Logo
Logo

Эффект Фарадея в электронном газе

Задачи
Корзина недоступна
Чтобы пользоваться корзиной для создания наборов задач, авторизуйтесь.

Подсказки

A1  0.30 Покажите, что зависимость проводимости от частоты в рассматриваемой модели имеет вид
$$
\sigma = \frac{D}{-i \omega + \frac{1}{\tau}}.
$$Выразите коэффициент $D$ через $n$, $q$, $m$.

H1 Найдите амплитуду установившейся скорости движения электронов и выразите через нее плотность тока.
A2  0.50 Пусть теперь система помещена в магнитное поле $B$, направленное вдоль оси $z$. Комплексная амплитуда электрического поля $\vec{E}_0$ лежит в плоскости $xy$, ее проекции $E_{0x}$, $E_{0y}$. Запишите уравнения для определения компонент установившейся скорости движения электронов $v_{0x}$, $v_{0y}$.

H1 Запишите для электронов второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси. Вместо производных скорости подставьте $-i \omega v_{0x}$, $-i \omega v_{0y}$
A3  1.20 Покажите, что проводимости в магнитном поле удовлетворяют соотношениям $\sigma_{xx} = \sigma_{yy}$, $\sigma_{xy} = - \sigma_{yx}$. Выразите $\sigma_{xx}$ и $\sigma_{xy}$ через $\omega$, $D$, $\tau$ и частоту движения электронов в магнитном поле $\omega_B = qB/m$.

H1 Решите систему уравнений на проекции скорости из предыдущего пункта. Выразите плотность тока через установившиеся скорости электронов.
B1  0.30 Найдите отношение комплексных амплитуд полей $E_{0y}/E_{0x}$ для правой и левой круговой поляризации.

H1 Запишите выражения для зависимости электрического поля от времени в случая круговой поляризации и представьте ее в комплексном виде.
H2 Для правой поляризации $E_x =A\cos \omega t$, $E_y = A \sin \omega t$, для левой знак $E_y$ отличается.
B2  0.50 Покажите, что для круговых поляризаций выполняются соотношения $\vec{j} = \sigma_{\pm} \vec{E}$ и найдите соответствующие значения проводимости $\sigma_{\pm}$. Выразите ответ через проводимости $\sigma_{xx}$ и $\sigma_{xy}$.

H1 Подставьте выражения из предыдущего пункта в формулы для плотности тока.
B3  0.40 Для среды с соотношением $\vec{j} = \sigma(\omega) \vec{E}$ определите диэлектрическую проницаемость $\varepsilon(\omega)$ и отвечающей ей показатель преломления $n$, выразите ответ через $\sigma$, $\omega$ и фундаментальные постоянные.

H1 Выразите плотность тока двумя способами: через производную $\vec{P}$ и через проводимость. Не забывайте, что зависимость от времени описывается экспонентой $e^{-i \omega t}$.
B4  0.50 Считая, что показатели преломления близки к $1$, найдите разность показателей преломления для волн с правой и левой поляризацией $\Delta n = n_{+} - n_{-}$. Выразите ответ через $\omega$, $\sigma_{xx}$, $\sigma_{xy}$ и фундаментальные постоянные.

B5  0.80 Пусть на слой среды толщины $h$ падает плоская монохроматическая волна с линейной поляризацией. Границы среды перпендикулярны оси $z$, волна распространяется вдоль оси $z$. Покажите, что после прохождения среды направление поляризации поворачивается на угол $\theta_F$. Выразите этот угол через $h$, $\sigma_{xy}$ и фундаментальные постоянные.

H1 Представьте падающую волну в виде суперпозиции двух волн с круговыми поляризациями.
H2 Сложите комплексные амплитуды для двух волн с круговыми поляризациями, домножив их на фазовые множители $e^{i k n_+ h}$ и $e^{ik n_- h}$ соответственно. Покажите, что сумма описывает волну с линейной поляризацией, повернутую на определенный угол.
H3 Амплитуда поля после прохождения среды имеет вид
$$
\vec{E}_1 = \frac{A}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} e^{i k n_+ h}+ \frac{A}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} e^{i k n_- h}.
$$Покажите, что она отвечает линейной поляризации и найдите, как она направлена.
B6  0.50 Используя результат пункта $\textbf{A3}$, получите вещественное выражение для угла поворота плоскости поляризации $\theta_F$. Оставьте от полученного выше выражения вещественную часть. Ответ выразите через $D$, $h$, $\tau$, $\omega_B$, $\omega$ и фундаментальные постоянные.

B7  1.50 В общем случае показатели преломления для обеих круговых поляризаций будут содержать различные мнимые части, что приведет в общем случае к эллиптической поляризации. Пусть параметры системы таковы, что $kn_+h = 0.73 +0.18i$, $k n_- h = 1.17 + 0.35i$, где отброшены несущественные слагаемые, кратные $2\pi$. Здесь $k$ – волновое число в вакууме. Поляризация падающей волны направлена вдоль оси $x$. Найдите отношение полуосей $a/b$ и угол $\psi$ между большой полуосью и осью $x$ для эллипса конечной поляризации.

H1 Рассмотрите отдельно сначала влияние разности вещественных частей показателей преломления, а затем – мнимых.
H2 Покажите, что поворот главной оси эллипса описывается той же формулой, что и поворот плоскости поляризации в случае вещественных показателей преломления. Далее сравните амплитуды колебания электрического поля в направлении этой оси и в перпендикулярном к нему направлении.
C1  0.50 Найдите частоту $\omega_B$ движения электрона с энергией $\varepsilon_F$ в магнитном поле. Выразите ответ через $v_F$, $q$, $B$, $\varepsilon_F$.

H1 Уравнения движения электрона точно такие же, как для безмассовой релятивистской частицы, только вместо скорости света нужно использовать скорость Ферми.
С2  1.50 Проанализировав приведенный график, определите для исследуемого образца графена параметры $D_2$, $\tau$ и $\omega_B$. Магнитное поле $B = 7~\text{Тл}$. При анализе графика можно считать, что $\omega_B \tau \gg 1$.

H1 Пренебрегите в точной формуле слагаемыми с $1/\tau^2$ по сравнению с $\omega_B^2$. Рассмотрите точку, в которой $\theta_F =0$, а также точку, где модуль максимален.
H2 Значение $\omega_B$ можно найти из точки $\theta_B = 0$, значение $\tau$ – из значения $\omega$, при котором $\theta_F$ максимально, а значение $D_2$ – из значения $\theta_F$ в максимуме (или какой-то другой точке).
С3  0.50 Используя результаты предыдущего пункта, определите значения $\varepsilon_F$ (в электронвольтах) и $v_F$.

D1  1.00 Пусть на систему слева падает естественный свет с интенсивностью $I_0$. Найдите интенсивность $I_1$ излучения на выходе из системы. Найдите также интенсивность $I_2$ на выходе, если такой же естественный свет падает на систему справа. При каких значениях $B_z$ отношение интенсивностей $I_2/I_1$ будет минимально?

H1 Как направление поворота плоскости поляризации зависит от направления распространения света?
H2 Если свет падает на структуру слева, плоскость поляризации поворачивается от разрешенного направления первого поляроида к разрешенному направлению второго (считаем константу $V > 0$, а положительное направление угла – против часовой стрелки). При обратном направлении распространения луча плоскость поляризации поворачивается от разрешенного направления поляроида $\Pi_1$, поэтому сначала $I_2$ убывает с увеличением $B_z$.