Луч при преломлениях и отражении последовательно поворачивается от начального направления на углы $\alpha - \beta$,$\pi - 2\beta$, $\alpha - \beta$, так что угол $\varphi$ составит

$\alpha$ и $d$ связаны геометрией: \[\sin \alpha = \frac{d}{R},\]а $\alpha$ и $\beta$ связаны через закон Снеллиуса: \[\sin \alpha = n \sin \beta.\]Отсюда имеем
\begin{equation}
\begin{cases}
\alpha = \arcsin\left(\frac{d}{R}\right),\\
\beta = \arcsin\left(\frac{d}{nR}\right).
\end{cases}
\end{equation}

Разброс прицельных параметров влечёт собой разброс углов, под которыми выходят соответсвующие лучи. По определению произвдной, \[\varphi'(d) \approx \frac{\Delta \varphi}{\Delta d},\] так что именно она и задаёт соответствие этих разбросов.

Так как для каждого луча (при фиксированной его ширине) энергия, переносимая им в единицу времени, постоянная величина, при уменьшении его сечения (то есть при минимальном разбросе по углам $\varphi$) его яркость будет повышаться. Этот случай достигается при занулении производной $\varphi'(d_0) = 0,$ потому как тогда $\Delta \varphi \approx 0$.

Найдём $d_0$ из условия \[\varphi'\left(d_0\right) = \frac{4}{nR\sqrt{1 - \frac{d_0^2}{n^2R^2}}} - \frac{2}{R\sqrt{1- \frac{d_0^2}{R^2}}} = 0\]\[2\sqrt{1 - \frac{d_0^2}{R^2}} = \sqrt{n^2 - \frac{d_0^2}{R^2}}\]

Если $\psi > \varphi_0$, то ни один луч не попадёт в глаза наблюдаетлю. Для наблюдения достаточно и необходимо, чтобы видимая вершина радуги лежала «над» поверхностью земли.

На картине Сомова отчётливо видно падение тени в нужную сторону, а радуга изображена особенно яркой в области скопления дождевых капель. Конфигурация, которую составляют солнце, наблюдатель и радуга, выполнена верно.

На картине Валлоттона особенно ярко изображён конец радуги, упирающийся в землю. Если он упирается под прямым углом, то солнце должно быть на уровне горизонта ЗА наблюдателем, а зарево за радугой на картине говорит об обратном. Более того, конец радуги вряд ли мог бы выглядеть так ярко, поскольку в таком случае необходима высокая концентрация водяного пара строго над поверхностью земли.

На картине Крымова по теням делаем такой же вывод, что и для Сомова.

Измерим линейный горизонтальный диаметр радуги $l_1$, а также линейный горизонтальный размер фотоснимка $l_2$. Получим
\begin{equation}
\begin{cases}
l_1 = 10.2~\text{см},\\
l_2 = 16.4~\text{см}.
\end{cases}
\end{equation}

Из геометрии модели камеры обскуры для угла обзора $\alpha$ и угла раствора радуги $2\varphi_0$ при фокусном расстоянии камеры $f$ имеем
\begin{equation}
\begin{cases}
\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{l_2}{2}\frac{1}{f},\\
\tan \varphi_0 = \frac{l_1}{2}\frac{1}{f}.
\end{cases}
~~\Rightarrow~~\alpha = 2 \arctan\left(\frac{l_2}{l_1}\tan\varphi_0\right)

\end{equation}

Измерим линейную ширину $\delta$ радуги с помощью линейки: \[\delta = 0.2~\text{см}.\]Мы уже знаем функцию угла раствора радуги от показателя преломления:
\[\varphi_0(n) = 4\arcsin\left(\sqrt{\frac{3}{4n^2 - 1}}\right) - 2\arcsin\left(\sqrt{\frac{3n^2}{4n^2 - 1}}\right).\]
Дифференцируя соотношение между угловым и линейным размером радуги, получаем
$$
d\tan \varphi_0 = \frac{d\varphi_0}{\cos^2 \varphi_0 } = \frac{d l_1}{2f}.
$$Разделив на такое же соотношение для полной ширины, получим с учетом $dl_1 = 2\delta$
$$
\frac{d\varphi_0}{\cos^2 \varphi_0 \tan \varphi_0} = \frac{2 d\varphi_0}{\sin 2\varphi_0} = \frac{2\delta}{l_1}.
$$Отсюда угловая ширина радуги $$
d\varphi_0 = \frac{\delta }{ l_1} \sin 2 \varphi_0.
$$
С другой стороны, ее можно выразить через производную угла по показателю преломления
$$
d\varphi_0 = \varphi'_0(n_0) \Delta n,
$$где $n_0 = 4/3$ – среднее значение показателя преломления.
Численное значение нужной производной $\varphi'(n_0) \approx -2.54$.
Тогда разность показателей преломления
$$
\Delta n = \frac{\delta}{l_1 \varphi'_0(n_0)} \sin 2 \varphi_0
$$Тогда коэффициент дисперсии
$$
D = \frac{\Delta n}{\lambda_{\text{к}} - \lambda_{\text{ф}} } = \frac{\delta \sin 2 \varphi_0}{l_1 \varphi_0' (\lambda_{\text{к}} - \lambda_{\text{ф}} )} \approx -2.1 \cdot 10^{4}~\text{м}^{-1}
$$Заметим, что значение $D$ отрицательно, поскольку внешняя часть радуги красная (то есть большей длине волны отвечает больший угловой размер), а производная углового размера по показателю преломления отрицательна.