Pho.rs: Эффект Фарадея в электронном газе

A1 ^0.30 Покажите, что зависимость проводимости от частоты в рассматриваемой модели имеет вид
$$
\sigma = \frac{D}{-i \omega + \frac{1}{\tau}}.
$$Выразите коэффициент $D$ через $n$, $q$, $m$.

1 Записано уравнение движения электрона $m \dot{\vec{v}} = - \dfrac{m}{\tau} \vec{v} - q \vec{E}$.	0.10
2 Найдена скорость электронов $ \vec{v_0} = \dfrac{-q\vec{E}_0/m}{-i \omega + 1/\tau} $.	0.10
3 Получен ответ $ D = \dfrac{n q^2}{m}. $	0.10

A2 ^0.50 Пусть теперь система помещена в магнитное поле $B$, направленное вдоль оси $z$. Комплексная амплитуда электрического поля $\vec{E}_0$ лежит в плоскости $xy$, ее проекции $E_{0x}$, $E_{0y}$. Запишите уравнения для определения компонент установившейся скорости движения электронов $v_{0x}$, $v_{0y}$.

1 Записано уравнение движения электронов.	0.20
2 Ошибка в знаке.	-0.10
3 Получены уравнения для определения компонент установившейся скорости движения электронов.	2 × 0.15

A3 ^1.20 Покажите, что проводимости в магнитном поле удовлетворяют соотношениям $\sigma_{xx} = \sigma_{yy}$, $\sigma_{xy} = - \sigma_{yx}$. Выразите $\sigma_{xx}$ и $\sigma_{xy}$ через $\omega$, $D$, $\tau$ и частоту движения электронов в магнитном поле $\omega_B = qB/m$.

1 Использовано соотношение $\vec{j} = -q n \vec{v}$	0.20
2 Из уравнений выражены $v_{0x},v_{0y}$.	2 × 0.20
3 Найдено $\sigma_{xx} = \sigma_{yy} = \dfrac{D (-i \omega + 1/\tau)}{(-i\omega + 1/\tau)^2 + \omega_B^2}$.	2 × 0.15
4 Найдено $\sigma_{xy} = - \sigma_{yx} = -\dfrac{D \omega_B}{(-i\omega + 1/\tau)^2 + \omega_B^2}$.	2 × 0.15

B1 ^0.30 Найдите отношение комплексных амплитуд полей $E_{0y}/E_{0x}$ для правой и левой круговой поляризации.

1 Круговые поляризации верно представлены в комплексной или тригонометрической форме.	0.10
2 Правая поляризация: $E_{0y}/E_{0x} = i$.	0.10
3 Левая поляризация: $E_{0y}/E_{0x} =- i$	0.10

B2 ^0.50 Покажите, что для круговых поляризаций выполняются соотношения $\vec{j} = \sigma_{\pm} \vec{E}$ и найдите соответствующие значения проводимости $\sigma_{\pm}$. Выразите ответ через проводимости $\sigma_{xx}$ и $\sigma_{xy}$.

1 Верная подстановка полей в формулу для плотности тока.	0.10
2 Показано, что для круговой поляризации $\vec{j} = \sigma_{\pm} \vec{E}$	0.20
3 Получено $\sigma_{+} =\sigma_{xx} + i \sigma_{xy}$.	0.10
4 Получено $\sigma_{-} =\sigma_{xx} - i \sigma_{xy}$.	0.10

B3 ^0.40 Для среды с соотношением $\vec{j} = \sigma(\omega) \vec{E}$ определите диэлектрическую проницаемость $\varepsilon(\omega)$ и отвечающей ей показатель преломления $n$, выразите ответ через $\sigma$, $\omega$ и фундаментальные постоянные.

1 Указано или используется $\vec{P} = \varepsilon_0 (\varepsilon - 1) \vec{E}$.	0.10
2 Указано или используется $\vec{j} = -i \omega \vec{P}$.	0.10
3 Получено $\varepsilon = 1 + \dfrac{i \sigma}{\varepsilon_0 \omega}$.	0.10
4 Получено $n = \sqrt{1 + \dfrac{i \sigma}{\varepsilon_0 \omega}}$.	0.10

B4 ^0.50 Считая, что показатели преломления близки к $1$, найдите разность показателей преломления для волн с правой и левой поляризацией $\Delta n = n_{+} - n_{-}$. Выразите ответ через $\omega$, $\sigma_{xx}$, $\sigma_{xy}$ и фундаментальные постоянные.

1 Получено разложение $n_{\pm} = 1 + \dfrac{i \sigma_{\pm}}{2 \varepsilon_0 \omega}$.	0.20
2 Получено $\Delta n = - \dfrac{\sigma_{xy}}{\varepsilon_0 \omega}.$	0.30

B5 ^0.80 Пусть на слой среды толщины $h$ падает плоская монохроматическая волна с линейной поляризацией. Границы среды перпендикулярны оси $z$, волна распространяется вдоль оси $z$. Покажите, что после прохождения среды направление поляризации поворачивается на угол $\theta_F$. Выразите этот угол через $h$, $\sigma_{xy}$ и фундаментальные постоянные.

1 Падающая волна представлена в виде суперпозиции двух волн с круговыми поляризациями.	0.20
2 Записана амплитуда поля после прохождения через среду.	0.20
3 Получено $\theta_F =\pm \dfrac{k \Delta n h}{2}.$	0.20
4 Получен ответ $\theta_F = \pm \dfrac{\sigma_{xy} h}{2 \varepsilon_0 c}$.	0.20

B6 ^0.50 Используя результат пункта $\textbf{A3}$, получите вещественное выражение для угла поворота плоскости поляризации $\theta_F$. Оставьте от полученного выше выражения вещественную часть. Ответ выразите через $D$, $h$, $\tau$, $\omega_B$, $\omega$ и фундаментальные постоянные.

1 Получен ответ $
\theta_F = \pm\dfrac{D \omega_B h}{2 \varepsilon_0 c}\dfrac{\omega_B^2 + 1/\tau^2- \omega^2 }{(\omega_B^2 + 1/\tau^2- \omega^2)^2 +4 \omega^2/\tau^2}.$

0.50

B7 ^1.50 В общем случае показатели преломления для обеих круговых поляризаций будут содержать различные мнимые части, что приведет в общем случае к эллиптической поляризации. Пусть параметры системы таковы, что $kn_+h = 0.73 +0.18i$, $k n_- h = 1.17 + 0.35i$, где отброшены несущественные слагаемые, кратные $2\pi$. Здесь $k$ – волновое число в вакууме. Поляризация падающей волны направлена вдоль оси $x$. Найдите отношение полуосей $a/b$ и угол $\psi$ между большой полуосью и осью $x$ для эллипса конечной поляризации.

1 M1 Угол наклона большой оси эллипса $\psi_1 = - \dfrac{k h}{2}\mathrm{Re} \Delta n$.	0.40
2 M1 Указано, что амплитуда полей круговых поляризаций затухает по экспонентам с показателями $\gamma_1 = k h \mathrm{Im}\, n_+$, $\gamma_2 = k h \mathrm{Im}\, n_-$.	0.20
3 M1 Указан метод для расчета отношения полуосей эллипса, например $\dfrac{a}{b} = \dfrac{e^{-\gamma_1} + e^{- \gamma_2}}{e^{-\gamma_1} - e^{- \gamma_2}}$.	0.30
4 M2 Записаны комплексные амплитуды колебаний по двум осям (с точностью до общего множителя)	0.30
5 M2 Использованы соотношения для преобразования амплитуд при повороте осей	0.30
6 M2 Использован метод, позволяющий определить размер и ориентацию эллипса	0.30
7 Получено численное значение $\psi \approx 0.22 ~\text{рад} \approx 12.6^\circ$.	0.30
8 Получено отношение полуосей $ \dfrac{a}{b} \approx 11.8$ или $\dfrac{b}{a} \approx 0.0845$.	0.30

C1 ^0.50 Найдите частоту $\omega_B$ движения электрона с энергией $\varepsilon_F$ в магнитном поле. Выразите ответ через $v_F$, $q$, $B$, $\varepsilon_F$.

1 Ответ $
\omega_B = \dfrac{q v_F^2 B}{\varepsilon_F}
$

0.50

С2 ^1.50 Проанализировав приведенный график, определите для исследуемого образца графена параметры $D_2$, $\tau$ и $\omega_B$. Магнитное поле $B = 7~\text{Тл}$. При анализе графика можно считать, что $\omega_B \tau \gg 1$.

1 Использована корректная формула для $\theta_F$	0.20
2 Предложен корректный метод определения $\omega_B$, например через точку, где $\theta_F$ обращается в 0	0.20
3 Получено выражение для положения максимума $\|\theta_F\|$ или эквивалентное выражение	0.30
4 Получена корректная формула для определения $D_2$, например через значение $\|\theta_F\|$ в максимуме или наклон графика	0.20
5 Ответ для $\omega_B \in[25, 40] \cdot 10^{12} ~\text{c}^{-1}$	0.20
6 Ответ для $\tau$ правильного порядка	0.20
7 Ответ для $D_2$ правильного порядка	0.20

С3 ^0.50 Используя результаты предыдущего пункта, определите значения $\varepsilon_F$ (в электронвольтах) и $v_F$.

1 Численное значение $\varepsilon_F$	0.20
2 Формула для вычисления $v_F$	0.10
3 Численное значение $v_F$	0.20

D1 ^1.00 Пусть на систему слева падает естественный свет с интенсивностью $I_0$. Найдите интенсивность $I_1$ излучения на выходе из системы. Найдите также интенсивность $I_2$ на выходе, если такой же естественный свет падает на систему справа. При каких значениях $B_z$ отношение интенсивностей $I_2/I_1$ будет минимально?

1 Указано или использовано, что поляроид уменьшает интенсивность естественного излучения в 2 раза	0.10
2 Использован закон Малюса для интенсивности света после прохождения поляроида $I \sim \cos^2 \theta$	0.20
3 Ответ для одного из направлений распространения света	0.10
4 Для второго направления распространения света знак в разности угла обратный	0.30
5 Ответ для $B_z$	0.20
6 В ответе есть произвольное целое число	0.10

Эффект Фарадея в электронном газе

Разбалловка