Рассмотрим гибкую однородную струну, в которой создано натяжение $T$, и получим дифференциальное уравнение, описывающее её малые поперечные свободные колебания. Пусть сила натяжения существенно превышает вес струны.
Основываясь на предположении, что отклонения струны от положения равновесия малы, можем сделать ряд упрощений:
Разделим обе части уравнения движения на $\delta x$ и устремим размер элемента к нулю ($\delta x \rightarrow 0$). Тогда уравнение движения примет вид:
$$
\rho_l \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = \frac{T_2 \sin \alpha_2 - T_1 \sin \alpha_1}{\delta x} \approx T \frac{\alpha_2 - \alpha_1}{\delta x} \rightarrow T \frac{\partial \alpha}{\partial x}.
$$Подставляя $\alpha = \frac{\partial y}{\partial x}$, и вводя обозначение $u = \sqrt{\frac{T}{\rho_l}}$, находим окончательно уравнение свободных малых поперечных колебаний струны:
$$
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = u^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}.
$$Уравнение выше называют волновым уравнением. Кроме волн на струне, оно может описывать волновые процессы в самых разных системах, в том числе волны в сплошных средах (звук), электромагнитные волны и т.д.
Решение волнового уравнения, приведенного выше, представимо в виде суммы двух волн произвольной формы, бегущих в противоположные стороны со скоростями $\pm u$:
$$
y(x, t) = y_1(x - ut) + y_2(x + ut),
$$где $u$ – скорость распространения волны, $y_1$ и $ y_2$ — произвольные функции, вид которых в конкретной задаче определяется из начальных и граничных условий. Особый интерес представляет случай гармонических волн:
$$
y(x,t)=a \cos(\omega t - k x)+b \cos(\omega t + k x),
$$что соответствует суперпозиции двух гармонических волн, бегущих навстречу друг другу со скоростью $u = \frac{\omega}{k} = \nu \lambda$. Из формулы выше для скорости волны видно, что она зависит только от силы натяжения струны $T$ и ее погонной плотности $\rho_l$.
Найдем вид свободных колебаний струны с закрепленными концами.
Пусть струна закреплена в точках $x = 0$ и $x = L$. Концы струны не колеблются, поэтому $y(0,t) = 0$ и $y(L,t) = 0$ для любых $t$. Используя выражение выше, находим $y(0,t) = a \cos \omega t+b \cos \omega t = 0$, откуда следует, что $a = - b$. Тогда после тригонометрических преобразований выражение выше примет вид:
$$
y(x,t) = 2 a \sin kx \cdot \sin \omega t.
$$Колебания струны, описываемые такой функцией, называются стоячими волнами. Видно, что стоячая волна может быть получена как сумма (интерференция) двух гармонических бегущих волн, имеющих равную амплитуду и движущихся навстречу друг другу.
Как видно из уравнения, точки струны, в которых $\sin kx = 0$, в любой момент времени неподвижны. Такие точки называются узлам. Остальные точки совершают в вертикальной плоскости гармонические колебания с частотой $\nu =\omega / 2 \pi = u / \lambda$.
Амплитуда колебаний распределена вдоль струны по гармоническому закону: $y_0(x) = 2 a \sin kx$. В точках, где $\sin kx = 1$, амплитуда колебаний максимальна – они называются пучностями.
Используя второе граничное условие $y(L,t) = 0$ (точки крепления струны должны быть узлами стоячей волны), найдём условие образования стоячих волн на струне:
$$
y(x,t) = 2 a \sin kL,
$$откуда
$$
\sin kL = 0 \quad \implies \quad kL = \pi n, n \in \mathbb{N}.
$$Таким образом, стоячие волны на струне с закреплёнными концами могут образовываться только если на длине струны укладывается целое число полуволн:
$$
L = \frac{\lambda_n}{2} n.
$$Поскольку длина волны однозначно связана с её частотой, струна может колебаться только с определёнными частотами:
$$
\nu_n = \frac{u}{\lambda_n} = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\rho_l}}, n \in \mathbb{N}.
$$
Схема установки приведена на Рис. 3. Стальная гитарная струна 1 закрепляется в горизонтальном положении между двумя стойками с зажимами 2 и 3, расположенными на массивной станине 4. Один конец струны закреплен в зажиме 2 неподвижно. К противоположному концу струны, перекинутому через блок, прикреплена платформа с грузами 5, создающими натяжение струны. Зажим 3 можно передвигать по станине, устанавливая требуемую длину струны. Возбуждение и регистрация колебаний струны осуществляются с помощью электромагнитных датчиков (вибраторов), расположенных на станине под струной. Электромагнитный датчик 6 подключен к звуковому генератору 7 и служит для возбуждения колебаний струны, частота которых измеряется с помощью частотомера 10 (в некоторых установках частотомер встроен в генератор). Колебания струны регистрируются с помощью электромагнитного датчика 8, сигнал с которого передается на вход осциллографа 9. Разъёмы, через которые датчики с помощью кабелей соединяются с генератором и осциллографом, расположены на корпусе станины.
Участок струны, расположенный над электромагнитом, совершает колебательное движение в вертикальной плоскости с частотой задающего генератора. Колебания далее передаются по всей струне и, если частота колебаний совпадает с одной из собственных частот струны, на струне устанавливается стоячая волна. Колеблющаяся струна возбуждает в регистрирующей катушке переменную ЭДС с амплитудой, пропорциональной амплитуде колебаний струны. Сигнал ЭДС измеряется с помощью осциллографа.
Магнитное поле наиболее однородно по координате в центральной части электромагнита, поэтому датчики должны быть повернуты так, чтобы струна располагалась в центральной части перпендикулярно к полюсам магнита. Возбуждающий датчик следует расположить вблизи неподвижного конца струны (ближе к узлу), а регистрирующий – в пучности.
А1 0.50 Для силы натяжения, соответствующей полной массе груза, крепежа и платформы в $m = 1 \ кг$, для диаметра струны $d \approx 0.3 \ мм$, длины струны $L = 50 \ см$, и зная табличное значение плотности стали $7.8 \ г/см^3$, рассчитайте частоту основной гармоники $\nu_1^{th}$ и запишите это значение в лист ответов.
A2 1.00 Установите на платформу груз такой массы, чтобы полная масса груза, крепежа и платформы составила $1 \ кг$, а длина зажатой части струны была равна $L = 50 \ см$. Возбуждающий датчик установите вблизи узла стоячей волны. Подайте синусоидальный сигнал на возбуждающий датчик. Добейтесь возбуждения стоячей волны на частоте вблизи найденной в пункте $A1$. Запишите полученное значение частоты $\nu_1$.
Позовите преподавателя и продемонстрируйте, что резонанс струны соответствует найденной частоте!
Экран осциллографа (Рис. 4)
Органы управления развёрткой, расположенные в блоке «HORIZONTAL» передней панели осциллографа (Рис. 5)
Органы управления тракта вертикального отклонения (VERTICAL)
Органы управления синхронизации (TRIGGER)
