Pho.rs: Радуга семицветная

A1 ^0.50 Схематично изобразите ход луча, испытывающего одно отражение внутри капли.

1 Корректный рисунок: луч преломляется при входе в каплю, отражается один раз и преломляется при выходе.

0.50

A2 ^1.20 Пусть $\alpha$ – угол между падающим лучом и радиусом в точке, где происходит преломление, $\beta$ – угол луча с радиусом после преломления. Выразите угол $\varphi$ через $\alpha$, $\beta$.

1 Указано или используется, что при преломлении луч поворачивается на угол $\alpha - \beta$	0.30
2 Указано или используется, что при отражении происходит поворот на угол $\pi - 2 \beta$ (или $2 \beta$ в зависимости от определения углов).	0.30
3 Ответ $4 \beta - 2 \alpha$	0.60
4 Ошибка на $\pi$	-0.30

A3 ^0.50 Получите зависимость $\varphi\left(d\right)$ при $0 \le d \le R$. Выразите ответ через $d,~R,~n$.

1 Использовано соотношение $$ \sin \alpha = \frac{d}{R} $$	0.10
2 Использован закон преломления $$\sin \beta = \frac{\sin \alpha}{n}$$	0.20
3 Ответ \[\varphi = 4\arcsin\left(\frac{d}{nR}\right) - 2\arcsin\left(\frac{d}{R}\right)\]	0.20

A4 ^0.50 Вычислите производную $\varphi'\left(d\right)$. Постройте качественный график зависимости $\varphi(d)$.

1 Выражение для производной \[\varphi'\left(d\right) = \frac{4}{nR\sqrt{1 - \frac{d^2}{n^2R^2}}} - \frac{2}{R\sqrt{1- \frac{d^2}{R^2}}}\]	0.20
2 График: есть максимум	0.10
3 График: приближенно линейный рост при малых $d$ (касательная в нуле не должна быть вертикальной или горизонтальной)	0.10
4 График: быстрое убывание после максимума (с вертикальной касательной при $d = R$)	0.10

A5 ^0.20 Рассмотрим луч конечной ширины $b \ll R, d$, которому отвечает интервал прицельных параметров от $d$ до $d + b$. Определите ширину интервала углов $\Delta \varphi$ (т.е. его угловую ширину) для данного луча. Выразите ответ через $\varphi'(d)$, $b$.

1 Ответ
\[\Delta \varphi = \varphi'(d) b\]

0.20

A6 ^1.00 Если интенсивность падающего луча постоянна, интенсивность луча, вышедшего из капли, будет тем больше, чем меньше его угловая ширина. Определите значение $d_0$, которое отвечает максимальной интенсивности вышедшего луча. Выразите ответ через $R$, $n$. Под этим углом и будет наблюдаться радуга.

Примечание: интенсивностью света называется энергия, проходящая через единицу площади в единицу времени. Это не потребуется вам для решения задачи.

1 Явно указано или используется, что в искомой точке $\varphi'(d_0) = 0$	0.30
2 Явно записано уравнение, из которого можно определить $d$	0.30
3 Ответ \[d_0 = R \sqrt{\frac{4 - n^2}{3}}\]	0.40

A7 ^0.50 Схематично изобразите ход через каплю для 3 лучей со значениями прицельного параметра $d_0$, $d_0 + b_1$, $d_0 - b_2$, где $b_1$, $b_2$ – малые положительные величины.

1 Рисунок с тремя лучами, испытывающими одно отражение	0.10
2 После отражения средний луч оказывается крайним в выходящем пучке	0.20
3 После отражения средний луч повернут сильнее остальных	0.20

A8 ^0.50 Солнце, наблюдатель и радуга образуют некоторую фиксированную геометрическую конфигурацию. Изобразите ее. Укажите направление падающих от Солнца лучей, область, где находятся капли, и положение точек, в которых видна радуга.

1 Солнце находится позади от наблюдателя	0.20
2 Радуга в виде конуса	0.30

A9 ^0.50 Вычислите половинный угол раствора радуги как функцию $\varphi_0\left(n\right)$, а также получите численный ответ для $n = n_{\text{воды}} = 4/3$. Выразите ответ в градусах и округлите до целых.

1 Указано или используется, что половинный угол раствора радуги равен значению $\varphi(d)$ в максимуме	0.10
2 Ответ: формула \[\varphi_0 = \varphi(d_0) = 4\arcsin\left(\sqrt{\frac{4-n^2}{3 n^2}}\right) - 2\arcsin\left(\sqrt{\frac{4-n^2}{3}}\right)\]	0.20
3 Ответ: численное значение $\varphi_0 = 42^\circ$	0.20

A10 ^0.50 При каком максимальном значении $\psi$ угловой высоты Солнца над горизонтом еще можно наблюдать радугу?

1 Явно указано, что искомый угол равен $\varphi_0$	0.30
2 Ответ $\varphi_0 = 42^\circ$ или соответствующая правильная формула из предыдущая формула	0.20

A11 ^0.60 Ниже приведены несколько картин художников разных эпох (см. листы в конце условия). На всех них изображена радуга. Для каждой из них в листе ответов укажите (поставьте знак $\checkmark$ в нужном столбце), корректно или некорректно изображена радуга.

Примечание: неверный выбор для любой из картин приводит к уменьшению баллов за пункт. Суммарный балл за пункт не может быть отрицательным.

1 За каждый правильно указанный ответ (1 — верно, 2 — неверно, 3 — верно.)	3 × 0.20
2 За каждый неверный ответ (суммарный балл не может быть отрицательным)	3 × -0.10

B1 ^1.50 В модели камеры-обскуры при помощи линейки с делениями определите горизонтальный угол обзора $\alpha$ объектива, который использовали при съёмке следующего кадра.

1 Измерения горизонтальных размеров радуги и рисунка	2 × 0.10
2 Связь линейного размера радуги и ее угловой ширины (например $\tan \varphi_0 = \frac{l_1}{2}\frac{1}{f}$)	0.30
3 Связь ширины рисунка и угла обзора объектива $$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{l_2}{2}\frac{1}{f}$$	0.30
4 Ответ $$\alpha = 2 \arctan\left(\frac{l_2}{l_1}\tan\varphi_0\right)$$	0.40
5 Ответ (число) \[\alpha \in [105,\, 115]^{\circ}\]	0.30

B2 ^2.00 В модели камеры обскуры по приведённому снимку при помощи линейки с делениями определите коэффициент дисперсии для воды. Полагайте для красной границы видимого света $\lambda_{\text{к}} = 750~\text{нм}$, а для фиолетовой $\lambda_{\text{ф}} = 380~\text{нм}$.

1 Измерена ширина радуги	0.10
2 Линейная ширина радуги связана с ее угловой шириной	0.30
3 Угловая ширина выражена только через известные или измеримые величины, например $$ d\varphi_0 = \frac{\delta }{ l_1} \sin 2 \varphi_0 $$	0.30
4 Получена формула для расчета $D$, например $$ D = \frac{\delta \sin 2 \varphi_0}{l_1 \varphi_0' (\lambda_{\text{к}} - \lambda_{\text{ф}} )} $$	0.40
5 Найдена производная $\varphi_0'$ (формула или численное значение)	0.30
6 Численное значение (модуль) $D \in [1, \, 5] \cdot 10^4~\text{м}^{-1}$	0.40
7 Отрицательный знак $D$	0.20

Радуга семицветная

Разбалловка