Неопределенный и определенный интегралы

• Функция \( F(x) \) называется первообразной функции \( f(x) \), если \( F'(x) = f(x) \). 
• Если \( F_1(x) \) — первообразная функции \( f(x) \), то \( F_2(x) \) также является первообразной \( f(x) \) тогда и только тогда, когда \( F_3(x) - F_1(x) = \text{const} \).
•  Неопределённым интегралом \( \displaystyle \int f(x)\,\mathrm dx \) функции \( f(x) \) называется множество всех первообразных функции \( f(x) \). Из предыдущего следует, что это множество функций, имеющих вид \( F(x) + \operatorname{const} \), где \( F(x) \) — любая первообразная \( f(x) \), \( \operatorname{const} \) — произвольное действительное число. Поэтому при вычислении неопределённого интеграла важно не забывать \( +\operatorname{const} \). 
• Определённый интеграл \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm dx \) имеет смысл «размерной» площади под графиком функции \( f(x) \) для \( x \in [a, b] \). В отличие от неопределённого интеграла определённый – это число. Строгое определение определённого интеграла сложно и сейчас не нужно. 
• Согласно формуле Ньютона–Лейбница определённый интеграл непрерывной на отрезке функции может быть вычислен как \[\displaystyle  \int_a^b f(x)\,\mathrm dx = F(b) - F(a), \] где \( F(x) \) — произвольная первообразная функция \( f(x) \). 

Табличные интегралы

1. \[ \int x^n \,\mathrm dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + \mathrm{const}, \quad n \neq -1, \quad x > 0 \]  
2. \[ \int \frac{\mathrm dx}{x} = \ln |x| + \mathrm{const} \] 
3. \[ \int a^x \,\mathrm dx = \frac{a^x}{\ln a} + \mathrm{const}, \quad \int e^x \,\mathrm dx = e^x + \mathrm{const} \]  
4. \[ \int \sin x \,\mathrm dx = -\cos x + \mathrm{const}, \quad \int \cos x \,\mathrm dx = \sin x + \mathrm{const} \]  
5. \[ \int \frac{\mathrm dx}{\cos^2 x} = \operatorname{tg}x + \mathrm{const}, \quad \int \frac{\mathrm dx}{\sin^2 x} = -\operatorname{ctg}x + \mathrm{const} \]  
6. \[ \int \frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin \frac{x}{a} + \mathrm{const} \]  
7. \[ \int \frac{\mathrm dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + \mathrm{const} \]  
8. \[ \int \frac{\mathrm dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{a + x}{a - x} \right| + \mathrm{const}, \quad |x| \neq a \]  
9. \[ \int \frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} = \ln \left| x + \sqrt{x^2 \pm a^2} \right| + \mathrm{const} \] 

Рациональные функции

Теория

• Рациональной называется функция, представимая в виде \( f(x)={P(x)}/{Q(x)} \), где \( P(x) \), \( Q(x) \) — многочлены.
• Дробь \({P(x)}/{Q(x)}\) называется правильной, если \( \deg P(x) < \deg Q(x) \).
• Если \( \deg P(x) > \deg Q(x) \), то полезно разделить многочлен \( P(x) \) на \( Q(x) \) с остатком \( (P(x) = D(x)Q(x) + R(x)) \), приводя к тождеству:\[\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{R(x)}{Q(x)} + D(x).\]
• Так как \( \deg R(x) < \deg Q(x) \), дробь \( {R(x)}/{Q(x)} \) правильная.
• Над полем действительных чисел любой многочлен со старшим коэффициентом, равным единице, может быть разложен в произведение степеней одночленов вида \( (x - x_i)^{k_i} \) и степеней неприводимых (т.е. не имеющих действительных корней) квадратных многочленов вида \( (x^2 + p_j x + q_j)^{k_j} \).
• Правильные дроби следующего вида могут быть разложены следующим образом:\[\frac{P(x)}{\widetilde{Q}(x)(x - x_i)^k} = \frac{A_k}{(x - x_0)^k} + \frac{A_{k-1}}{(x - x_0)^{k-1}} + \dots + \frac{A_1}{(x - x_0)} + \frac{\widetilde{P}(x)}{\widetilde{Q}(x)},\]\[\frac{P(x)}{\widetilde{Q}(x)(x^2 + px + q)^l} = \frac{B_l x + C_l}{(x^2 + px + q)^l} + \frac{B_{l-1} x + C_{l-1}}{(x^2 + px + q)^{l-1}} + \dots + \frac{B_1 x + C_1}{(x^2 + px + q)} + \frac{\widetilde{P}(x)}{\widetilde{Q}(x)}.\]Отсюда следует, что любую правильную дробь можно разложить в сумму членов вида\[\frac{A}{(x - x_0)^k} \quad \text{и} \quad \frac{Bx + C}{(x^2 + px + q)^l}.\]
• Коэффициенты разложения находятся путём приведения суммы к общему знаменателю и приравнивания коэффициентов при соответствующих степенях \( x \) в исходной дроби и в полученной. Иначе, после приведения к общему знаменателю можно подставлять в числители исходной и полученной дроби произвольные значения \( x \) и приравнивать результаты.
• После разложения можно проинтегрировать по отдельности полученные члены:\[\int \frac{A}{(x - x_0)^k} \,\mathrm  dx = \text{степенной табличный интеграл},\]\[\int \frac{Bx + C}{x^2 + px + q} \,\mathrm  dx = \frac{B}{2} \ln(x^2 + px + q) + \frac{C - Bp/2}{\sqrt{q - p^2/4}} \mathrm{arctg}~ \frac{x + p/2}{\sqrt{q - p^2/4}} + \mathrm{const}.\]Последнюю формулу запоминать необязательно, её легко можно получить при известных коэффициентах \( B, C, p, q \).
• Интеграл вида   \[
     \int \frac{Bx + C}{(x^2 + px + q)^l} \,\mathrm  dx
     \] выводится сложнее и практически гарантированно не встретится.

Практика

1 $\displaystyle\int \frac{\mathrm dx}{x^2 - x^3}=$

2 $\displaystyle\int \frac{x \,\mathrm dx}{(x + 1)(x + 2)(x - 3)}=$

3 $\displaystyle\int \frac{3x^3 - 5x + 8}{x^2 - 4} \,\mathrm dx=$

4 $\displaystyle\int \frac{x^2 - 2x - 5}{x^3 - x^2 + 2x - 2} \,\mathrm dx=$

Замена переменной интегрирования

Теория

• Часто удобно представить \( x \) в виде функции от другой переменной \( t \) (\( x = x(t) \)). Тогда верно следующее:\[\int_{x(t)}^{x(x)} f(x(t)) \,\mathrm dx(t) = \int_{t_1}^{t_2} f(x(t)) x'(t) \,\mathrm dt.\]
• Обратно, используя тождество \( \mathrm dG(x) = g(x) \,\mathrm dx \), получаем следующее:
     \[
     \int_{x_1}^{x_2} f(x) g(x) \,\mathrm dx = \int_{G(x_1)}^{G(x_2)} f(x) \,\mathrm dG(x).
     \]
• При поиске нужной замены часто полезны следующие тождества:\[\begin{align*}
         \sin^2 x + \cos^2 x &= 1, \\
         \cos^2 x &= \operatorname{tg}^2 x + 1, \\
         \sin^2 x &= \operatorname{ctg}^2 x + 1, \\
         \sin^2 x &= \cos x, \\
         \cos^2 x &= -\sin x.
     \end{align*}\]\[\begin{align*}
         \operatorname{ch}^2 x - \operatorname{sh}^2 x &= 1, \\
         \operatorname{ch}^2 x &= 1 - \operatorname{th}^2 x, \\
         \operatorname{sh}^2 x &= \operatorname{cth}^2 x - 1, \\
         \operatorname{sh}^\prime x &= \operatorname{ch}x, \\
         \operatorname{ct}^\prime x &= \operatorname{sh}x.
     \end{align*}\]Напомним, гиперболические функции определяются следующим образом:\[
     \begin{align*}
         \operatorname{sh}x &= \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \\
         \operatorname{ch}x &= \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \\
         \operatorname{th}x &= \frac{1}{\operatorname{cth}x} = \frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x}.
     \end{align*}\]Их свойства схожи со свойствами соответствующих тригонометрических функций, и это неслучайно: для тригонометрических функций справедливы похожие формулы Эйлера:\[\begin{align*}
         \sin x &= \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}, \\
         \cos x &= \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}.
     \end{align*}\]

Практика

1 $\displaystyle\int x \sin x^2 \, \mathrm dx=$

2 $\displaystyle\int \frac{\mathrm dx}{1 + \sqrt{x}}=$

3 $\displaystyle\int \operatorname{tg} x \, \mathrm dx=$

Интегрирование по частям

1 Докажите следующее утверждение:\[\int f(x)\,dg(x) = f(x)g(x) - \int g(x)\,df(x).\]

2 $\displaystyle\int xe^{x}\,\mathrm dx=$

3 $\displaystyle\int x^{2}e^{x}\,\mathrm dx=$

4 $\displaystyle\int\arcsin x\,\mathrm dx=$

5 $\displaystyle\int\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x}}\,\mathrm dx=$

Тригонометрические функции

Теория

• Универсальная тригонометрическая подстановка:\[\sin x = \frac{2t}{1 + t^{2}}, \quad \cos x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}.\]Здесь \( t = \mathrm{tg}~(x/2) \), а значит\[\mathrm dx = \frac{2\,\mathrm dt}{1 + t^{2}}.\]Эта подстановка позволяет сводить многие интегралы от функций, зависящих от \( \sin x \) и \( \cos x \), к интегралам от рациональных функций.
• Интегралы вида \[\int \sin^{m}(k_{1}x)\sin^{m}(k_{2}x)\dots\cos^{m_{1}}(l_{1}x)\cos^{m_{2}}(l_{2}x)\dots\,\mathrm dx\] где \( m_{i} \), \( n_{j} \) — натуральные (то есть произведение натуральных степеней синусов и косинусов с различными частотами), могут быть преобразованы к сумме интегралов от функций вида\[A\sin ax, \quad B\cos bx\]путём использования формул Эйлера для \( \sin x \), \( \cos x \).
  Выражение вида\[\left(\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right)^{n} \cdot \left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^{m}
     \] преобразуется после раскрытия скобок в указанную сумму.
• Могут быть полезны следующие тождества:\[\begin{aligned}
         \sin x &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right), \\
         \sin 2x &= 2\sin x \cos x, \\
         \cos 2x &= \cos^{2}x - \sin^{2}x = 2\cos^{2}x - 1 = 1 - 2\sin^{2}x,
     \end{aligned}
     \] а также указанные ранее в предыдущем разделе.

Практика

1 $\displaystyle\int \frac{\mathrm dx}{3 - 5\cos x}=$

2 $\displaystyle\int \frac{\mathrm dx}{3\sin x + 4\cos x + 5}=$

3 $\displaystyle\int \sin x \sin 3x \, \mathrm dx=$

4 $\displaystyle\int \cos^2 x \cos 2x \,\mathrm dx=$

Двойные (и не только) интегралы

Интегрирование по двум переменным можно выполнять сначала по одной из переменных, считая другую временно постоянной, затем по второй.

Пример. Вычислим $\int_D\int (x+y)\,\mathrm dx\mathrm dy$, где область $D$ ограничена $y=x$ и $y=x^2$. Считаем $x$ временно постоянным: \[\int_0^1\,\mathrm dx\int_{x^2}^x (x+y)\,\mathrm dy=\int_0^1(xy+y^2/2)|_{x^2}^x\,\mathrm dx=\int_0^1(3x^2/2-x^3-x^4/2)\,\mathrm dx=x^3/2-x^4/4-x^5/10|_0^1=3/20\]

Практика

1 $\displaystyle\int\int\int(y^2+z^2)\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=$

по объему $x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$

2 Граница эллипса задана уравнением $r=\dfrac{p}{1-e\cos\theta}$. Запишите выражение для малого элемента площади в полярных координатах, выразите площадь эллипса в полярных координатах и вычислите ее.

Интеграл Эйлера–Пуассона

Теория

Интеграл вида \( I(\alpha) = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x^2}\,\mathrm dx \) называется интегралом Эйлера–Пуассона.

Интеграл \( I(\alpha) \) сходится при любом \( \alpha > 0 \).

Интеграл вычисляется по формуле: \[ I(\alpha) = \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{\alpha}}. \]Так как \[ I(\alpha) = \int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x^2}\,\mathrm dx = \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \int_{0}^{+\infty} e^{-x^2}\,\mathrm dx, \] то достаточно вычислить \[ I(1) = I = \int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} \,\mathrm dx. \] Сделаем замену переменной \( x = ty \) (\( y > 0 \)): \[ I = y \int_{0}^{+\infty} e^{-t^2 y^2} \,\mathrm dt. \] Умножим это равенство на \( e^{-y^2} \) и проинтегрируем по \( y \) от $0$ до \( +\infty \): \[ I^2 = \int_{0}^{+\infty} I e^{-y^2} \,\mathrm dy = \int_{0}^{+\infty}\,\mathrm dy \int_{0}^{+\infty} y e^{-y^2(1 + t^2)}\,\mathrm dt. \] Изменим порядок интегрирования: \[ I^2 = \int_{0}^{+\infty} dt \int_{0}^{+\infty} y e^{-y^2(1 + t^2)} dy = \frac{\pi}{4}, \] откуда \[ I = \frac{\sqrt{\pi}}{2}. \]

Практика

1 $(a > 0,\ ac - b^2 > 0)\qquad \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(ax^2 + 2bx + c)} \, \mathrm dx=$

2 $(a > 0)\qquad \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2} \mathrm{ch}~(bx) \, \mathrm dx =$

Дифференцирование по параметру

В ряде случаев для упрощения вычислений полезно продифференцировать исходный интеграл по параметру.

1 $(a > 0)\qquad \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-\left(x^2 + \frac{a^2}{x^2}\right)} \mathrm{ch}(bx) \, \mathrm dx= $

2 $(a > 0,\ b > 0)\qquad \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-ax^2} - e^{-bx^2}}{x^2} \, \mathrm dx= $

3 $(a > 0)\qquad \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-ax^2} - \cos(bx)}{x^2} \, \mathrm dx =$

4 $(a > 0)\qquad\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-ax^2} \cos(bx) \, \mathrm dx =$

5 $ (\alpha > 0,\ b \in \mathbb{R}) \qquad \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(bx)}{x} e^{-\alpha x} \, \mathrm dx= $

6 $ (\alpha > 0,\ \beta > 0)\qquad\displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x^2 - \frac{\beta}{x^2}} \, \mathrm dx= $

7 $ (\alpha > 0)\qquad \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \ln(1 + \alpha x^2) e^{-x^2} \, \mathrm dx= $

8 $ (\alpha > 0,\ \beta > 0)\qquad \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-\alpha x} - e^{-\beta x}}{x} \cos(bx) \, \mathrm dx = $

Интегралы Френеля

В некоторых случаях интегралы Френеля можно свести к интегралам Эйлера–Пуассона.

Практика

1 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(x^2)\,\mathrm dx=$

2 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(ax^2+2bx+c)\,\mathrm dx=$

3 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(x^2)\cos 2\alpha x\,\mathrm dx=$

4 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(x^2)\cos 2\alpha x\,\mathrm dx=$

Разные интегралы

Здесь собраны различные интегралы из различных источников (в том числе с международных олимпиад). Упорядочены не по уровню сложности, так что можно решать вразброс.

1 $\displaystyle\int \mathrm{sh}~ x \,\mathrm dx=$

2 $\displaystyle\int \mathrm{ln}^2~ x \,\mathrm dx=$

3 $\displaystyle\int \frac{\mathrm dx}{\sin x}=$

4 $\displaystyle\int \frac{\mathrm dx}{\sqrt{1 + \sin x}}=$

5 $\displaystyle\int \cos^2 x \sin x \, \mathrm dx=$

6 $\displaystyle\int_{0}^{H_0} \frac{\mathrm dx}{\sqrt{2g(H_0 - x)}}=$

7 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{1 - R/R_m}} \, \mathrm dR=$

8 $\displaystyle\int_{0}^{\tau} \frac{Ft}{m\sqrt{1 + \left(\frac{Ft}{m}\right)^2}} \, \mathrm dt=$

9 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{R}{(R^2 + x^2)^{3/2}} \,\mathrm dx=$

10 $\displaystyle\int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm dc}{(v^2 + c^2)^2}=$

11 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} v^3 \exp\left(-\frac{hv}{k_B T}\right) \, \mathrm dv=$

12 $\displaystyle\int \frac{x^3}{(x - 1)^{100}} \,\mathrm dx=$

13 $\displaystyle\int \frac{\mathrm{sh}~ x}{\mathrm{sh}^3 x + \mathrm{ch}^3 x} \, \mathrm dx=$

14 $\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \mathrm dx\cdot\cos(2x)\cdot\cos(c\cdot\mathrm{tg} x)=$

15 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm dx\cdot\frac{\cos x}{c^2+x^2}=$

16 $\displaystyle\int^{\infty}_{-\infty} \mathrm dx\cdot
\frac {2x\cdot\sin(2x)}
{(a^2+x^2)^2}=$

17 $\displaystyle \int^{\infty}_{0}\mathrm dx
\cdot \frac{2b^3x\cdot \cos(x)}{(b^2+x^2)^2}=
$

18 $\displaystyle\int_0^{2\pi}\dfrac{\mathrm d\theta}{1+e\cos\theta}=$

19 $\displaystyle\int \mathrm{tg}^2 x~\mathrm dx=$