Pho.rs: Интегралы

1 ^?? $\displaystyle\int \frac{\mathrm dx}{x^2 - x^3}=$

Ответ: \[-\ln|x| + \frac{1}{x} + \ln|1 - x| + C\]

2 ^?? $\displaystyle\int \frac{x \,\mathrm dx}{(x + 1)(x + 2)(x - 3)}=$

Ответ: \[\frac{1}{12} \ln|x + 1| - \frac{2}{15} \ln|x + 2| + \frac{3}{20} \ln|x - 3| + C
\]

3 ^?? $\displaystyle\int \frac{3x^3 - 5x + 8}{x^2 - 4} \,\mathrm dx=$

Ответ: \[\frac{3}{2}x^2 + \frac{13}{2} \ln|x - 2| - \frac{3}{2} \ln|x + 2| + C
\]

4 ^?? $\displaystyle\int \frac{x^2 - 2x - 5}{x^3 - x^2 + 2x - 2} \,\mathrm dx=$

Ответ: \[-\ln|x - 1| + \frac{1}{2} \ln(x^2 + 2) + \sqrt{2} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + C
\]

1 ^?? $\displaystyle\int x \sin x^2 \, \mathrm dx=$

Ответ: \[-\frac{1}{2}\cos{x^2}+C\]

2 ^?? $\displaystyle\int \frac{\mathrm dx}{1 + \sqrt{x}}=$

Ответ: \[2~\sqrt{x}-2~\mathrm{ln}~{(\sqrt{x}+1)}+C\]

3 ^?? $\displaystyle\int \operatorname{tg} x \, \mathrm dx=$

Ответ: \[-\mathrm{ln}~|\cos x|+C\]

1 ^?? Докажите следующее утверждение:\[\int f(x)\,dg(x) = f(x)g(x) - \int g(x)\,df(x).\]

Дифференцируем левую и правую часть выражения:
\[f(x)\mathrm dg(x)=\mathrm d(f(x)g(x))-g(x)\mathrm df(x)=f(x)\mathrm dg(x)\]Что и требовалось доказать.

2 ^?? $\displaystyle\int xe^{x}\,\mathrm dx=$

Ответ: \[(x-1)e^x+C\]

3 ^?? $\displaystyle\int x^{2}e^{x}\,\mathrm dx=$

Ответ: \[e^x(x^2-2x+2)+C\]

4 ^?? $\displaystyle\int\arcsin x\,\mathrm dx=$

Ответ: \[x~\mathrm{arcsin} ~x+\sqrt{1-x^2}+C\]

5 ^?? $\displaystyle\int\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x}}\,\mathrm dx=$

Ответ: \[-2~\mathrm{arcsin}\sqrt{1-x}+4\sqrt{1+x}+C\]

1 ^?? $\displaystyle\int \frac{\mathrm dx}{3 - 5\cos x}=$

Ответ: \[\frac{1}{4} \ln\left|\frac{2\tan\left(\frac{x}{2}\right) - 1}{2\tan\left(\frac{x}{2}\right) + 1}\right| + C
\]

2 ^?? $\displaystyle\int \frac{\mathrm dx}{3\sin x + 4\cos x + 5}=$

Ответ: \[-\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{\tan\left(\frac{x + \arctan\left(\frac{4}{3}\right)}{2}\right) + 1} + C
\]

3 ^?? $\displaystyle\int \sin x \sin 3x \, \mathrm dx=$

Ответ: \[\frac{\sin 2x}{4} - \frac{\sin 4x}{8} + C
\]

4 ^?? $\displaystyle\int \cos^2 x \cos 2x \,\mathrm dx=$

Ответ: \[\frac{\sin 2x}{4} + \frac{x}{4} + \frac{\sin 4x}{16} + C
\]

1 ^?? $\displaystyle\int\int\int(y^2+z^2)\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=$

по объему $x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$

Ответ: \[\frac{4\pi}{15}abc(b^2+c^2)\]

2 ^?? Граница эллипса задана уравнением $r=\dfrac{p}{1-e\cos\theta}$. Запишите выражение для малого элемента площади в полярных координатах, выразите площадь эллипса в полярных координатах и вычислите ее.

Ответ: \[\mathrm dS=r\mathrm dr\mathrm d\theta\]\[S=\dfrac{\pi p^2}{(1-e^2)^\frac{3}{2}}\]

1 ^?? $(a > 0,\ ac - b^2 > 0)\qquad \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(ax^2 + 2bx + c)} \, \mathrm dx=$

Ответ: \[\sqrt{\frac{\pi}{a}} \, e^{-\left(c - \frac{b^2}{a}\right)}
\]

2 ^?? $(a > 0)\qquad \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2} \mathrm{ch}~(bx) \, \mathrm dx =$

Ответ: \[\sqrt{\frac{\pi}{a}} \, e^{\frac{b^2}{4a}}
\]

1 ^?? $(a > 0)\qquad \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-\left(x^2 + \frac{a^2}{x^2}\right)} \mathrm{ch}(bx) \, \mathrm dx= $

Ответ: \[\frac{\sqrt{\pi}}{2} \, e^{-2b}
\]

2 ^?? $(a > 0,\ b > 0)\qquad \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-ax^2} - e^{-bx^2}}{x^2} \, \mathrm dx= $

Ответ: \[\sqrt{\pi} \left( \sqrt{b} - \sqrt{a} \right)\]

3 ^?? $(a > 0)\qquad \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-ax^2} - \cos(bx)}{x^2} \, \mathrm dx =$

Ответ: \[\sqrt{\pi a} - \frac{\pi b}{2}\]

4 ^?? $(a > 0)\qquad\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-ax^2} \cos(bx) \, \mathrm dx =$

Ответ: \[\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{a}} \, e^{-\frac{b^2}{4a}}\]

5 ^?? $ (\alpha > 0,\ b \in \mathbb{R}) \qquad \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(bx)}{x} e^{-\alpha x} \, \mathrm dx= $

Ответ: \[\mathrm{arctg}\left(\frac{b}{a}\right)\]

6 ^?? $ (\alpha > 0,\ \beta > 0)\qquad\displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x^2 - \frac{\beta}{x^2}} \, \mathrm dx= $

Ответ: \[\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{a}} \, e^{-2\sqrt{a\beta}}\]

7 ^?? $ (\alpha > 0)\qquad \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \ln(1 + \alpha x^2) e^{-x^2} \, \mathrm dx= $

Ответ: \[\frac{\sqrt{\pi}}{2} \ln\left(1 + \sqrt{\alpha}\right)\]

8 ^?? $ (\alpha > 0,\ \beta > 0)\qquad \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-\alpha x} - e^{-\beta x}}{x} \cos(bx) \, \mathrm dx = $

Ответ: \[\frac{1}{2} \ln\left(\frac{\beta^2 + b^2}{\alpha^2 + b^2}\right)\]

1 ^?? $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(x^2)\,\mathrm dx=$

Ответ: \[\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\]

2 ^?? $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(ax^2+2bx+c)\,\mathrm dx=$

Ответ: \[\sqrt{\frac{\pi}{2a}} \left( \sin\left(c - \frac{b^2}{a}\right) \right)\]

3 ^?? $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(x^2)\cos 2\alpha x\,\mathrm dx=$

Ответ: \[\sqrt{\frac{\pi}{2}} \cos(\alpha^2)
\]

4 ^?? $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(x^2)\cos 2\alpha x\,\mathrm dx=$

Ответ: \[\sqrt{\frac{\pi}{2}} \cos(\alpha^2)
\]

1 ^?? $\displaystyle\int \mathrm{sh}~ x \,\mathrm dx=$

Ответ: \[\mathrm{ch}~x+C\]

2 ^?? $\displaystyle\int \mathrm{ln}^2~ x \,\mathrm dx=$

Ответ: \[x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x + C
\]

3 ^?? $\displaystyle\int \frac{\mathrm dx}{\sin x}=$

Ответ: \[\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right| + C
\]

4 ^?? $\displaystyle\int \frac{\mathrm dx}{\sqrt{1 + \sin x}}=$

Ответ: \[2 \sqrt{1 + \sin x} + C
\]

5 ^?? $\displaystyle\int \cos^2 x \sin x \, \mathrm dx=$

Ответ: \[-\frac{\cos^3 x}{3}+C\]

6 ^?? $\displaystyle\int_{0}^{H_0} \frac{\mathrm dx}{\sqrt{2g(H_0 - x)}}=$

Ответ: \[\sqrt{\dfrac{2H_0}{g}}\]

7 ^?? $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{1 - R/R_m}} \, \mathrm dR=$

Ответ: \[\frac{\pi R_m^{3/2}}{2}\]

8 ^?? $\displaystyle\int_{0}^{\tau} \frac{Ft}{m\sqrt{1 + \left(\frac{Ft}{m}\right)^2}} \, \mathrm dt=$

Ответ: \[\frac{m}{F}\left(\sqrt{1+\left(\frac{F\tau}{m}\right)^2}-1\right)\]

9 ^?? $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{R}{(R^2 + x^2)^{3/2}} \,\mathrm dx=$

Ответ: \[\frac{2}{R}\]

10 ^?? $\displaystyle\int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm dc}{(v^2 + c^2)^2}=$

Ответ: \[\frac{\pi}{4v^3}
\]

11 ^?? $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} v^3 \exp\left(-\frac{hv}{k_B T}\right) \, \mathrm dv=$

Ответ: \[\frac{6 (k_B T)^4}{h^4}
\]

12 ^?? $\displaystyle\int \frac{x^3}{(x - 1)^{100}} \,\mathrm dx=$

Ответ: \[-\frac{(x-1)^{-96}}{96} + \frac{3(x-1)^{-97}}{97} - \frac{3(x-1)^{-98}}{98} + \frac{(x-1)^{-99}}{99} + C
\]

13 ^?? $\displaystyle\int \frac{\mathrm{sh}~ x}{\mathrm{sh}^3 x + \mathrm{ch}^3 x} \, \mathrm dx=$

\[\frac{1}{3} \ln\left|\mathrm{sh} x + \mathrm{ch} x\right| - \frac{1}{6} \mathrm{arctg}\left(\frac{2 \mathrm{sh} x - \mathrm{ch} x}{\sqrt{3} \mathrm{ch} x}\right) + C
\]

14 ^?? $\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \mathrm dx\cdot\cos(2x)\cdot\cos(c\cdot\mathrm{tg} x)=$

Ответ: \[\dfrac{c\cdot\pi}{e^c}\]

15 ^?? $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm dx\cdot\frac{\cos x}{c^2+x^2}=$

Ответ: \[\dfrac{\pi}{e^c}\]

16 ^?? $\displaystyle\int^{\infty}_{-\infty} \mathrm dx\cdot
\frac {2x\cdot\sin(2x)}
{(a^2+x^2)^2}=$

Ответ: \[\dfrac{\pi}{a\cdot e^a}\]

17 ^?? $\displaystyle \int^{\infty}_{0}\mathrm dx
\cdot \frac{2b^3x\cdot \cos(x)}{(b^2+x^2)^2}=
$

Ответ: \[\dfrac{(b+1)\pi}{2e^b}\]

18 ^?? $\displaystyle\int_0^{2\pi}\dfrac{\mathrm d\theta}{1+e\cos\theta}=$

Ответ: \[\frac{2\pi}{\sqrt{1 - e^2}}, \quad (|e| < 1)
\]

19 ^?? $\displaystyle\int \mathrm{tg}^2 x~\mathrm dx=$

Ответ: \[\mathrm{tg} x - x + C
\]

Интегралы

Решение