Уравнение движения электрона имеет вид
$$
m \dot{\vec{v}} = - \frac{m}{\tau} \vec{v} - q \vec{E}.
$$Подставляя решение в виде экспонент, получим
$$
m\vec{v}_0\left( -i \omega + \frac{1}{\tau}\right) = - q \vec{E}_0,
$$откуда
$$
\vec{v_0} = \frac{-q\vec{E}_0/m}{-i \omega + 1/\tau}.
$$Тогда плотность тока
$$
\vec{j} = -q n \vec{v} = \frac{n q^2/m}{-i \omega + 1/\tau} \vec{E},
$$а проводимость
$$
\sigma = \frac{n q^2/m}{-i \omega + 1/\tau}.
$$

Уравнения движения с учетом магнитного поля имеют вид
$$
m \dot{\vec{v}} = - \frac{m}{\tau} \vec{v} - q( \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}).
$$Подставляя решение в экспоненциальном виде и расписывая векторное произведение через компоненты, получаем

Перенесем слагаемые со скоростью в левую часть, разделим уравнения на массу и введем вместо магнитного поля частоту $\omega_B$:
\begin{align*}
\left( -i \omega + \frac{1}{\tau}\right) v_{0x} +\omega_B v_{0y} = - \frac{q}{m} E_{0x}, \\
- \omega_B v_{0x} +\left( -i \omega + \frac{1}{\tau}\right) v_{0y} = - \frac{q}{m} E_{0y} . \\
\end{align*}
Домножим первое уравнение на $(-i\omega + 1/\tau)$, второе на $-\omega_B$ и сложим, получим
$$
\left( (-i\omega + 1/\tau)^2 + \omega_B^2\right) v_{0x} = - \frac{q}{m}\left((-i\omega + 1/\tau) E_{0x} - \omega_B E_{0y} \right).
$$Аналогично первое уравнение домножим на $\omega_B$, второе на $(-i\omega + 1/\tau)$:
$$
\left( (-i\omega + 1/\tau)^2 + \omega_B^2\right) v_{0y} = - \frac{q}{m}\left(\omega_B E_{0x} + (-i\omega + 1/\tau) E_{0y} \right).
$$
Используя связь плотности тока и скорости $\vec{j} = -q n \vec{v}$, найдем (экспоненциальные множители одинаковы, поэтому для токов выполняются такие же соотношения, как и для амплитуд)
$$
j_x = \frac{nq^2}{m} \frac{(-i\omega + 1/\tau) E_{x} - \omega_B E_{y} }{ (-i\omega + 1/\tau)^2 + \omega_B^2}, \quad j_y = \frac{nq^2}{m} \frac{\omega_B E_{x} + (-i\omega + 1/\tau) E_{y} }{ (-i\omega + 1/\tau)^2 + \omega_B^2}.
$$Заметим, что при нулевом магнитном поле $\omega_B = 0$ и получается соотношение из предыдущего пункта. Вид этих выражений совпадает с указанным в условии, из него можно получить выражения для проводимостей, равенства $\sigma_{xx} = \sigma_{yy}$ и $\sigma_{xy} = - \sigma_{yx}$ следуют непосредственно из этих выражений.

Поле с правой круговой поляризацией вращается в плоскости $xy$ против часовой стрелки, в вещественном виде зависимость имеет вид
$$
E_{x} = A \cos \omega t, \quad E_{y} = A \sin \omega t.
$$Переходя к комплексной записи, получим
$$
E_{x} = \mathrm{Re}(A e^{-i \omega t}), \quad E_{y} = \mathrm{Re}(iA e^{-i \omega t}).
$$Поэтому для правой поляризации $E_{0y}/E_{0x} = i$. Для левой поляризации обратного направления вращения можно добиться, изменив знак $E_y$.

Сначала подставим в формулу для плотности тока поле с правой поляризацией, то есть $E_{0x} = A$, $E_{0y }= iA$:
$$
j_{0x} = \sigma_{xx} A + i \sigma_{xy} A, \quad j_{0y} = - \sigma_{xy} A + i \sigma_{xx} A.
$$Здесь во втором равенстве использовано соотношение между проводимостями. Отсюда получаем $j_{0y} = i j_{0x}$, а значит
$$
\vec{j} = (\sigma_{xx} + i \sigma_{xy}) \vec{E}, \quad \sigma_{+} =\sigma_{xx} + i \sigma_{xy}.
$$Аналогичное вычисление для левой поляризации отличается только знаком перед $\sigma_{xy}$.

Вектор электрической индукции выражается через электрическое поле и вектор поляризации соотношениями
$$
\vec{D} = \varepsilon_0 \varepsilon \vec{E} = \varepsilon_0 \vec{E} + \vec{P}.
$$Отсюда
$$
\vec{P} = \varepsilon_0 (\varepsilon - 1) \vec{E}.
$$Выразим плотность тока через производную вектора поляризации и сравним с выражением через проводимость
$$
\vec{j} = - i \omega \varepsilon_0 (\varepsilon - 1) \vec{E} = \sigma \vec{E}.
$$Отсюда получаем

Поскольку показатель преломления близок к 1, выражение из предыдущего пункта можно разложить до первого порядка, для круговых поляризаций получим
$$
n_{\pm} = 1 + \frac{i \sigma_{\pm}}{2 \varepsilon_0 \omega} = 1 + \frac{i (\sigma_{xx} \pm i \sigma_{xy})}{2 \varepsilon_0 \omega}.
$$Вычисляя разность, находим
$$\Delta n = \frac{i (\sigma_{xx} + i \sigma_{xy})}{2 \varepsilon_0 \omega} - \frac{i (\sigma_{xx} - i \sigma_{xy})}{2 \varepsilon_0 \omega} = - \frac{\sigma_{xy}}{\varepsilon_0 \omega}.$$Обратим внимание, что проводимость $\sigma_{xx}$ в первом порядке сокращается.

Не ограничивая общности можно считать, что изначально волна поляризована вдоль оси $x$, амплитуда волны $A$. Представим ее в виде суперпозиции двух волн с круговыми поляризациями, будем записывать вектора комплексных амплитуд в виде столбцов:
$$
\vec{E}_{0} = \begin{pmatrix} A \\ 0\end{pmatrix} = \frac{A}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} + \frac{A}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}.
$$После прохождения через среду разные круговые поляризации приобретут разные фазы, амплитуда поля после прохождения через среду
$$
\vec{E}_1 = \frac{A}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} e^{i k n_+ h}+ \frac{A}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} e^{i k n_- h}.
$$Здесь $k$ – волновое число в вакууме. Вынося общую фазу $\Delta \varphi_0 = kh (n_+ + n_-)/2$, получим
$$
\vec{E}_1 = e^{i \Delta \varphi_0} \frac{A}{2} \begin{pmatrix} e^{i k \Delta n h/2} + e^{-i k \Delta n h/2}\\ i (e^{i k \Delta n h/2} - e^{-i k \Delta n h/2})\end{pmatrix} = A e^{i \Delta \varphi_0} \begin{pmatrix} \cos \frac{k h \Delta n}{2} \\ - \sin\frac{k h \Delta n}{2} \end{pmatrix}.
$$Получили выражение для линейной поляризации, повернутой на угол
$$
\theta_F = - \frac{k \Delta n h}{2}.
$$Знак $-$ означает, что поворот происходит по часовой стрелке. Подставляя выражение для разности показателей преломления и используя соотношение для частоты и волнового числа в вакууме $\omega = c k$, получим
$$
\theta_F = \frac{k h \sigma_{xy}}{2 \varepsilon_0 \omega} = \frac{\sigma_{xy} h}{2 \varepsilon_0 c}.
$$

Этот же результат для угла поворота можно получить с помощью векторных диаграмм. Волну с линейной поляризацией можно представить как суперпозицию двух волн с круговыми поляризациями и равными амплитудами. Эти волны можно представить как пару векторов в плоскости $xy$ вращающихся против и по часовой стрелки соответственно. При этом колебания в волне с линейной поляризацией происходят вдоль биссектрисы угла между двумя векторами круговых поляризаций, изначально это ось $x$. После прохождения через среду между волнами с круговыми поляризациями возникает дополнительная разность фаз $\Delta \varphi$. Это означает, что при том же положении вектора волны с левой поляризации, вектор волны с правой поляризацией повернется на $\Delta \varphi = - k h \Delta n$. Знак $-$ связан с тем, что колебание имеет вид $$\operatorname{Re} e^{-i \omega t + i kh\Delta n} = \cos (\omega t - \Delta \varphi).$$ Результирующее колебание все еще представляет собой сумму двух волн с круговыми поляризациями и равными амплитудами, но биссектриса между их векторами повернута на угол $\theta_F = \Delta \varphi/2$, что совпадает с найденным ранее ответом.

Подставим выражение для проводимости:
$$
\theta_F = - \frac{D \omega_B h}{2 \varepsilon_0 c}\frac{1}{(-i\omega + 1/\tau)^2 + \omega_B^2}.
$$За поворот плоскости поляризации отвечает вещественная часть этого выражения, чтобы выделить ее, раскроем скобки в знаменателе и домножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения:
$$
\frac{1}{(-i\omega + 1/\tau)^2 + \omega_B^2} = \frac{1}{\omega_B^2 + 1/\tau^2- \omega^2 - 2 i \omega/\tau} = \frac{\omega_B^2 + 1/\tau^2- \omega^2 + 2 i \omega/\tau}{(\omega_B^2 + 1/\tau^2- \omega^2)^2 +4 \omega^2/\tau^2}.
$$Взяв вещественную часть, получим

Как и в предыдущей части разность вещественных частей произведений $kh (n_+ - n_-)$ приводит к изменению направления поляризации, причем угол поворота
$$
\psi_1 = - \frac{k h}{2}\mathrm{Re} \Delta n = 0.22 ~\text{рад} \approx 12.6^\circ.
$$Выберем направление новой оси $x'$ вдоль повернутого направления поляризации, а $y'$ перпендикулярно ей. Разность мнимых компонент приведет к изменению амплитуд круговых поляризаций, поэтому в повернутых осях комплексная амплитуда имеет вид (несущественную общую фазу не учитываем)
$$
\vec{E}_1 = \frac{A}{2} \begin{pmatrix} 1\\ i \end{pmatrix} e^{- \gamma_1} + \frac{A}{2} \begin{pmatrix} 1\\ -i \end{pmatrix} e^{-\gamma_2} = \frac{A}{2} \begin{pmatrix} e^{- \gamma_1} + e^{-\gamma_2} \\ i(e^{-\gamma_1} - e^{-\gamma_2})\end{pmatrix}.
$$Здесь показатели экспоненты $\gamma$ определяются мнимыми частями выражений из условия: $\gamma_1 = k h \mathrm{Im}\, n_+ = 0.18$, $\gamma_2 = k h \mathrm{Im}\, n_- = 0.35$. Сдвиг фаз между колебаниями по осям $x'$ и $y'$ после учета затухания все еще $\pi/2$, поэтому эти оси совпадают с главными осями эллипса поляризации. Значит отношение осей
$$
\frac{a}{b} = \frac{e^{-\gamma_1} + e^{- \gamma_2}}{e^{-\gamma_1} - e^{- \gamma_2}} \approx 11.8,
$$а большая ось повернута на угол $\psi = \psi_1$ относительно исходной оси.

Поскольку применимо стандартное выражение для силы Лоренца, действующая на электрон магнитная сила будет равна по величине $qv_F B$ и направлена перпендикулярно скорости. Модуль импульса электрона остается постоянным в силу закона сохранения энергии, поэтому движение происходит по окружности и закон изменения импульса имеет вид
$$
\omega_B p= q v_F B.
$$Подставляя выражение для модуля импульса $p = \varepsilon_F/v_F$, находим

Будем анализировать график с помощью формулы из $\mathbf{B6}$ с указанными в условии заменами
$$
\theta_F = C\frac{1 +\tau^2( \omega_B^2 - \omega^2) }{(1 +\tau^2( \omega_B^2 - \omega^2))^2 +4 \omega^2\tau^2}, \quad C = \frac{D_2 \omega_B \tau^2}{2 \varepsilon_0 c}.
$$Общий знак несущественен, поскольку направление поворота не указано. В силу условия $\omega_B^2 \tau \gg 1$ в числителе и в первой скобке в знаменателе можно пренебречь 1:
$$
\theta_F = C\frac{ \omega_B^2 - \omega^2}{\tau^2(\omega^2 - \omega_B^2)^2 +4 \omega^2}.
$$
Угол поворота обращается в 0 при $\omega^2 = \omega_B^2$. ЭИз графика видно, что в области отрицательных $\theta_F$ есть максимум модуля угла поворота. Найдем его положение аналитически. Для этого введем вспомогательную переменную $y = \omega_B^2 - \omega^2$. Угол поворота выражается через нее как
$$
\theta_F = C \frac{y}{y^2 \tau^2 + 4\omega_B^2 - 4 y} = \frac{C}{y \tau^2 + \frac{4 \omega_B^2}{y}- 4}.
$$Знаменатель минимален при $y = \pm 2 \omega_B/\tau$, причем для максимума модуля на графике $\omega > \omega_B$ и нужно выбрать отрицательный корень. Соответствующее значение угла
$$
\theta_1 =- \frac{C}{ 4 (\omega_B \tau + 1)}
$$Из графика 0 и максимуму модуля отвечают частоты
$$
f_0 \approx 4.7 ~\text{ТГц}, \quad f_{\text{max}} \approx 6.5~\text{ТГц}.
$$Отсюда сразу находим $\omega_B = 2\pi f_0 \approx 29.5 \cdot10^{12} ~\text{с}^{-1}$. Из положения максимума
$$
(2\pi f_{\text{max}})^2 = \omega_B^2 + \frac{2 \omega_B}{\tau},
$$отсюда находим
$$
\frac{1}{\tau} = 13.5\cdot 10^{12} ~\text{c}^{-1}, \quad \tau = 7.4 \cdot 10^{-14} ~\text{с}.
$$Значение $\omega_B \tau \approx 2$ не очень велико, однако при вычислении положения максимума в ответ входит квадрат этого выражения, что дает ошибку порядка $20\%$.

Из значения в максимуме $\theta_1 \approx -0.055$ находим
$$C \approx 0.70,$$и получаем вес Друде
$$
D_2 = \frac{2 \varepsilon_0 c}{\omega_B \tau^2} C \approx 2.3\cdot 10^{10} ~\text{Кл} ^2\cdot \text{кг}^{-1} \cdot \text{м}^{-2}.
$$

Используя значение $D_2$ находим
$$
\varepsilon_F = \frac{2\hbar^2}{q^2} D_2 \approx 0.125 ~\text{эВ}.
$$Из формулы для частоты движения в магнитном поле
$$
v_F = \sqrt{\frac{\varepsilon_F \omega_B}{q B}} \approx 0.7 \cdot 10^6~\text{м}/\text{с}.
$$

После прохождения через первый поляроид интенсивность уменьшается в 2 раза, а поляризация направлена вдоль оси $x$. При движении вдоль оси $z$ поляризация поворачивается на угол $\varphi$ к оси $y$, а интенсивность прошедшего света будет равна
$$
I_1 = \frac{I_0}{2} \cos^2 (\psi - \varphi) = \frac{I_0}{2} \cos^2 (\psi - V h B).
$$При движении в обратную сторону направление вращения поляризации меняется, поэтому выражение интенсивности
$$
I_2 = \frac{I_0}{2} \cos^2 (\psi + \varphi) = \frac{I_0}{2} \cos^2 (\psi + V h B).
$$Отношение $I_2/I_1$ минимально, когда прошедшего света нет и $I_2 = 0$. Это достигается при
$$
\psi + Vh B = \frac{\pi }{2} + \pi m,
$$