Pho.rs: Интегралы

1 ^?? $\displaystyle\int \frac{\mathrm dx}{x^2 - x^3}=$

2 ^?? $\displaystyle\int \frac{x \,\mathrm dx}{(x + 1)(x + 2)(x - 3)}=$

3 ^?? $\displaystyle\int \frac{3x^3 - 5x + 8}{x^2 - 4} \,\mathrm dx=$

4 ^?? $\displaystyle\int \frac{x^2 - 2x - 5}{x^3 - x^2 + 2x - 2} \,\mathrm dx=$

1 ^?? $\displaystyle\int x \sin x^2 \, \mathrm dx=$

2 ^?? $\displaystyle\int \frac{\mathrm dx}{1 + \sqrt{x}}=$

3 ^?? $\displaystyle\int \operatorname{tg} x \, \mathrm dx=$

1 ^?? Докажите следующее утверждение:\[\int f(x)\,dg(x) = f(x)g(x) - \int g(x)\,df(x).\]

2 ^?? $\displaystyle\int xe^{x}\,\mathrm dx=$

3 ^?? $\displaystyle\int x^{2}e^{x}\,\mathrm dx=$

4 ^?? $\displaystyle\int\arcsin x\,\mathrm dx=$

5 ^?? $\displaystyle\int\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x}}\,\mathrm dx=$

1 ^?? $\displaystyle\int \frac{\mathrm dx}{3 - 5\cos x}=$

2 ^?? $\displaystyle\int \frac{\mathrm dx}{3\sin x + 4\cos x + 5}=$

3 ^?? $\displaystyle\int \sin x \sin 3x \, \mathrm dx=$

4 ^?? $\displaystyle\int \cos^2 x \cos 2x \,\mathrm dx=$

1 ^?? $\displaystyle\int\int\int(y^2+z^2)\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=$

по объему $x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$

H1 Преобразуйте координаты так, чтобы границей фигуры была сфера

H2 Теперь сведите к интегрированию по радиусу аналогично вычислению объема шара

2 ^?? Граница эллипса задана уравнением $r=\dfrac{p}{1-e\cos\theta}$. Запишите выражение для малого элемента площади в полярных координатах, выразите площадь эллипса в полярных координатах и вычислите ее.

H1 Можно выразить через данные параметры большую и малую полуоси эллипса

1 ^?? $(a > 0,\ ac - b^2 > 0)\qquad \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(ax^2 + 2bx + c)} \, \mathrm dx=$

2 ^?? $(a > 0)\qquad \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2} \mathrm{ch}~(bx) \, \mathrm dx =$

1 ^?? $(a > 0)\qquad \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-\left(x^2 + \frac{a^2}{x^2}\right)} \mathrm{ch}(bx) \, \mathrm dx= $

2 ^?? $(a > 0,\ b > 0)\qquad \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-ax^2} - e^{-bx^2}}{x^2} \, \mathrm dx= $

3 ^?? $(a > 0)\qquad \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-ax^2} - \cos(bx)}{x^2} \, \mathrm dx =$

4 ^?? $(a > 0)\qquad\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-ax^2} \cos(bx) \, \mathrm dx =$

5 ^?? $ (\alpha > 0,\ b \in \mathbb{R}) \qquad \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(bx)}{x} e^{-\alpha x} \, \mathrm dx= $

6 ^?? $ (\alpha > 0,\ \beta > 0)\qquad\displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x^2 - \frac{\beta}{x^2}} \, \mathrm dx= $

7 ^?? $ (\alpha > 0)\qquad \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \ln(1 + \alpha x^2) e^{-x^2} \, \mathrm dx= $

8 ^?? $ (\alpha > 0,\ \beta > 0)\qquad \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-\alpha x} - e^{-\beta x}}{x} \cos(bx) \, \mathrm dx = $

1 ^?? $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(x^2)\,\mathrm dx=$

H1 Представьте синус в форме разности комплексных экспонент

2 ^?? $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(ax^2+2bx+c)\,\mathrm dx=$

3 ^?? $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(x^2)\cos 2\alpha x\,\mathrm dx=$

4 ^?? $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(x^2)\cos 2\alpha x\,\mathrm dx=$

1 ^?? $\displaystyle\int \mathrm{sh}~ x \,\mathrm dx=$

2 ^?? $\displaystyle\int \mathrm{ln}^2~ x \,\mathrm dx=$

3 ^?? $\displaystyle\int \frac{\mathrm dx}{\sin x}=$

H1 Домножьте числитель и знаменатель на одну и ту же функцию

4 ^?? $\displaystyle\int \frac{\mathrm dx}{\sqrt{1 + \sin x}}=$

H1 Известно, что \[1+\sin x=2\sin^2\xi\]Найдите $\xi$.

5 ^?? $\displaystyle\int \cos^2 x \sin x \, \mathrm dx=$

6 ^?? $\displaystyle\int_{0}^{H_0} \frac{\mathrm dx}{\sqrt{2g(H_0 - x)}}=$

7 ^?? $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{1 - R/R_m}} \, \mathrm dR=$

8 ^?? $\displaystyle\int_{0}^{\tau} \frac{Ft}{m\sqrt{1 + \left(\frac{Ft}{m}\right)^2}} \, \mathrm dt=$

9 ^?? $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{R}{(R^2 + x^2)^{3/2}} \,\mathrm dx=$

10 ^?? $\displaystyle\int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm dc}{(v^2 + c^2)^2}=$

11 ^?? $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} v^3 \exp\left(-\frac{hv}{k_B T}\right) \, \mathrm dv=$

12 ^?? $\displaystyle\int \frac{x^3}{(x - 1)^{100}} \,\mathrm dx=$

13 ^?? $\displaystyle\int \frac{\mathrm{sh}~ x}{\mathrm{sh}^3 x + \mathrm{ch}^3 x} \, \mathrm dx=$

H1 Используйте подстановку $t=e^x$

14 ^?? $\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \mathrm dx\cdot\cos(2x)\cdot\cos(c\cdot\mathrm{tg} x)=$

H1 Используйте универсальную тригонометрическую подстановку

15 ^?? $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm dx\cdot\frac{\cos x}{c^2+x^2}=$

H1 Перейдите к комплексному интегралу

16 ^?? $\displaystyle\int^{\infty}_{-\infty} \mathrm dx\cdot
\frac {2x\cdot\sin(2x)}
{(a^2+x^2)^2}=$

H1 Используйте интегрирование по частям

H2 Получите интеграл, аналогиный интегралу из предыдущего пункта

17 ^?? $\displaystyle \int^{\infty}_{0}\mathrm dx
\cdot \frac{2b^3x\cdot \cos(x)}{(b^2+x^2)^2}=
$

H1 Продиференцируйте выражение по параметру

18 ^?? $\displaystyle\int_0^{2\pi}\dfrac{\mathrm d\theta}{1+e\cos\theta}=$

H1 Используйте универсальную тригонометрическую подстановку

19 ^?? $\displaystyle\int \mathrm{tg}^2 x~\mathrm dx=$

Интегралы

Подсказки