В данной задаче будут рассматриваться орбиты, по которым можно долететь до Луны и вернуться назад.
В простейших задачах, как правило, рассматривается полет на Луну по эллиптической орбите с большой осью, равной $r_m$, где $r_m$ — расстояние от Земли до Луны.
К сожалению, по ряду причин такая орбита не является самой оптимальной и безопасной. Основным недостатком эллиптической орбиты является захват корабля в поле тяжести Луны. В процессе этого захвата кораблю необходимо выйти на эллиптическую орбиту вокруг Луны с помощью маневровых двигателей, и отказ двигателей в такой ситуации может привести к падению на поверхность Луны.
Эту проблему безопасности решает траектория (орбита) свободного возврата (free-return trajectory). Луна выступает в роли гравитационной рогатки и траектория представляется из себя своего рода восьмерку. Такая орбита использовалась, например, при отправке на Луну совецкого аппарата Луна-3, а также поговаривают, что именно по ней возвращалась печально изветстная миссия Аполлон-13 (которая якобы летала к спутнику нашей прекрасной планеты) после аварии при подлете к Луне.
В ходе всей задачи могут понадобиться следующие физические постоянные:
Для начала рассмотрим процесс взлета с Земли. Довольно известным фактом является, что большую часть массы ракеты состовляет топливо первой ступени необходимая для развития первой космической скорости и преодоления земной атмосферы. Точные расчеты таких взлетов предельно сложны. Именно сложность и необходимость учитывать бесконечное множество факторов объясняет немалый процент неудачных стартов ракет. Тем не менее некоторые оценочные значения можно получить из довольно простых соображений.
Рассмотрим вертикальный взлет ракеты с Земли вдоль оси $y$ (ось $y$ направлена вертикально вверх, начальные координата и скорость ракеты равны $0$). Начальная масса ракеты равна $m_0$. На ракету действует сила тяжести и сила сопротивления $\vec{F} = -kv \vec{v}$. Ракета выбрасывает из двигателя продукты сгорания с постоянным массовым расходом $\mu$ и скоростью $u$ относительно ракеты. Считайте, что $g$ мало изменяется с высотой.
Численнные значения:
На начальном этапе взлёта скорость ракеты мала, поэтому трением можно пренебречь. Найдём в каких пределах работает эта модель при вертикальном взлёте.
Высота плотных слоёв атмосферы порядка $10$ км, поэтому на больших высотах сила сопротивления становится пренебрежимо мало. В силу этого факта не будем учитывать его и в следующем вопросе.
В реальности ракета выводится на орбиту по сложной траектории, поэтому полученное значение не совпадает в точности с действительным значением. В дальнейшем считайте, что реальное значение $\beta_1 = 15$.
Перейдем непосредственно к задаче о рассмотрении орбиты свободого возврата.
Для начала найдем область в которой гравитационное притяжение Луны влияет больше чем притяжение Земли.
В дальнейшем ВО ВСЕХ ПУНКТАХ ЗАДАЧИ будем называть cферу радиуса $r_c$ вокруг Луны зоной притяжения Луны и считать, что в ней изменение потенциальной энергии тела $\Delta U = \Delta U_m$ (т.е. взаимодействием с Землей можно пренебречь), а во всем остальном пространстве $\Delta U = \Delta U_e$ (т.е. взаимодействием с Луной можно пренебречь).
Также во всех пунктах считайте, что СО Луны — поступательно движущаяся.
Пусть корабль изначально находится на круговой околоземной орбите радиуса $a$. В нужный момент времени он включает двигатели и разгоняется до скорости $v_0$ ($\vec v_0$ направлена по касательной к изначальной круговой орбите), такой, что может достигнуть зоны притяжения Луны. Минимальное расстояние между центром Луны и кораблем в процессе движения — $b$. Прямо перед входом в зону притяжения Луны скорость корабля в СО Земли равна $v_1$.
Введем обозначения для 2-ых космических скоростей для соответствующих орбит:
$$v_\text{II}^e = \sqrt{\dfrac{2GM_e}{a}}$$
$$v_\text{II}^m = \sqrt{\dfrac{2GM_m}{b}}$$
Пусть $\theta_1$ и $\theta_2$ углы показанные на рисунке. В общем виде орбита свободного возврата не обязана быть симметричной, и траектория возврата может отличаться от траектории полета к Луне. Для простоты расчетов будем рассматривать орбиту симметричную относительно прямой Земля — Луна. Тогда угол $\theta_1 = \theta_2 = \theta$. Обозначим $\alpha$ угол между скоростью $v_1$ и прямой Земля — Луна.
Далее, для определения необходимой скорости $v_1$, будем рассматривать орбиту корабля в СО Луны в ее зоне притяжения. Для удобства введем обозначения $s = \sin(\alpha + \theta)$, $s' = \sin \alpha$, $c = \cos \theta$.
B3 1.20 Записывая ЗСЭ в СО Луны для ближайшего к Луне положения корабля и положения сразу после входа в зону притяжения, получите и решите квадратное уравнение и получите точное выражение для $v_1/v_m$. Ответ выразите через $s$, $s'$, $c$, $b/r_c$ и $v_\text{II}^m/v_m$.
Примечание. Выбирать знак корня в этом пункте не нужно. Не забудьте, что в рамках используемой модели, взаимдействие с Землёй в этой области учитывать не нужно.
Перейдем к анализу полученного выражения для $v_1$. Далее используются следующие соотношения между величинами:
B4 1.00 Покажите что выражение для $v_1$, полученное в пункте B4, при разложении до первого порядка по степеням $b/r_c$ приводится к виду:
$$v_1 \approx \dfrac{v_m c}{s} + B_0\cdot \dfrac{b}{r_c}$$
Выразите $B_0$ через $v_m$, $v_\text{II}^m$, $s$, $c$ и $s'$. Выбирая знак корня, покажите, что $B_0 > 0$.
Далее во всех пунктах задачи считайте, что дополнительно выполнено $\alpha \ll 1$.
B6 0.60 Вернёмся в систему отсчёта Земли, чтобы найти выражение для угла $\alpha$ между скоростью $v_1$ и прямой Земля — Луна.
Найдите выражение для $\alpha$ между скоростью $v_1$ и прямой Земля — Луна с точностью до первого порядка по степеням $r_c/r_m$ и $a/r_m$. Ответ выразите через $a$, $r_c$, $r_m$, $v_1$, $v_0$ и $\theta$.
Примечание. Не забудьте, что в рамках используемой модели, взаимодействие с Луной в этой области учитывать не нужно.
Вновь вернёмся в СО Луны. До сих пор мы нигде не использовали условие симметричности орбиты. Воспользуемся этим условием и построим гиперболу симметричную относительно прямой Земля-Луна и проходящую через заданные точки: точки входа и выхода в и из зоны притяжения Луны и перицентр орбиты.
Полученная система уравнений на $v_1$, $\alpha$ и $\theta$ может быть приближенно решена численно, но в этой задаче не будем этим заниматься. Получаемая скорость $v_1$ будет на порядок меньше $v_\text{II}^e$. Тогда $v_0 = v_\text{II}^e$.
B9 0.40 Найдите $\beta_2$ — отношение начальной массы ракеты к конечной при разгоне от скорости $v_a$ — орбитальной скорости при движении по круговой орбите радиуса $a$ до скорости $v_0$. Ответ выразите через $u$, $v_\text{II}^e$ и $v_a$.
Рассчитайте численное значение $\beta_2$, необходимые для расчётов величины возьмите из части A.
В данной части рассмотрим прилунение. Будем рассматривать случай близкого подлёта в Луне, для численных расчётов считайте $b = 1800$ км. Учитывая, что $h = b - R_m \ll R_m$, с хорошей точностью можно считать, что топливо тратится только на торможение до нулевой скорости в ближайшей к Луне точке.