\end{cases}
\]

1 ^?? $xy \dfrac{\partial z}{\partial x} + xz \dfrac{\partial z}{\partial y} = yz, \quad z = 1 + y^2$ при $x = 1$

\[
z = \frac{1 + y^2}{x}
\]

2 ^?? $\dfrac{\partial z}{\partial x} + (z - x^2) \dfrac{\partial z}{\partial y} = 2x,\quad z = x^2 + x$ при $y = 2x^2$

Ответ: \[
z = x^2 + x, \quad y = 2x^2
\]

3 ^?? $y \dfrac{\partial z}{\partial x} + xz \dfrac{\partial z}{\partial y} = yz, \quad z = -y^2$ при $x = 0$

Ответ: \[
z = -y^2 e^x
\]

4 ^?? $xz \dfrac{\partial z}{\partial x} + yz \dfrac{\partial z}{\partial y} = x^3 + y, \quad z = 4y^3$ при $x = 3y^2$

Ответ: \[z^2 = x^4 + \frac{2}{3}x^3.
\]

5 ^?? Волновое уравнение $\dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}$

Ответ: \[
u(x, t) = f(x - ct) + g(x + ct)
\]

1 ^?? $\ddot{x} - 4\dot{x} + 3x = 0$

Точка равновесия: $(0;0)$
Линеаризация:
\[
J = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-3 & 4 \\
\end{pmatrix}, \quad \lambda = 1, 3 \quad (\text{неустойчивый узел}).
\]

2 ^?? $\ddot{x} + 2\dot{x} + 5x = 0$

Точка равновесия: $(0;0)$
Линеаризация:
\[
J = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-5 & -2 \\
\end{pmatrix}, \quad \lambda = -1 \pm 2i \quad (\text{устойчивый фокус}).
\]

3 ^?? $\ddot{x} - \dot{x} - 2x = 0$

Точка равновесия: $(0;0)$
Матрица Якоби:
\[
J = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
2 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Собственные значения:
\[
\lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = -1 \quad (\text{седло}).
\]

4 ^?? $\ddot{x} + 2\dot{x} + \dot{x}^2 + x = 0$

Система первого порядка:

\[ \begin{cases} \dot{x} = y, \\ \dot{y} = -2y - x^2 - x. \end{cases} \]

Находим точки, где $\dot{x} = 0$ и $\dot{y} = 0$:
\[
y = 0, \quad -x^2 - x = 0 \implies x(x + 1) = 0.
\]
Таким образом, точки равновесия: $(0, 0)$ и $(-1, 0)$.

Линеаризация:

В точке $(0, 0)$: Устойчивый узел ($\lambda = -1$).

В точке $(-1, 0)$: Седло ($\lambda = -1 \pm \sqrt{2}$).

5 ^?? $\ddot{x} + \dot{x} + 2x - x^2 = 0$

Точки равновесия: $(0, 0)$ и $(2, 0)$
В $(0, 0)$: Матрица Якоби:
\[
J = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-2 & -1
\end{pmatrix}, \quad \lambda = \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{2} \quad (\text{устойчивый фокус}).
\]
В $(2, 0)$: Матрица Якоби:
\[
J = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
2 & -1
\end{pmatrix}, \quad \lambda = 1, -2 \quad (\text{седло}).
\]

6 ^?? $\ddot{x} + \dot{x}^2 - x^2 + 1 = 0$

Точки равновесия: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.
В $(1, 0)$: Матрица Якоби:
\[
J = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
2 & 0
\end{pmatrix}, \quad \lambda = \pm \sqrt{2} \quad (\text{седло}).
\]
В $(-1, 0)$: Матрица Якоби:
\[
J = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-2 & 0
\end{pmatrix}, \quad \lambda = \pm i\sqrt{2} \quad (\text{центр}).
\]

1.1 ^?? Найдите период колебаний \[ \ddot{x} + x^{3/2} = 0\] с амплитудой $A$. Ответ можно выразить через интеграл, содержащий непараметризованный интеграл.

Подсказка: используйте соотношение \[ {\ddot x} \, \mathrm dx = \dot{x} \, \mathrm d\dot{x}. \]

Ответ: \[T=\frac{2\sqrt 5}{\sqrt[4]A}\int_0^1 \dfrac{\mathrm d\xi}{\sqrt{1-\xi^{\frac{5}{2}}}}\]

2.1 ^?? Какое расстояние она пройдет к моменту достижения максимальной скорости? Радиус окружности $ R $. Ответ может содержать безразмерный непараметризованный интеграл.

Ответ: \[S=\frac{\pi R}{4}\]

3.1 ^?? Найдите закон движения тела $ h(t), \, t \in \mathbb{R} $, на которое действует сила сопротивления воздуха \[ \vec{F} = -kv\vec{v}. \] В момент времени $t = 0$: \[\, h = \dot{h} = 0 \]

Ответ: \[
h(t) =- \frac{m}{k} \ln\left(\mathrm{ch}\left(\sqrt{\frac{kg}{m}} t\right)\right), t>0
\]
\[
h(t) = -\frac{m}{k} \ln\left(\cos\left(\sqrt{\frac{kg}{m}} t\right)\right), t<0
\]

3.2 ^?? Тело брошено со скоростью $ v $ под углом $ \theta $ к горизонту. На него действуют сила тяжести $ m\vec{g} $ и сопротивление воздуха $ -k\vec{v} $. Найдите траекторию тела $ y(x) $.

Ответ: \[
y(x) = \left(\tan\theta + \frac{mg}{k v \cos\theta}\right) x - \frac{m^2 g}{k^2} \ln\left(1 - \frac{k x}{m v \cos\theta}\right)
\]

4.1 ^?? Запишите выражение для периода колебаний маятника после установления движения. Постройте качественный график, укажите на нём важные точки. Вязкостью воздуха можно пренебречь, $m=g=l=1$.

Уравнение движения маятника:
\[
\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l} \sin\theta = 0.
\]
Энергетический подход:
\[
E = \frac{1}{2} l^2 \dot{\theta}^2 + g l (1 - \cos\theta) = \text{const}.
\]
Период колебаний выражается через эллиптический интеграл первого рода:
\[
T = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} \int_0^{\theta_0} \frac{d\theta}{\sqrt{\sin^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}},
\]
где $\theta_0=\arccos \left(1-\frac{v_0^2}{2}\right)$ — максимальный угол отклонения.
Также возможно провисание нити. Выразив $v$ из ЗСЭ и записав условие провисания $a_n=-g\cos\theta$, получим угол отрыва:
\[\cos\theta=2-v_0^2\]Добавим время свободного полета.
В момент провисания:
\[v^2=\dfrac{v_0^2-2}{3}\]

4.2 ^?? Найдите период колебаний маятника через достаточное большое (но не очень большое =)) время. Ответ может содержать невычисленные интегралы.

Через большое время амплитуда станет малой, а период - классическим.

Ответ: \[T=2\pi\]

5.1 ^?? Определите уравнение кривой $x(y)$.

Ответ: \[
x(y)=\sqrt{\dfrac{2\sigma}{\rho g}}\int_0^{y\sqrt{\frac{\rho g}{2\sigma}}} \dfrac{\mathrm d\xi}{\sqrt{\dfrac{1}{(\xi^2-\sin\theta)^2}-1}}
\]

Дифференциальные уравнения

Решение