Радуга — сравнительно частое и завораживающее атмосферное явление. Ее изучением занимались с древних времен, однако веками радуга оставалась загадкой. В XIII–XIV веках персидский учёный аль-Фариси и европеец Теодорих Фрайбергский независимо показали, что она возникает из-за преломления и отражения света в каплях воды, используя стеклянные сферы. В 1637 году Декарт математически описал точное положение радуги на небе. Однако природу её цвета объяснил лишь Ньютон в 1666 году: в опытах с призмами он доказал, что белый свет состоит из всех цветов радуги, а сама радуга — это дисперсия света в каплях дождя.

Сейчас же мы за час попытаемся повторить весь этот тернистый путь в 400 лет и разобраться в физике этого атмосферного явления.

Математические подсказки: 

• $$ (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1- x^2}}.$$
• При малом изменении аргумента некоторой функции $f(x)$ ее изменение можно приблизить как $f(x+ a) - f(x) \approx f'(x) a$, где $a$  мало

Часть A. Радуга (6.5 балла)

Будем представлять себе капли водяного тумана идеализированными однородными шарами небольшого неизвестного радиуса $R$, состоящими из чистой воды с показателем преломления $n$. Показатель преломления атмосферного воздуха постоянен и для любой длины волны равен единице ($n_{\text{воздух}} = 1$).

Рассмотрим солнечный луч, вошедший в сферическую каплю с прицельным параметром $d$. Для наглядности на рисунке он изображён красным цветом, однако в действительности является белым и содержит в себе весь видимый человеком спектр. Далее сосредоточим внимание на той его части, которая отразилась от внутренней поверхности капли один раз, а далее вышла наружу под некоторым острым углом $\varphi$ от начального направления луча.

Пока что мы считаем показатель преломления одинаковым для всех длин волн, так что луч остаётся белым всё время.

A1  ^0.50 Схематично изобразите ход луча, испытывающего одно отражение внутри капли.

A2  ^1.20 Пусть $\alpha$ – угол между падающим лучом и радиусом в точке, где происходит преломление, $\beta$ – угол луча с радиусом после преломления. Выразите угол $\varphi$ через $\alpha$, $\beta$.

A3  ^0.50 Получите зависимость $\varphi\left(d\right)$ при $0 \le d \le R$. Выразите ответ через $d,~R,~n$.

A4  ^0.50 Вычислите производную $\varphi'\left(d\right)$. Постройте качественный график зависимости $\varphi(d)$.

A5  ^0.20 Рассмотрим луч конечной ширины $b \ll R, d$, которому отвечает интервал прицельных параметров от $d$ до $d + b$. Определите ширину интервала углов $\Delta \varphi$ (т.е. его угловую ширину) для данного луча. Выразите ответ через $\varphi'(d)$, $b$.

A6  ^1.00 Если интенсивность падающего луча постоянна, интенсивность луча, вышедшего из капли, будет тем больше, чем меньше его угловая ширина. Определите значение $d_0$, которое отвечает максимальной интенсивности вышедшего луча. Выразите ответ через $R$, $n$. Под этим углом и будет наблюдаться радуга.

Примечание: интенсивностью света называется энергия, проходящая через единицу площади в единицу времени. Это не потребуется вам для решения задачи.

A7  ^0.50 Схематично изобразите ход через каплю для 3 лучей со значениями прицельного параметра $d_0$, $d_0 + b_1$, $d_0 - b_2$, где $b_1$, $b_2$ – малые положительные величины.

A8  ^0.50 Солнце, наблюдатель и радуга образуют некоторую фиксированную геометрическую конфигурацию. Изобразите ее. Укажите направление падающих от Солнца лучей, область, где находятся капли, и положение точек, в которых видна радуга.

A9  ^0.50 Вычислите половинный угол раствора радуги как функцию $\varphi_0\left(n\right)$, а также получите численный ответ для $n = n_{\text{воды}} = 4/3$. Выразите ответ в градусах и округлите до целых.

A10  ^0.50 При каком максимальном значении $\psi$ угловой высоты Солнца над горизонтом еще можно наблюдать радугу?

A11  ^0.60 Ниже приведены несколько картин художников разных эпох (см. листы в конце условия). На всех них изображена радуга. Для каждой из них в листе ответов укажите (поставьте знак $\checkmark$ в нужном столбце), корректно или некорректно изображена радуга.

Примечание: неверный выбор для любой из картин приводит к уменьшению баллов за пункт. Суммарный балл за пункт не может быть отрицательным.

Часть B. Камера-обскура и дисперсия (3.5 балла)

Камера-обскура — это простейший вид устройства, позволяющего получать оптическое изображение объектов.

Она представляет собой светонепроницаемый ящик с малым отверстием в одной из стенок и экраном на противоположной стенке. Лучи света проходят через это отверстие и создают перевёрнутое изображение на экране. Фокусное расстояние камеры совпадает с расстоянием между отверстием и экраном.

B1  ^1.50 В модели камеры-обскуры при помощи линейки с делениями определите горизонтальный угол обзора $\alpha$ объектива, который использовали при съёмке следующего кадра.

В общем случае зависимость показателя преломления от длины волны $n(\lambda)$ — сложная функция. Однако в области видимого света мы опишем эту зависимость приближённо:
\[n(\lambda) = n_0 + D\left(\lambda - \lambda_0\right),\]где $n_0 = 1.3330$, $\lambda_0 = 589~\text{нм},$ $D$ — коэффициент дисперсии.

B2  ^2.00 В модели камеры обскуры по приведённому снимку при помощи линейки с делениями определите коэффициент дисперсии для воды. Полагайте для красной границы видимого света $\lambda_{\text{к}} = 750~\text{нм}$, а для фиолетовой $\lambda_{\text{ф}} = 380~\text{нм}$.